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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA – UFSC 
CENTRO TECNOLÓGICO DE JOINVILLE 
 
 
 
Leonardo Henrique Tártari 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DA ETAPA 2 DO PROJETO DE CONTROLE DIGITAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joinville, 2017.2
2 
 
SUMÁRIO 
 
1 CORREÇÃO............................................................................................. 3 
2 RESPOSTA AO DEGRAU E DIAGRAMA DE BODE ...................... 4 
2.1 Resposta ao degrau .................................................................................... 4 
2.2 Diagrama de Bode ..................................................................................... 5 
3 TEMPO DE AMOSTRAGEM (PLANTA) ........................................... 7 
4 TEMPO DE AMOSTRAGEM (REQUISITOS) ................................... 8 
5 CÁLCULO DE G(z) ................................................................................. 8 
6 CÁLCULO DE G(w) ................................................................................ 9 
 REFERÊNCIAS ....................................................................................... 10 
 ANEXOS ................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. CORREÇÃO 
 
Uma correção viável que achei necessária acrescentar foi no item 4 da etapa 1, 
onde se pede a função de transferência discreta do sistema ( ). Como na época não 
tínhamos visto como se achar uma função de transferência discreta de malha aberta de 
forma objetiva, o cálculo da mesma foi realizado erroneamente. Então, antes de 
acumular erros optou-se por fazer a correção. 
Na etapa 1, utilizei a resposta ao degrau do sistema ( ) para achar a função 
de transferência discreta, onde se precisa utilizar a ( ). A equação para achar a função 
discreta é a seguinte: 
 
 ( ) 
( )
 
 {
 ( )
 
} ( ) 
 
Temos que nossa função de transferência no domínio complexo que foi 
calculada na etapa 1 é: 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
A partir das raízes da equação característica na equação (2), podemos reescreve-
la: 
 
 ( ) 
 
( )( )
 ( ) 
 
As continuações dos cálculos foram feitas manuscritas, mostrando 
detalhadamente o passo a passo. Estes que se encontram em anexo. Anexos 1, 2, 3 e 4. 
Logo, após os cálculos feitos, obtivemos a nossa função de transferência discreta 
do sistema (4) com o tempo de amostragem de . 
 
4 
 
 ( )
 (
( )
 
) *(
 ( )
( )( )
)
 (
 [ ( )( ( ) ( )) ( ( ) )]
( )( ( ) )
)
 (
 [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))]
( )( ( ) )
)+ ( ) 
 
 
2. RESPOSTA AO DEGRAU E DIAGRAMA DE BODE 
 
A partir da função de transferência do sistema no domínio complexo (2) foi feita 
a simulação da resposta quando aplicado uma entrada degrau unitário e também o 
diagrama de Bode. Ambas as simulações foram feitas no software Scilab. 
 
 
2.1. Resposta ao degrau 
 
Para a simulação foram usados os seguintes comandos e foi obtido o gráfico a 
seguir (Figura 1): 
 
>> s = poly(0,‟s‟); 
>> T = [0:0.1:20]; 
>> G = 4/( s^3+3*s^2+8*s+3); 
>> Y = csim(„step‟,T,G); 
>> plot(T,Y); 
 
5 
 
 
Figura 1 – Resposta do sistema ao degrau (Scilab). 
 
Pela resposta ao degrau do respectivo sistema contínuo é possível afirmar que 
ele é convergente para um valor de 1,333, portanto, estável, com um regime transitório 
semelhante ao um sistema de primeira ordem, onde foi feita a aproximação na etapa 1 e 
foi obtido uma constante de tempo de aproximadamente 2,6 segundos. Logo, podemos 
concluir que o tempo em que o sistema chega no seu regime permanente é de 
aproximadamente 10,4 segundos. 
 
 
2.2. Diagrama de Bode 
 
Para encontrar o respectivo diagrama de Bode do sistema, os seguintes 
comandos foram utilizados e o gráfico obtido segue na Figura 2 com alguns pontos 
necessários para encontrar alguns parâmetros. 
 
>> s = poly(0,‟s‟); 
>> G = 4/(s^3+3*s^2+8*s+3); 
>> Gma = syslin('c', G); 
>> bode(Gma); 
6 
 
 
 
Figura 2 – Diagrama de Bode. 
 
Pelo diagrama de Bode podemos calcular a margem de fase e margem de ganho 
do sistema, como explicado em introdução ao controle. Essas margens são a “gordura” 
do sistema. 
Com os pontos marcados no diagrama de Bode foi possível achar uma Margem 
de Ganho de 14,43 dB, positivo pois o sistema é estável. 
 
 ( ) (5) 
 
Uma Margem de Fase de 129,58°. 
 
