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Aula 4 - Modelagem de Sistemas Discretos

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Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
Baseado em: 
• Introdução à Pesquisa Operacional. Hillier e 
Lieberman. 2013. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 O estado j é dito acessível a partir do estado i se 
𝑝𝑖𝑗
𝑛 > 0 para algum 𝑛 ≥ 0. Recorde-se de que 𝑝𝑖𝑗
𝑛 é 
simplesmente a probabilidade condicional de se 
encontrar no estado j após n etapas, partindo no 
estado i. Dessa forma, o estado j ser acessível do 
estado i significa que é possível para o sistema 
eventualmente entrar no estado j quando ele 
começa no estado i. 
 Se o estado j for acessível a partir do estado i e o 
estado i for acessível do estado j, então se diz 
que os estados i e j se comunicam. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
1. Qualquer estado se comunica consigo 
mesmo (porque 𝑝𝑖𝑖
0 = 1). 
2. Se o estado i se comunica com o estado j, 
então o estado j se comunica com o estado 
i. 
3. Se o estado i se comunica com o estado j e 
o estado j se comunica com o estado k, 
então o estado i se comunica com o estado 
k. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 Como consequência dessas três propriedades 
de comunicação, os estados podem ser 
subdivididos em uma ou mais classes 
distintas tais que aqueles estados que se 
comunicam entre si se encontram na mesma 
classe. 
 Uma classe pode ser formada por um único 
estado. 
 Se existir apenas uma classe, isto é, todos os 
estados se comunicarem, a cadeia de Markov 
é dita irredutível. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 Um estado é dito estado transiente se, após 
entrar nesse estado, existe a possibilidade de 
o processo jamais retomar a esse estado 
novamente. Portanto, o estado i é transiente 
se e somente se existir um estado j (𝑗 ≠ 𝑖) que 
seja acessível do estado i, mas não o 
contrário, isto é, o estado i não é acessível a 
partir do estado j. 
 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 Um estado é dito ser um estado recorrente 
se, após adentrar aquele estado, o processo 
com certeza for retomar a esse estado 
novamente. Portanto, um estado é recorrente 
se e somente se ele não for transiente. 
 Diz-se que um estado é absorvente caso, 
após adentrar esse estado, o processo jamais 
deixará esse estado novamente. Portanto, o 
estado i é um estado absorvente se e 
somente se 𝑝𝑖𝑖 = 1. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 A recorrência é uma propriedade de classe, isto 
é, todos os estados em uma classe são 
recorrentes ou então transientes. Além disso, em 
uma cadeia de Markov de estados finitos nem 
todos os estados podem ser transientes. Assim, 
todos os estados em uma cadeia de Markov de 
estados finitos irredutíveis são recorrentes. 
 De fato, pode-se identificar uma cadeia de 
Markov de estados finitos irredutível (e, dessa 
forma, concluir que todos os estados são 
recorrentes) demonstrando que todos os estados 
do processo se comunicam. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 Outra propriedade útil das cadeias de Markov 
são as periodicidades. O período do estado i 
é definido como o inteiro t (𝑡 > 1) tal que 
𝑝𝑖𝑖
𝑛 = 0 para todos os valores de n diferentes 
de 𝑡, 2𝑡, 3𝑡, … e t é o maior inteiro com essa 
propriedade. 
 Se houver dois números consecutivos 𝑠 e 
𝑠 + 1 tais que o processo possa se encontrar 
no estado i nos instantes 𝑠 e 𝑠 + 1, o estado é 
dito como tendo período 1 e é denominado 
estado aperiódico. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 Em uma cadeia de Markov de estados finitos, os 
estados recorrentes que forem aperiódicos são 
denominados estados ergódicos. Uma cadeia de 
Markov é dita ergódica se todos os seus estados 
forem estados ergódicos. 
 Será visto a seguir que uma importante 
propriedade duradoura de uma cadeia de 
Markov, que seja tanto irredutível como ergódica, 
é que as probabilidades de transição em n etapas 
convergirão para probabilidades de estado 
estável à medida que n for crescendo.

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