Aula Pratica 3 Heteroscedasticidade

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UNIVERSIDADE SÃO TOMAS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS & EMPRESARIAIS 
Exercícios Econometria I 
Ficha Prática 4 
Heteroscedasticidade 
1. O que entendes por Heteroscedasticidade? 
2. Quais são as fontes da Heteroscedasticidade? 
3. Quais são os métodos de detecção da Heteroscedasticidade? 
4. Como podemos corrigir a Heteroscedasticidade? 
5. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou incertas, expondo resumidamente 
os motivos : 
a) Na presença da heteroscedasticidade, os estimadores de MQO são viesados e ineficientes. 
b) Na presença de autocorrelação dos resíduos, os estimadores de MQO são não viciados e 
consistentes. 
6. Apresente (04) quatro métodos de detecção da heteroscedasticidade. Explique (02) à sua 
escolha. 
7. Com base em dados de corte sobre 41 países, Stephen Lewis estimou o seguinte modelo de 
regressão : 
iiiii LnXLnXLnY   33221 
Em que Y = razão entre tributos sobre comércio (impostos sobre importações e exportações) e 
receita total do governo; X2 = razão entre a soma das importações com as exportações e o PNB; 
e X2 = PNB per capita; ln indica log natural. A hipótese de Lewis era a de que Y e X2 se 
relacionariam positivamente (quanto maior o volume do comércio, maior a receita de tributos 
sobre o comércio) e que Y e X3 se relacionariam negativamente (conforme aumenta a renda, o 
governo verifica que é mais fácil cobrar impostos directo – por exemplo, imposto de renda – 
do que depender de tributos sobre o comércio.) 
a) Esperaria heteroscedasticidade nos dados? Porquê 
b) Lewis estimou uma regressão envolvendo aos resíduos como se segue: 
2 
 
)(*)(0015,0
)(0491,0)(ln4081,06918,05629,28417,5 222
LnPNBLnCom
LnPNBComLnPNBLnCom iii


R2 = 0,1148 
i. Diga que método Lewis utilizou para testar a heteroscedasticidade? 
ii. Teste a heteroscedasticidade nos dados apresentados a um nível de 
significância de 5%. 
iii. Caso se comprove que existe heteroscedastidade no modelo, como Lewis iria 
corrigir o problema de heteroscedasticidade. 
8. Em um estudo sobre a detrminação de preços do produto final a custo de factores no Reino 
Unido, foram obtidos os seguintes resultados com base nos dados anuais para o período 1951-
1969: 
11 121,0028,0256,0521,00273033,2   tttttt PFMMXWPF
 
 (0,992) (0,127) (0,099) (0,024) (0,039) (0,119) R2 = 0,984 DW = 2,54 
Em que PF = preços do produto final a custos de factores, W = salário por empregado, X = 
produto interno bruto por pessoa empregada, M = preços de importação, Mt-1 = preços de 
importação defasados em 1 ano e Pt-1 = preços do produto final a custos de factores no ano 
anterior. 
a) Acha que há autocorrelação no Modelo? Justifique 
b) Como poderemos corrigir o problema caso ocorra? 
9. Abaixo constam os outputs de um modelo de regressão desenvolvido com base em dados 
macroeconómicos dos Estados Unidos no período de 1960 a 2003. Todos os valores estão em 
bilhões de dólares, excepto, o índice de preços ao consumidor. As variáveis são: 
X = Estoque de Moeda (Conceito M1) 
Y = Índice de preços ao Consumidor da classe das maiores despesas-82/84 = 100) 
Os dados foram agrupados em duas amostras (1 e 2) com 18 observações cada. Considerando 
o anexo (A). 
a) Diga que teste de detecção da heteroscedasticidade é aplicável neste caso e porquê? 
b) Com base no anexo A, teste a presença de heteroscedasticidade no modelo de regressão. 
c) Caso se detecte heteroscedasticidade no modelo, que medidas correctivas podem ser 
adoptadas? 
d) 
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Anexo A 
SUMMARY OUTPUT 
Amostra 1 
Regression Statistics 
Multiple R 0.983177373 
R Square 0.966637746 
Adjusted R 
Square 0.964552605 
Standard Error 1.87591325 
Observations 18 
 
