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1 TEXTO COMPLEMENTAR 8 O que é trigonometria? Um pouco de história: A trigonometria, que em grego significa medida dos ângulos de um triângulo, é uma parte da Matemática dedicada ao estudo das relações entre as amplitudes dos ângulos e o comprimento dos segmentos que os determinam. A construção das grandes pirâmides egípcias motivou a criação de um grande número de conceitos matemáticos. A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria. Historicamente, a origem dos primeiros conceitos associados a trigonometria, datam de mais de dois mil anos. O vocábulo Trigonometria foi criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida). Hiparco, (astrônomo e matemático grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia. Empregou a medida da corda correspondente ao círculo de raio unitário para determinar ângulos. O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria. O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cláudius Ptolemaeus astrônomo grego (90-168). Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos. Este grande astrônomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada como válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) e confirmada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano - 1564/1642). No final do século I, Menelau, astrônomo de Alexandria, escreveu Esferica, em que estuda sistematicamente a trigonometria esférica. Os árabes elaboraram as primeiras tabelas trigonométricas e as relações elementares entre as razões. Tudo isso contribuiu para o desenvolvimento das técnicas de navegação. Pouco a pouco, a Trigonometria foi adquirindo o seu conteúdo atual. O estudo das funções trigonométricas recebeu um forte impulso a partir dos estudos do matemático suíço Euler (século XVIII), que, utilizando números complexos, conseguiu relacionar as funções trigonométricas com as exponenciais e as logarítmicas. 2 As relações entre segmentos e ângulos nos permitem calcular medidas de segmentos a partir das medidas de ângulos e vice-versa. Esses conceitos são ampliados na circunferência trigonométrica. Essas operações têm muita importância, por exemplo, no cálculo de distâncias inatingíveis, como a de duas estrelas, ou na determinação da altura dos edifícios. Assim, a trigonometria consiste, essencialmente, em associar a cada ângulo α certos números como cos α (cosseno de alfa) e sen α (seno de alfa), cada um dos quais representa, de certo modo, uma espécie de medida daquele ângulo. Melhor dizendo, esses números constituem um grande passo a frente nos estudos das chamadas relações métricas nos triângulos porque estas, tradicionalmente, estabelecem fórmulas que relacionam entre si comprimentos de segmentos (tais como lados, alturas, bissetrizes, etc.) enquanto nas funções trigonométricas relacionam ângulos com lados. A base teórica na qual se fundamentou originalmente a Trigonometria foi a semelhança de triângulos. Vamos conhecer um pouco desses conceitos: Considere o ângulo α, de vértice B, indicado na figura: α B Sobre um dos lados do ângulo agudo α, tomamos arbitrariamente os pontos A, A1, A2, A3,... e por esses pontos traçamos perpendiculares ao lado BA que encontram o outro lado do ângulo nos pontos C, C1, C2, C3,..., respectivamente. Obtemos, assim, os triângulos retângulos ABC, A1BC1, A2BC2,... todos semelhantes entre si. Podemos, a partir deles, estabelecer as seguintes proporções: C1 C C2 A A1 A2 B α 3 1 2 22 1 11 ... k BC CA BC CA BC AC ==== 2 2 2 1 1 ... k BC BA BC BA BC BA ==== 3 2 22 1 11 ... k BA CA BA CA BA AC ==== Observe que: O número K1, assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo α e se indica por: BC AC=αsen O número K2, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo α e se indica por: BC BAαcos = O número K3, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo α e se indica por: BA ACtg =α Os números sen α, cos α, tg α são chamados razões trigonométricas do ângulo agudo α e não dependem dos pontos A, A1, A2...