Controle Digital ETAPA 3 V1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA – UFSC 
CENTRO TECNOLÓGICO DE JOINVILLE 
 
 
 
Leonardo Henrique Tártari 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DA ETAPA 3 DO PROJETO DE CONTROLE DIGITAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joinville, 2017.2 
SUMÁRIO 
 
1 CORREÇÕES ETAPA 2 ......................................................................... 3 
1.1 Correção questão 1 .................................................................................... 3 
1.2 Correção questão 5 .................................................................................... 3 
1.3 Correção questão 6 .................................................................................... 4 
1.4 Correção questão 7, letra ‘a’...................................................................... 5 
2 TRANSFORMAÇÃO BILINEAR ........................................................ 5 
3 ETAPA III - PERGUNTA 1 .................................................................. 6 
3.1 Valor de Kp para atender ess (letra a) ...................................................... 6 
3.2 Faixa de Kp para malha fechada (letra b) ................................................ 7 
3.3 Kp para requisitos de desempenho (letra c) ............................................. 7 
4 PERGUNTA 2 ........................................................................................ 9 
4.1 Controlador PI .......................................................................................... 9 
5 PERGUNTAS 3 E 4 ................................................................................ 10 
 REFERÊNCIAS ...................................................................................... 11 
 ANEXOS .................................................................................................. 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
1. CORREÇÕES ETAPA 2 
 
Neste primeiro tópico irá ser feito algumas correções em relação ao relatório da 
etapa 2 onde se constatou alguns erros que devem ser corrigidos para não perpetuar o 
mesmo. 
 
 
1.1. Correção questão 1 
 
Em relação ao tópico um da etapa 2, onde é feita a correção da função de 
transferência discreta do sistema (𝐺(𝑧)), faltou ser aplicado o tempo de amostragem de 
𝑇 = 0,01 𝑠, por isso que 𝐺(𝑧) ficou com um tamanho grande. Aplicando este tempo de 
amostragem como pede no enunciado da questão um da etapa 2 e simplificando os termos, 
chegamos finalmente em 𝐺(𝑧) para um 𝑇 = 0,01 𝑠. Os cálculos realizados são 
mostrados no Anexo 1. 
 
𝐺(𝑧) =
0,0293𝑧2 − 0,2816𝑧 + 0,2511
𝑧3 − 2,967𝑧2 + 1,937𝑧 − 0,97
 (1) 
 
 
1.2. Correção questão 5 
 
Na questão cinco da etapa 2 não houve um erro realmente. O tempo de 
amostragem encontrado de 𝑇𝑠 = 1,197𝑠 é um valor muito alto para a amostragem do 
sistema, não é possível caracterizar discretamente a curva sendo que os pontos de 
amostragem estão muitos espaçados entre si. Este tempo deixa a desejar principalmente 
na resposta transitória do sistema, onde se tem uma grande inclinação da curva, como é 
mostrado na figura a seguir (Figura 1). 
 
 
4 
 
 
Figura 1 – Amostragem com 𝑇 = 1,2 𝑠. 
 
Para resolver este problema, foi relatado o mesmo para o professor onde se 
aconselhou a pegar 10% deste valor para que a curva seja bem amostrada. 
 
𝑇𝑠 = 0,1197 𝑠 (2) 
 
Então com um tempo de amostragem (2) é possível amostrar devidamente o 
sistema. 
 
 
1.3. Correção questão 6 
 
A correção para o tempo de amostragem considerando os requisitos de 
desempenho é a mesma que a do tópico anterior. Encontrou-se um tempo de amostragem 
inicialmente de 𝑇𝑠 = 1,1698 s, este tempo é muito grande pois se perde características da 
curva. 
Logo, podemos pegar 10% deste valor para assim conseguir uma amostragem 
satisfatória (3). 
 
𝑇𝑠 = 0,117 𝑠 (3) 
5 
 
1.4. Correção questão 7, letra ‘a’ 
 
Na questão sete, letra ‘a’ da etapa 2 se pede a função de transferência discreta do 
sistema 𝐺(𝑧) com tempo de amostragem levando em conta os requisitos de controle (3). 
Este tempo não foi aplicado na etapa anterior, então, completando a questão, se aplica o 
tempo de amostragem 𝑇𝑠 = 0,117 𝑠 na expressão gigante de 𝐺(𝑧) presente na etapa 2. 
Logo simplificando as expressões, temos: 
 
𝐺(𝑧) =
−0,527𝑧2 + 1,382𝑧 − 0,834
𝑧3 − 2,612𝑧2 + 2,318𝑧 − 0,704
 (4) 
 
Os cálculos realizados para chegar em (4) estão presentes nos anexos 2 e 3. 
 