ANOVA 
 df SS MS F 
Regression 1 1631.3752 1631.3752 463.58391 
Residual 16 56.304808 3.5190505 
Total 17 1687.68 
 
 Coefficients 
Standard 
Error t Stat P-value 
Intercept 4.484864083 1.6733543 2.6801641 0.0164254 
X 0.163599196 0.0075983 21.530999 3.06E-13 
 
SUMMARY OUTPUT 
Amostra 2 
Regression Statistics 
Multiple R 0.926278057 
R Square 0.857991039 
Adjusted R 
Square 0.849115479 
Standard Error 9.029972391 
Observations 18 
 
ANOVA 
 df SS MS F 
Regression 1 7882.4247 7882.4247 96.668946 
Residual 16 1304.6464 81.540401 
Total 17 9187.0711 
 
 Coefficients 
Standard 
Error t Stat P-value 
Intercept 23.26186684 12.942222 1.7973627 0.0911763 
X 0.123301283 0.0125408 9.8320367 3.475E-08 
 
 
 
 
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10. Para fins didácticos, Hanushek e Jackson estimaram o seguinte modelo: 
tttt uDPNBC  321 
 (Modelo 1) 
Em que C = consumo privado agregado no ano t, PNBt = Produto Nacional Bruto no ano t e 
Dt = Gastos com a defesa nacional no ano t. O objectivo da análise foi estudar o efeito dos 
gastos com a Defesa sobre os outros gastos na economia. 
Postulando que 
 222 tt PNB 
, eles transformaram (Modelo 1) e estimaram: 
t
t
t
t
t
tt PNBPNB
D
PNB
PNBC
 









 321
1/
 (Modelo 2) 
Os resultados empíricos, com base nos dados para 1946-1975, foram como segue (erros padrão 
entre parênteses): 
Modelo (1) 
ttt DPNBC 4398,06248,019,26 
 
 (2,73) (0,0060) (0,0736) R2 = 0,999 
Modelo (2) 











t
t
t
tt PNB
D
PNB
PNBC 4315,06246192,25/
 
 (2,22) (0,0068) (0,0597) R2 = 0,875 
a) Qual a hipótese dos autores a respeito da natureza da heteroscedasticidade? Podes justificá-
la? 
b) Compare os resultados das duas regressões. A transformação do modelo original melhorou 
os resultados, ou seja, reduziu os erros padrões estimados? Justifique. 
c) Podes comparar os dois valores de R2? Justifique. 
d) Imagine que para analisar a presença da heteroscedasticidade Hanushek e Jackson tenham 
realizado o teste de White e obtiveram o seguinte resultado: 
White´s general test statistic: 3541, 39 
1. O que é heteroscedasticidade e quais são as suas consequências? 
2. Explique a estrutura do teste de White e interprete o resultado obtido por Hanushek e 
Jackson. 
e) Indique uma forma de “corrigir” a heteroscedasticidade. 
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11. Para modelizar o comportamento do stock de capital (variável S, expressa em milhares de 
milhões de dólares, a preços de 1992) na economia dos Estados Unidos, e com base na 
informação sobre essa e sobre as variáveis taxa de juro real (TXJURO) e produto interno bruto 
(PIB, em milhares de milhões de dólares, a preços de 1992), ao longo de um período de 37 
anos (1959-1995), estimaram-se por OLS os seguintes modelos: 
 
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a. Os modelos estimados assentam em pressupostos diferentes quanto ao padrãode 
ajustamento do stock de capital a variações permanentes do PIB. Explique porquê. 
b. No ano t verificou-se uma variação permanente de 2 mil milhões de dólares no PIB 
Estime os efeitos, no ano t+2 e total, que essa variação produzirá sobre o stock de 
capital segundo cada um dos dois conjuntos de resultados. 
c. Teste a existência de autocorrelação nos dois modelos. 
12. No âmbito de um estudo sobre as determinantes do investimento em investigação e 
desenvolvimento, procedeu-se à estimação da equação de regressão: 
 