(só variam quando variar o ângulo). C’ C A B α Cos α = AB/ AC Sen α = BC/AC B’ Dado um ângulo retângulo ABC, do qual α = BÄC seja um dos ângulos, se AC é a hipotenusa, define-se: 4 Se tivéssemos construído qualquer outro triângulo A B’C’ de modo análogo, ele seria semelhante a ABC por ter um ângulo agudo comum, logo: AB/AC = AB’/AC’ e BC/AC = B’C’/AC’. Portanto, a semelhança de triângulos garante que as definições de cos α e sen α são coerentes, isto é, não dependem de qual tenha sido o triangulo retângulo ABC escolhido. REPRESENTAÇÃO DE UM TRIÂNGULO RETÂ No triangulo retângulo ABC, temos: B c a A b C Ângulos inte Ângulo inter Lados Hipotenusa: ângulo reto A Catetos: RELAÇÕES IMPORTANTES • Como A + B + C = 180º e A = 90º. Temos: • Como o triangulo é retângulo, vale a relação de NGULO rnos agudos: B e C no reto (90º): A BC (medida a) AC (medida b) AB (medida c) medida a, (lado BC , oposto ao ) Medida b, (lado AC , oposto a B) Medida c, (lado AB , oposto a C) B + C = 90º a2 = b2 + c2 Pitágoras: 5 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS A motivação original da Trigonometria foi o problema da “resolução de triângulos”, que consiste em determinar os 6 elementos de um triangulo (3 lados e 3 ângulos) quando se conhecem 3 deles, correspondentes aos 3 casos clássicos de congruência (3 lados, ou 2 lados mais o ângulo compreendido, ou 2 ângulos mais o lado compreendido). Dado o triângulo ABC, retângulo em A, temos: B c a A b C • Seno de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. • Cosseno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. • Tangente de um ângulo é o quociente entre os catetos oposto e adjacente ao ângulo. Assim: Sen B = a b Sen C = a c Cos C = a bCos B = a c Tg B = c b Tg C = b c Comparando as relações trigonométricas entre os ângulos B e C, temos: Sen C = Cos B Cos C = Sen B Tg C = tgB 1 CÁLCULO DO SENO, COSSENO E TANGENTE DE 30º Dado um triângulo eqüilátero de lado l, vamos determinar: a) sen 30º; b) cos 30º; c) tg 30º. Sabemos que num triângulo eqüilátero: 6 • A medida de cada ângulo interno é igual a 60º • A altura relativa a qualquer lado coincide com a mediana e com a bissetriz. Observe a figura: C 30º 30º l l A H B 2 l - CH é altura, mediana e bissetriz relativa ao lado AB (de medida l); - H é ponto médio de AB . 60º 60º Então: a) Cálculo da altura: • AH = 2 l • CH é bissetriz de C ⇒ C é dividido em dois ângulos de 30º. • CH = h = altura Como o triângulo AHC é retângulo, aplicando Pitágoras, temos: h2 + 2 2 l = l2 ⇒ h2 = l2 - 4 l2 ⇒ 4 3l2 ⇒ h = 2 3l b) Cálculo do sen 30º: C 30º l 60º A 2 l H Como C = 30º, vem: sen 30º = hipotenusa aopostocateto C ⇒ ⇒ sen 30º = l l 2 ⇒ sen 30º = l l 2 ⇒ ⇒ 2 3l 60º sen 30º = 2 1 7 c) Cálculo do cos 30º: cos 30º = hipotenusa aadjacentecateto C ⇒ ⇒ cos 30º = l l 2 3 ⇒ cos 30º = l l 2 3 ⇒ ⇒ b) Cálculo do tg 30º: tg 30º = C C aadjacentecateto aopostocateto ⇒ ⇒ tg 30º = 2 3 2 l l ⇒ tg 30º = 32 2 l l ⇒ ⇒ tg 30º = 3 1 , racionalizando, temos: CÁLCULO DO SENO, COSSENO E TANGENTE DE 60º De modo análogo, através do triângulo AHC, vamos calcular: a) sen 60º; b) cos 60º; c) tg 60º. C 30º l 60º A 2 l H a) Cálculo do sen 60º: Como A sen 60º ⇒ sen 6 b) Cálculo do cos 60º: cos 60º = hipotenusa aadjacentecateto A ⇒ c) Cá tg 60º 2 3l 60º tg 30º = 3 3 cos 30º = 2 3 = 60º, vem: = hipotenusa aopostocateto A ⇒ 0º = l l 23 ⇒ lculo do tg 60º: = A A aadjacentecateto aopostocateto ⇒ sen 60º = 2 3 8 ⇒ cos 60º = l l 2 ⇒ ⇒ tg 60º = 2 2 3 l l ⇒ tg 60º = l l 2 32 ⇒ cos 60º = 2 1 tg 60º = 3 CÁLCULO DO SENO, COSSENO E TANGENTE DE 45º Dado um triângulo retângulo e isósceles, de catetos medindo l, vamos determinar: a) a medida da hipotenusa em função de l; b) sen 45º; b) cos 45º; c) tg 45º. Temos: a) Num triângulo retângulo e isósceles, sabemos que os ângulos internos medem 45º, 45º e 90º. Observe a figura: C 45º x l B l A Sendo x a medida da