 
2. TRANSFORMAÇÃO BILINEAR 
 
Na etapa anterior, não foi possível realizar a transformação bilinear pois ainda não 
tínhamos visto este conteúdo na época, portanto, a transformação está presente nesta 
etapa. 
Algumas técnicas importantes que se tem no plano 𝑠 não são mais válidas para o 
plano 𝑧. Para resolver este problema é feita a transformação bilinear, onde esta, vai dar 
origem a um novo plano, o plano 𝑤. 
O plano 𝑤 mapeia a região de estabilidade do disco unitário em 𝑧 no lado esquerdo 
de seu plano como mostra na Figura 2 a seguir. Sendo assim, o plano 𝑤 é uma 
aproximação do plano 𝑠 para o caso discreto. Com este plano, permite utilizar as mesmas 
técnicas vistas no caso contínuo. 
 
 
Figura 2 – Mapeamento plano z para w. 
6 
 
A relação de 𝑧 para 𝑤 necessária para a transformação bilinear é a seguinte: 
 
𝑧 ≈
2 + 𝑇𝑤
2 − 𝑇𝑤
 (5) 
 
Duas coisas devem ser levadas em conta para esta transformação: 𝑖) Esta 
transformação se trata de uma aproximação do plano 𝑠, então, as ferramentas utilizadas 
para o caso contínuo podem ser utilizadas no plano 𝑤, mas isso não implica que os 
requisitos de desempenho sejam os mesmos; 𝑖𝑖) Quanto menor o tempo de amostragem 
do sistema, mais parecido o plano 𝑤 vai ser do plano 𝑠. 
Finalmente, fazendo a substituição da equação (5) na 𝐺(𝑧) encontrada 
anteriormente em (4) e simplificando as equações chegamos na função 𝐺(𝑤). Os cálculos 
estão em anexo (Anexo 4 e 5). 
 
𝐺(𝑤) =
0,071𝑤3 − 2,088𝑤2 + 14,83𝑤 − 12,3
𝑤3 − 4,06𝑤2 − 64,94𝑤 − 30,79
 (6) 
 
 
3. ETAPA III - PERGUNTA 1 
 
3.1. Valor de Kp para atender ess (letra a) 
 
A primeira pergunta da etapa 3 se pede para encontrar um valor de ganho 
proporcional (𝐾𝑝) tal que atenda o requisito de erro em estado estacionário menor que 
0,001. Considerando uma entrada degrau unitário discreto (7). 
 
𝑅(𝑧) =
𝑧
𝑧 − 1
 (7) 
 
A partir da função de transferência discreta encontrada (4), é possível encontrar 
este ganho usando a equação do erro em estado estacionário: 
 
lim
𝑧→1
(𝑧 − 1)𝑅(𝑧)
1
1 + 𝐾𝑝𝐺(𝑧)
 (8) 
 
7 
 
Os cálculos realizados estão no Anexo 6, logo, foi encontrado o valor 𝐾𝑝 > 5,58 
para que seja atendido este requisito de desempenho. 
 
 
3.2. Faixa de Kp para malha fechada (letra b) 
 
Na letra ‘b’ da primeira pergunta da etapa 3, se pede a faixa de 𝐾𝑝 para que o 
sistema em malha seja estável, para isso foi aplicado o critério de estabilidade de Jury 
visto em aula. Este método seria o equivalente ao método de Routh para o caso contínuo. 
Este teste de Jury leva em conta 4 condições para verificar se um sistema é estável: 
 
• 𝐺(1) > 0; 
• (−1)𝑛𝐺(−1) > 0; 
• ||𝑎0|| < 𝑎𝑛; 
• Em cada linha a partir da terceira, o módulo do 1º deve ser maior que o 
módulo do último elemento. 
 
Estas regras foram aplicadas para 𝐺(𝑧) e então encontrado a faixa de valores. Os 
cálculos estão em anexo (Anexo7 e 8). 
A faixa de valores encontrados para 𝐾𝑝 foi de −0,0952 < 𝐾𝑝 < 0,355. 
 
 
3.3. Kp para requisitos de desempenho (letra c) 
 
Nesta questão, é pedido um valor de 𝐾𝑝 para que atenda aos requisitos de tempo 
de acomodação e percentual de sobressinal pelo diagrama de lugar das raízes. 
O lugar das raízes foi plotado pelo Scilab, e pôde-se observar que não existe um 
valor de 𝐾𝑝 para o que atenda aos requisitos (Figura 3). 
 
