Aula 05 - Curvas Horizontais Circulares

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ESTRADAS
David Anderson Cardoso Dantas
dacd@ctec.ufal.br
Delmiro Gouveia-AL
2015.2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS DO SERTÃO
ENGENHARIA CIVIL
NOÇÕES GERAIS E 
ESTUDO DOS 
MATERIAIS DE 
SUPERFÍCIE
CURVAS 
HORIZONTAIS 
CIRCULARES
SUMÁRIO DA AULA
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
CONCORDÂNCIA COM CURVAS SIMPLES
LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES
INDICAÇÕES USUAIS EM PLANTA
Apresentar os subsídios necessários à compreensão dos estudos de curvas horizontais
circulares.
OBJETIVO
INTRODUÇÃO
CONSIDERAÇÕES INICIAIS: DEFINIÇÃO
Conforme estudado em Topografia, o eixo de uma rodovia pode ser imaginado como
sendo constituído por uma poligonal aberta, orientada, cujos alinhamentos são
concordados, nos vértices, por curvas horizontais.
Assim, o eixo compreenderá trechos retos e curvos; na terminologia de projeto
geométrico, os trechos retos do eixo são denominados por tangentes (não sendo
chamados de “retas”).
CONSIDERAÇÕES INICIAIS: ESTAQUEAMENTO
Para fins de caracterização dos elementos que constituirão a rodovia, definem-se pontos
sucessivos ao longo do eixo. Esses pontos, denominados estacas, são marcados a cada
20,00m de distância a partir do ponto de início do projeto e numerados sequencialmente.
O ponto de início do projeto constitui a estaca 0 (zero), sendo convencionalmente
representada por 0 = PP (estaca zero = Ponto de Partida); os demais pontos, equidistantes
de 20,00 m, constituem as estacas inteiras, sendo denominadas sequencialmente, por
estaca 1, estaca 2, ... e assim sucessivamente.
CONCORDÂNCIA 
COM CURVA 
CIRCULAR SIMPLES
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: ESCOLHA DA CURVA
A Diretriz definida até então, é composta por trechos retos consecutivos; estas tangentes
devem ser melhor concordadas através de curvas, visando dar suavidade ao traçado.
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: ELEMENTOS
Para a concordância de dois alinhamentos retos que se interceptam em um vértice,
utiliza-se geralmente, no projeto geométrico de rodovias, a curva circular.
PI = ponto de interseção das tangentes;
PC = ponto de curva;
PT = ponto de tangente;
I = ângulo de deflexão;
AC = ângulo central da curva;
T = tangente externa (m);
D = desenvolvimento da curva circular (m);
R = raio da curva circular (m);
O = Centro da curva circular.
Esta preferência é devida às boas propriedades que a curva circular oferece tanto para
tráfego, pelos usuários da rodovia, como para o próprio projeto da curva e para a sua
posterior materialização no campo, por processos de locação.
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: ELEMENTOS
RAIO DA CURVA (R): É o raio do arco do círculo empregado na concordância,
normalmente expresso em metros. É um elemento selecionado por ocasião do projeto, de
acordo com as características técnicas da rodovia e a topografia da região.
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: ELEMENTOS
ÂNGULO CENTRAL (AC): É o ângulo formado pelos raios que passam pelo PC e PT e que se
interceptam no ponto O. Estes raios são perpendiculares nos pontos de tangência PC e PT.
Este ângulo é numericamente igual a deflexão (I) entre os dois alinhamentos.
A soma dos ângulos internos do
quadrilátero PC, PI, PT, O vale:
90° + 90° + ( 180° - I ) + AC = 360°
AC = I
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: ELEMENTOS
TANGENTES EXTERNAS (T): São os segmentos de retas que vão do PC ao PI ou do PI ao PT
(não confundir com a extensão do trecho em tangente entre duas curvas consecutivas).
No triângulo PC, O, PI obtém-se:
tan
��
2
� 	
	
	 � 
 ∙ tan
��
2
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: ELEMENTOS
DESENVOLVIMENTO DA CURVA (D): É o comprimento do arco do círculo que vai desde o
PC ao PT.