hipotenusa, por Pitágoras, temos: x2 = l2 + l2 ⇒ x2 = 2l2 ⇒ x = l 2 45º Logo, a hipotenusa mede x = l 2 . b) Cálculo do sen 45º Como B = C + 45º, tanto faz calcularmos sen 45º em relação ao ângulo B ou a C. Assim: sen B = hipotenusa aopostocateto B ⇒ sen 45º = 2l l ⇒ sen 45º = 2 1 sen 45º = 2 2 9 Racionalizando, temos: b) Cálculo do cos 45º: c a B ⇒ d) Cálculo do tg 45º: tg B = Baopostocateto ⇒ Obs REL Com relaç Seja 1) Dem os B = adjacentecateto hipotenusa ⇒ cos 45º = 2l l = 2 1 = 2 2 Baadjacentecateto ⇒ tg 45º = l l ⇒ tg 45º = 1 cos 45º = 2 2 tg 45º = 1 ervação: Do exposto acima, verificamos que sen 45º = cos 45º. AÇÕES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES base no que foi visto anteriormente, vamos demonstrar as seguintes igualdades nas ões trigonométricas nos triângulos retângulos: B o triangulo ABC a c α C b A sen2 α + cos2 α = 1 onstração: No triângulo ABC, retângulo em A, temos: = = a bcosα a csenα 10 Assim: sen2 α + cos2 α = 2 22 2 2 2 222 a bc a b a c a b a c +=+= + Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que a2 = b2 + c2 Então: a2 sen2 α + cos2 α = 2 22 a bc + = 2 2 a a = 1 Logo: sen2 α + cos2 α = 1 Observação: Os alunos devem mostrar que essa relação é válida para qualquer arco de medida α. 2) sentg = cosα αα Demonstração: No triângulo ABC, retângulo em A, temos: = = a bcosα a csenα Então: b c a b a c cosα senα == mas, nas razões trigonométricas b ctgα = Logo: cosα senαtgα = Observação: Os alunos devem mostrar que essa relação é válida para qualquer arco de medida α com cos α ≠ 0. CONCEITOS IMPORTANTES RELACIONADOS À TRIGONOMETRIA O surgimento do Cálculo Infinitesimal e, posteriormente, de seu prolongamento teórico, a Análise Matemática, veio dar uma nova dimensão às noções básicas da Trigonometria, como seno, cosseno e às noções associadas de tangente, secante, etc. Para isso, é indispensável considerar as funções cos t e sen t definidas para todo número real t. Ou seja, 11 é preciso falar em cosseno e seno de um número, em vez de um ângulo. Essa transição é feita por meio de uma função E , que é chamada função de Euler. O domínio da função de Euler é o conjunto R dos números reais. Seu contra-domínio é o círculo unitário do plano, que representaremos por S1. Assim, cada número real t, a função E faz corresponder um ponto E(t) do círculo S1. Para definir precisamente o círculo S1, introduzimos no plano um sistema de coordenadas cartesianas, de modo que todo ponto z do plano passa a ser representado com um par ordenado Z = (x, y), onde x é a abscissa e y sua ordenada. Pelo Teorema de Pitágoras, a distância do ponto Z = (x, y) ao ponto W = (u, v) é: d(z, w) = 22 v)(yu)(x −+− . Em Particular, a distância de Z = (x,y) à origem 0 = (0,0) è igual a 22 yx + . y Z = (x, y) U = (1, 0)X x2 + y2 = 1 y 1 x O círculo unitário S1 é, por definição, o conjunto dos pontos do plano cuja distância à origem é igual a 1. Assim, o ponto Z = (x, y) pertence a S1 se, e somente se, 22 yx + = 1 ou, o que é o mesmo, x2 + y2 = 1. Portanto os pontos (1, 0), (0, 1), (1/2, 23 ), e ( 22 , 22 ) pertencem a S1 . Note que o círculo S1 é, na realidade, uma circunferência. Observação importante: 12 • O que é circunferência? • O que é círculo? Em termos gerais, circunferência é a linha, círculo é a região limitada pela circunferência. Para Lima1 (1991, p.157), em livros estrangeiros mais avançados essa diferença desapareceu. “ Para ser mais exato, o que desapareceu quase inteiramente foi a palavra circunferência. Quanto ao termo círculo ele tornou-se ambíguo; ora quer dizer curva, ora a região por ela limitada. Para livrar-se da ambigüidade, quando isso é necessário, costuma-se usar a palavra disco para significar a região do plano limitada por uma circunferência. Aí não resta dúvida”. S1 E(t) = (cos t, sen t) U = (1, 0) 000 sen t t 0 cos t Para saber mais, consulte os livros indicados na Bibliografia 1 Elon Lages Lima
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