 ( ) ( ) 
 
Essa é a quantidade de ganho e de fase que o sistema pode utilizar antes que ele 
entre na instabilidade. 
É possível encontrar também a frequência de corte do sistema de 0,4485 rad/s, 
onde se consegue pelo valor inicial de amplitude atenuado de 3 dB, portanto, 
7 
 
 , com esta amplitude se encontra a frequência de 
 . Frequência mínima necessária para o sistema entrar 
em ação. 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
3. TEMPO DE AMOSTRAGEM (PLANTA) 
 
É possível achar um tempo de amostragem da planta a partir da frequência 
natural do sistema. Como o sistema da planta é de terceira ordem, ele pode ser dividido 
por frações parciais para um sistema de primeira ordem e um de segunda, como é 
mostrado na equação (3). 
Com a constante de tempo do polinômio de primeira ordem não é possível 
afirmar nada sobre um possível tempo de amostragem pois a resposta do mesmo é do 
tipo exponencial que converge para um valor K. Mas com o polinômio de segunda 
ordem é possível achar a respectiva frequência natural e usá-la para achar um tempo de 
amostragem devido a sua resposta ser do tipo oscilatória. Neste caso, a partir da equação 
característica é possível encontrar a constante de amortecimento ( ) e a frequência 
natural do sistema ( ). 
 
 
 
 
 ( ) 
 
A partir da frequência natural ( ). da equação característica de segunda ordem 
mostrada anteriormente e também usando o teorema da amostragem de Nyquist-
Shannon (9) que conclui: a frequência de amostragem deve ser pelo menos o dobro da 
frequência máxima do sistema. 
 
 ( ) 
 
8 
 
Os cálculos realizados para se chegar no tempo de amostragem da planta se 
encontram no anexo 5, logo, o tempo que se obteve a partir da frequência natural ( ) 
foi de . 
Poderia também se achar um tempo de amostragem a partir do tempo de subida 
do sistema ( ) conforme foi citado em um documento da Universidade de São Paulo 
(USP) que se encontra nas referências. O cálculo a partir deste tempo de subida é feito 
usando a seguinte equação: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde é o tempo de subida e , como explicado no documento, é o número 
de períodos de amostragem por tempo de subida, que em projetos que utilizando o 
tempo discreto é razoável usar um , porém, se o projeto for realizado em tempo 
contínuo, . 
No anexo 5 se encontra o cálculo do tempo de subida que fica na casa de 1,1072 
segundos, portanto, aplicando os valores na equação (10) se tem um tempo amostragem 
de 0,11072 segundos. 
A veridicidade deste último modo é duvidosa, pois o tempo de amostragemficou 
pequeno. 
 
 
4. TEMPO DE AMOSTRAGEM (REQUISITOS) 
 
Usando os requisitos de controle citados na descrição do trabalho, é possível 
chegar em um tempo de amostragem conforme foi calculado nos anexos 6 e 7. Se 
obteve um tempo de 1,1698 segundos. 
 
 
5. CÁLCULO DE G(z) 
 
No item 7 da segunda etapa deste projeto se pede o cálculo de ( ) supondo 
ZOH, porém, este cálculo já foi feito anteriormente, inclusive, o cálculo se encontra 
9 
 
nesta etapa no tópico 1 – Correção, onde foi recalculado ( ) mas agora usando a 
equação (1) de forma correta. 
Conforme os cálculos, ( ) ficou da seguinte forma: 
 
 ( )
 (
( )
 
) *(
 ( )
( )( )
)
 (
 [ ( )( ( ) ( )) ( ( ) )]
( )( ( ) )
)
 (
 [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))]
( )( ( ) )
)+ ( ) 
 
Como se pede na descrição, a ( ) é aplicada no tempo de amostragem 
calculado no tópico 4, onde se considera os requisitos de controle, . 
 
 
6. CÁLCULO DE G(w) 
 
Encontrar ( ) supondo uma transformação bilinear ainda não será possível, 
pois não chegamos até este assunto em sala. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
REFERÊNCIAS 
 
BRITO, Alexandro Garro. Controle digital: Módulo I, 31 jul. 2017, 07 dec. 2017. 212 
p. Notas de Aula. 
 
JULIANI, Aline Durrer Patelli. Introdução ao Controle. 31 jul. 2017, 28 ago. 2017. 
385 p. Notas de Aula. 
 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – USP. Implementação digital de controladores 
PID. Disponível em: 
<https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0a
hUKEwjEoqmi44fXAhUKE5AKHVLZB6YQFggsMAE&url=http%3A%2F%2Fmono
ceros.mcca.ep.usp.br%2FESL%2Fdisciplinas%2Fpmr2400-controle-e-automacao-
ii%2Fexperiencia5-v2006.pdf&usg=AOvVaw13W9Cq42HgC_L8CIt0Amb_>. 
Acessado em: 15 Out. 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
ANEXOS 
 
Anexo 1 – Correção G(z) (parte 1). 
 
 
12 
 
Anexo 2 – Correção G(z) (parte 2). 
 
 
 
13 
 
Anexo 3 – Correção G(z) (parte 3). 
 
 
 
14 
 
Anexo 4 – Correção G(z) (parte 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Anexo 5 – Tempo de amostragem da planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Anexo 6 – Tempo de amostragem com requisitos (parte 1). 
 
 
17 
 
Anexo 7 – Tempo de amostragem com requisitos (parte 2).