funções Hiperbólicas

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Técnicas de integração:
Funções Hiperbólicas:
Em algumas integrais será útil saber a de�nição e algumas propriedades das funções hiperbólicas.
Não vamos fazer um grande estudo destas funções.
Nos limitaremos as de�nições, algumas propriedades e alguns comentários.
Para os alunos mais curiosos indico o texto de Sonia Pinto de Carvalho da UFMG
Texto em pdf que pode ser encontrado em: www.mat.ufmg.br/comed/2005/b2005/funchiper.pdf
De�nições:
senhx :=
ex − e−x
2
e coshx :=
ex + e−x
2
Observações:
• Domínio da função seno hiperbólico: D = R, Imagem da função seno hiperbólico: Im = R.
• Domínio da função cosseno hiperbólico: D = R, Imagem da função cosseno hiperbólico: Im = ] 0 , +∞ [.
Observações:
Podemos analogamente as funções trigonométricas de�nir as funções:
tghx :=
senhx
coshx
, sechx :=
1
coshx
, cossechx :=
1
senhx
e cotghx :=
coshx
senhx
Identidades:
Analogamente as funções trigonométricas as funções hiperbólicas satisfazem várias
Identidades, vamos citar as principais:
cosh
2 x− senh2 x = 1
senh 2x = 2 senhx coshx , cosh 2x = cosh2 x+ senh2 x , tgh2 x = 1− sech2 x e cotgh2 x = 1 + cossech2 x .
Todas as identidades tem fácil demonstração.
Para ilustrarmos isto, vamos demostrar a primeira identidade: cosh
2 x− senh2 x = 1
cosh
2 x− senh2 x =
(
ex + e−x
2
)2
−
(
ex − e−x
2
)2
=
(ex + e−x)2
4
− (e
x − e−x)2
4
=
=
(ex)2 + 2(ex)(e−x) + (e−x)2
4
− (e
x)2 − 2(ex)(e−x) + (e−x)2
4
=
=
(ex)2 + 2(ex−x) + (e−x)2
4
− (e
x)2 − 2(ex−x) + (e−x)2
4
=
=
(ex)2 + 2(e0) + (e−x)2
4
− (e
x)2 − 2(e0) + (e−x)2
4
=
=
(ex)2 + 2 + (e−x)2
4
− (e
x)2 − 2 + (e−x)2
4
=
1
=
(ex)2 + 2 + (e−x)2 − (ex)2 + 2− (e−x)2
4
=
=
∗︷ ︸︸ ︷
(ex)2+2 +
∗∗︷ ︸︸ ︷
(e−x)2−
∗︷ ︸︸ ︷
(ex)2+2−
∗∗︷ ︸︸ ︷
(e−x)2
4
=
4
4
= 1
Portanto: cosh
2 x− senh2 x = 1
Derivadas e Integrais:
É facil calcular as derivadas e integrais das funções hiperbólicas:
[
senhx
]′
= coshx ⇒
∫
coshx dx = senhx+ C
[
coshx
]′
= senhx ⇒
∫
senhx dx = coshx+ C
[
tghx
]′
= sech2 x ⇒
∫
sech
2 x dx = tghx+ C
[
cotghx
]′
= −cossech2 x ⇒
∫
cossech
2 x dx = −cotghx+ C
[
sechx
]′
= −sechx tghx ⇒
∫
sechx tghx dx = −sechx+ C
[
cossechx
]′
= −cossechx cotghx ⇒
∫
cossechx cotghx dx = −cossechx+ C
[
arcsenhx
]′
=
1√
1 + x2
⇒
∫
1√
1 + x2
dx = arcsenhx+ C
[
arccoshx
]′
=
1√
x2 − 1 ⇒
∫
1√
x2 − 1 dx = arccoshx+ C Obs: x > 1[
arctghx
]′
=
1
1− x2 ⇒
∫
1
1− x2 dx = arctghx+ C Obs: |x| < 1[
arccotghx
]′
=
1
1− x2 ⇒
∫
1
1− x2 dx = arccotghx+ C Obs: |x| > 1[
arcsechx
]′
= − 1
x
√
1− x2 ⇒
∫
1
x
√
1− x2 dx = −arcsechx+ C Obs: 0 < x < 1[
arccossechx
]′
= − 1|x|√ 1 + x2 ⇒
∫
1
|x|√ 1 + x2 dx = −arccossechx+ C Obs: x 6= 0
Vamos a alguns exemplos:
2
Exemplos:
1. Calcular as integrais abaixo:
(a)
∫ (
coshx+ senhx
)
dx
Resolução:∫ (
coshx+ senhx
)
dx =
∫
coshx dx+
∫
senhx dx = senhx+ coshx+ C
∫ (
coshx+ senhx
)
dx = senhx+ coshx+ C
(b)
∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx
Resolução 1:
∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx
Primeiramente, vamos resolver a integral sem usar as funções e hiperbólicas
e depois usando, para mostrar que em alguns casos o uso das funções hiperbólicas
facilita muito o trabalho.∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx =
∫ (
ex + e−x
)(
ex − e−x)
4
dx =
=
∫ (
ex
)2 − (ex)(e−x)+ (e−x)(ex)− (e−x)2
4
dx =
1
4
∫ [(
ex
)2 − (e−x)2] dx =
=
1
4
[∫ (
ex
)2
dx−
∫ (
e−x
)2
dx
]
=
1
4
[∫
e2x dx−
∫
e−2x dx
]
=
1
4
[
e2x
2
− e
−2x
−2
]
+ C =
=
1
4
[
e2x
2
+
e−2x
2
]
+ C =
1
8
(
e2x + e−2x
)
+ C
∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx =
1
8
(
e2x + e−2x
)
+ C
Resolução 2:
∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx =
∫
senhx coshx dx fazendo senhx = t ⇒ coshx dx = dt
∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx =
∫ t︷ ︸︸ ︷
senhx
dt︷ ︸︸ ︷
coshx dx =
∫
t dt =
t2
2
+ C =
1
2
senh
2 x+ C
∫ (
ex + e−x
2
)(
ex − e−x
2
)
dx =
t2
2
+ C =
1
2
senh
2 x+ C
3
Observação:[
1
8
(
e2x + e−2x
)]− [ 1
2
senh
2 x
]
=
1
8
4