No triângulo PC, O, PI obtém-se:
�
2 ∙ 
 ∙ 
� 	
��
360°
� � �� ∙ 
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: CÁLCULO DA 
CONCORDÂNCIA
Ao se projetar uma concordância horizontal, parte-se do conhecimento dos elementos da
poligonal, dentre os quais interessam de imediato os comprimentos dos alinhamentos e
os ângulos de deflexão nos vértices.
Assim, o elemento que falta para a definição geométrica da concordância é o raio da
curva circular a ser utilizada.
 �	?
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: CÁLCULO DA 
CONCORDÂNCIA
As Normas do DNIT estabelecem, para cada classe de projeto e para as diferentes
condições de relevo da região atravessada, os valores de raios mínimos a serem
observados nos projetos das concordâncias horizontais.
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: CÁLCULO DA 
CONCORDÂNCIA
Para ilustrar o procedimento de cálculo de concordâncias com curvas circulares simples,
imagine o projeto de um eixo, com os alinhamentos definidos na forma da figura, no qual
se queira efetuar as concordâncias com os raios de curva R1 = 200,00 m e R2 = 250,00 m.
	� � 200,00 ∙ tan
24°12�40��
2
� 42,90� 	� � 250,00 ∙ tan
32°49�50��
2
� 73,65�
�� � 24°12
�40�� ∙
180°
∙ 200,00 � 84,51� �� � 32°49
�50�� ∙
180°
∙ 250,00 � 143,25�
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: CÁLCULO DA 
CONCORDÂNCIA
A partir daí, pode-se calcular os comprimentos das tangentes; pode-se, então, calcular as
distâncias da origem até os pontos singulares do eixo (PC1, PT1, PC2, PT2 e PF),
determinando-se as estacas desses pontos.
��� � 0 − � � − 	� = 133,97 − 42,90 = 91,07� ≡ 4 + 11,07�
�	� = ��� + �� = 4 + 11,07� + 84,51� ≡ 8 + 15,58�
��� = �	� + � � − � � − 	� − 	� = 8 + 15,58� + 199,49 − 42,90 − 73,65 �
��� ≡ 12 + 18,52�
�	� = ��� + �� = 12 + 18,52� + 143,25� ≡ 20 + 1,77�
Calculando-se diretamente o estaqueamento chega-se aos seguintes valores:
�# = �	� + � � − �# − 	� = 20 + 1,77� + 151,12 − 73,65 � ≡ 23 + 19,24�
CONCORDÂNCIA COM CURVA CIRCULAR SIMPLES: CÁLCULO DA 
CONCORDÂNCIA
Na figura está representado o eixo projetado com as concordâncias acima calculadas.
LOCAÇÃO DE 
CURVAS 
CIRCULARES
LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES: DEFINIÇÃO
O desenho em escala do eixo projetado é tarefa relativamente simples. Já o “desenho” do
eixo projetado em escala real, no campo, consiste na marcação topográfica de pontos
representativos do eixo, materializados por meio de piquetes (ou estacas) no terreno.
O processo de materialização de pontos do eixo no terreno é denominado de locação do
eixo.
LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES: COORDENADAS
A locação de uma curva por coordenadas geralmente é executada por equipamentos
eletrônicos. Este deve ter uma visão abrangente da curva a locar, podendo estar
posicionado em qualquer local.
LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES: DEFLEXÕES ACUMULADAS
A locação de uma curva por deflexão é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada,
ponto a ponto, com o equipamento instalado no PC.
INDICAÇÕES 
USUAIS EM PLANTA
INDICAÇÕES USUAIS EM PLANTA
Apresenta-se algumas das indicações usuais em planta de curvas horizontais circulares.
INDICAÇÕES USUAIS EM PLANTA
Apresenta-se algumas das indicações usuais em planta de curvas horizontais circulares.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO: CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
1 - Calcular os elementos de uma Curva Circular Simples, sendo dados:
PI = Est 148 + 5,60m
AC = 22°36’
R = 600,00 m
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO: CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
2 - Calcular as estacas do ponto final do trecho e os pontos notáveis (PC1, PT1, PC2, PT2,),
para o traçado abaixo com as curvas circulares.
SUMÁRIO DA AULA
Foram apresentados os princípios gerais que orientam os estudos de curvas horizontais
circulares.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
CONCORDÂNCIA COM CURVAS SIMPLES
LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO