CVGA - Lista de Exercícios 2

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Professor Thiago Maciel 
Lista 2 – Produto escalar e produto vetorial 
1) Considere os vetores e . Mostre que todos eles 
são unitários e que todos são perpendiculares entre si. Calculando os produtos 
vetoriais pedidos, verifique também que 
 
 x = , x = e x = 
 
2) Para os itens a seguir, considere os vetores , , 
 , : 
 
a) Calcule o módulo de cada um destes vetores. 
b) Calcule e 
 
 
 . 
c) Caso exista, diga quais vetores são paralelos entre si. 
d) Encontre um vetor unitário e com sentido oposto a . 
e) Encontre um vetor com o triplo do módulo de e mesmo sentido. 
f) Calcule os produtos escalares , e . Repita cada produto 
trocando o primeiro vetor de lugar com o segundo e veja que o resultado não se 
altera. 
g) Através do cálculo do produto escalar, encontre o ângulo entre os vetores e 
 . Mostre também que os vetores e são perpendiculares. 
h) Calcule a projeção de na direção dada por 
i) Calcule os produtos vetoriais x e x . Repita cada produto trocando o 
primeiro vetor de lugar com o segundo e veja que o resultado muda de sinal. 
j) Mostre que o vetor resultante do produto x é perpendicular a e a . 
Verifique que o mesmo vale para o vetor resultante de x . 
 
3) Esboce as regiões do R² indicadas abaixo e calcule suas áreas. Atente ao fato de 
que um retângulo também é um paralelogramo (onde todos os ângulos internos 
são iguais a 90°) 
a) Um triângulo com vértices nos pontos (0,0), (2,0) e (1,1) 
b) Um retângulo com vértices nos pontos (0,0), (3,0), (0,2) e (3,2) 
c) Um triângulo com vértices nos pontos (1,1), (2,3) e (3,-2) 
d) Um retângulo com vértices nos pontos (-2,1), (1,2), (-3,4), (0,5) 
e) Um paralelogramo com vértices nos pontos (1,1), (3,4), (5,1) e (7,4) 
 
4) Calcule as áreas das regiões do R³ indicadas abaixo 
a) Um triângulo com vértices nos pontos (1,2,2), (2,-1,2) e (-2,0,2) 
b) Um triângulo com vértices nos pontos (1,2,-1), (2,-1,3) e (-2,0,1) 
c) Um quadrado com vértices, nos pontos (-1,1,1), (2,3,7), (-3,-5,4) e (0,-3,10) 
d) Um paralelogramo com vértices nos pontos (0,1,2), (1,2,3), (1,3,5) e (2,4,6)