em que por I&Di, VENDASi e LUCROi se designaram, respectivamente, as despesas em 
investigação e desenvolvimento, a receita de vendase o lucro da empresa i, com as variáveis 
expressas em milhões de dólares (USD). 
O modelo foi estimado com uma amostra de 32 empresas norte-americanas, tendo-se obtido 
os resultados que constam dos Quadros I e II (na página seguinte). 
a) Os resultados apresentados no Quadro II são parte de um teste estatístico que se entendeu 
dever ser executado neste caso. 
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a1) Atendendo ao modelo económico em estudo e ao tipo de dados utilizados, justifique a 
necessidade de realizar o referido teste. 
a2) Execute o teste. Que conclui? 
b) Indique como procederia se pretendesse testar a existência de heteroscedasticidade 
recorrendo ao teste de White. 
c) c) Admitindo que era conhecida a relação Var(ui) = λ VENDAS2i , em que é λ uma 
constante positiva, proponha justificadamente um método alternativo de estimação do 
modelo. Indique, nomeadamente, qual a equação de regressão que, nesse caso, seria objecto 
de estimação e como obteria uma estimativa para o parâmetro λ . 
 
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13. Com uma amostra de observações {(X2i, X3i, Yi), i = 1, 2, ..., 120}, estimaram-se 
sucessivamente, pela ordem por que são indicadas, as regressões 
 
 
 
a) Explique qual terá sido o objectivo da estimação da regressão (B). Que conclusão retira do 
resultado? 
b) Com que objectivo se terá estimado a regressão (C)? 
c) Indique, justificando, as propriedades dos estimadores que geraram as (seis) estimativas 
apresentadas em (C). 
14. Num dos primeiros estudos sobre o Consumo Privado (CP) em Moçambique, pode ler-se o 
seguinte parágrafo: 
"No caso moçambicano, com a variável RN identificada com o produto nacional líquido ao 
custo dos factores, e considerando uma avaliação a preços correntes, teremos: 
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o que é inconclusivo sob o ponto de vista da autocorrelação nos resíduos." 
A estimação foi feita pelo método OLS, com uma amostra, relativa ao período 1953-1965, 
de 12 observações anuais (não se dispunha do valor desfasado CP-1 para 1953), e com 
ambas as variáveis expressas em milhares de Meticais. 
a) Interprete as estimativas dos parâmetros. Distinga efeitos de curto e de longo prazo. 
b) Proceda ao teste da hipótese de existência de autocorrelação. Concorda com a 
afirmação do texto citado quanto a esse aspecto? 
c) Uma nota de pé de página do mesmo estudo informa que "há uma colinearidade muito 
estreita entre RN e CP-1 (r = 0,987)." Acha que os resultados obtidos pelos Autores 
evidenciam algum problema causado por tal facto? Justifique. 
15. Com o propósito de estudar as principais determinantes da inflação, estimou-se o seguinte 
modelo a partir de uma amostra de 114 países: 
 
em que INF: taxa de inflação média anual, entre 1973 e 1990 (em %); 
ABT: grau de abertura do país medido pela média das importações/PIB, entre 1973 
e 1990; 
IP: indicador de instabilidade política, 0 < IP <1; 
DBC: indicador da dependência do Banco Central, 0 < DBC < 1. 
Os Quadros I, II e III apresentam três conjuntos de resultados de estimação com base nos 
dados acima indicados; no Quadro II, a variável RESID_A corresponde aos resíduos de 
estimação do modelo estimado no Quadro I. 
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a) Qual seria o objectivo da estimação do modelo apresentado no Quadro II? Que 
conclui? 
b) Como explica que a soma de quadrados dos resíduos nos Quadros I e III seja a 
mesma? 
c) Independentemente do resultado a que chegou na alínea a), admita que a 
variância dos termos de perturbação em (A) era a que estava implícita no 
Quadro II. Proponha, justificadamente, uma reformulação do modelo (A) de 
forma a repor a hipótese da homoscedasticidade. 
16. Considere o seguinte modelo de procura de moeda de longo prazo 
 
e admita a hipótese de ajustamento parcial dada por 
 
Os resultados a seguir apresentados foram obtidos com observações mensais, para a economia 
japonesa, das variáveis: 
LNM1 : ln da circulação monetária (em biliões de ienes); 
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LNIR : ln da taxa de juro de longo prazo (expressa em percentagem); 
LNIP : ln do índice de produção industrial. 
 
 
a) Teste a existência de autocorrelação dos termos de perturbação do modelo. 
b) Estime o impacto (imediato e total) em LNM1 de uma variação sustentada de 1 
unidade em LNIR, ocorrida no momento t, pressupondo a invariância de LNIP.