8 
 
 
Figura 3 – Lugar das Raízes. 
 
Os comandos utilizados no Scilab para plotar o lugar das raízes foram os 
seguintes: 
 
 >> z = poly(0,’z’); 
 >> G1 = (-0.527*z^2+1.384*z-0.834); 
 >> G2 = (z^3-2.61*z^2+2.318*z-0.704); 
 >> G = G1/G2; 
 >> H = syslin('d', G); 
>> evans(H, 7); 
>> zgrid(0.591); 
 
Este zeta (ζ) utilizado é para um PSS máximo de 10%, então, não é possível 
diminuir o valor de zeta pois já foi utilizado o máximo. 
 
 
 
 
 
 
9 
 
4. PERGUNTA 2 
 
4.1. Controlador PI 
 
Para esta questão, é pedido que encontre um controlador PI (Proporcional 
Integrativo) tal que atenda aos requisitos de tempo de acomodação e percentual de 
sobressinal. 
Inicialmente encontramos o polo no plano 𝑠 que atenda estes requisitos. Como é 
mostrado no Anexo 9, o ponto escolhido é o 𝑠 = −1,587 ± 𝑗2,163. Devemos mapear 
este ponto no plano 𝑧 para termos o ponto equivalente no domínio discreto, para isso, 
utilizamos a relação de 𝑠 para 𝑧 utilizando o tempo de amostragem (3): 
 
𝑧 = 𝑒𝑠𝑇 (8) 
 
Obtivemos os pontos 𝑧 = 0,804 ± 𝑗0,208 no plano 𝑧. Este é o ponto em que 
devemos fazer o lugar das raízes passar. 
Fazendo todos os cálculos chegamos em um controlador PI com a seguinte forma: 
 
𝐶(𝑧) = 0,1354 + 1,333 (
𝑧 − 0,9848
𝑧 − 1
) (9) 
 
Os cálculos feitos então presentes nos Anexos 9, 10 e 11. 
Para encontrar o zero adicional que a fração integrativa adiciona no sistema, 
utilizou-se a condição de ângulo e para encontrar os ganhos, foi utilizado a condição de 
módulo. 
 
• Condição de Ângulo: ∑ 𝜑𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 − ∑ 𝜃𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 = −180°; 
• Condição de Módulo: |𝐶(𝑧𝑑)𝐺(𝑧𝑑)| = 1; 𝑧𝑑 → 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜. 
 
 
 
 
 
 
10 
 
5. PERGUNTAS 3 E 4 
 
Inicialmente surgiu um grande interesse em realizar a atividade proposta, porém, 
não foi possível obter uma resolução pelo fato de falta de aulas. Como este semestre fui 
bem conturbado, isto acabou prejudicando o andar da matéria em Controle Digital e 
acabamos ficando sem algumas aulas importantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
REFERÊNCIAS 
 
UTFPR, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Projeto no plano W. Disponível 
em:<https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved
=0ahUKEwiSp9nr4efXAhUCNpAKHQKgDwgQFggxMAI&url=http%3A%2F%2Fpag
inapessoal.utfpr.edu.br%2Fbrero%2Fcontrol_2%2F9_PROJETO%2520NO%2520PLA
NO%2520W.pdf%2Fat_download%2Ffile&usg=AOvVaw0pPUHfHeO_rnLdXz2L95-
2>. Acessado em: 30 de novembro de 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
ANEXOS 
 
Anexo 1 – Correção questão 1 etapa 2. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Anexo 2 – Correção questão 7 etapa 2 (parte 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Anexo 3 – Correção questão 7 etapa 2 (parte 2). 
 
 
 
 
15 
 
Anexo 4 – Transformação Bilinear (parte 1). 
 
 
 
 
 
16 
 
Anexo 5 – Transformação Bilinear (parte 2). 
 
 
 
 
17 
 
Anexo 6 – Valor de Kp a partir do ess. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Anexo 7 – Faixa de Kp para requisitos de desempenho (parte 1). 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Anexo 8 – Faixa de Kp para requisitos de desempenho (parte 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Anexo 9 – Controlador PI (parte 1). 
 
 
 
 
 
21 
 
Anexo 10 – Controlador PI (parte 2). 
 
 
 
22 
 
Anexo 11 – Controlador PI (parte 3).