66472538-Apostila-Vetores-e-Geometria-Analitica

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Vetores e Geometria Analítica
Regina Maria Sigolo Bernardinelli 
 
Regina Maria Sigolo Bernardinelli 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores e Geometria Analítica 
Educação a Distância 
 2
SUMÁRIO 
 
 APRESENTAÇÃO.................................................................................................5 
 INTRODUÇÃO ......................................................................................................6 
1 VETORES NO R3 ..................................................................................................9 
1.1 O Ponto no R3........................................................................................................9 
1.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal...............................................................................9 
1.2 Segmentos Orientados Equipolentes ..................................................................10 
1.2.1 Definição..............................................................................................................10 
1.2.2 Relação de Equivalência ....................................................................................11 
1.3 Vetor ....................................................................................................................12 
1.3.1 Definição.............................................................................................................12 
1.4 Adição de Vetores ...............................................................................................13 
1.4.1 Propriedades da Adição de Vetores ....................................................................14 
1.5 Produto de Vetor por Escalares...........................................................................16 
1.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares ...............................................17 
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas............................................................20 
1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas......................................21 
1.7 Vetor em Coordenadas........................................................................................22 
1.7.1 Definição..............................................................................................................22 
1.7.2 Igualdade de Vetores..........................................................................................23 
1.7.3 Adição de Vetores ...............................................................................................24 
1.7.4 Multiplicação por um Escalar...............................................................................24 
1.8 1ª Lista de Exercícios ..........................................................................................26 
1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................28 
2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ..................................................29 
2.1 Vetores Linearmente Independentes...................................................................29 
2.1.1 Definição..............................................................................................................29 
2.1.2 Exemplo...............................................................................................................29 
2.2 Vetores Linearmente Dependentes .....................................................................30 
2.2.1 Definição..............................................................................................................30 
 3
2.2.2 Exemplo...............................................................................................................30 
2.3 Combinação Linear .............................................................................................33 
2.3.1 Definição..............................................................................................................33 
2.3.2 Exemplos.............................................................................................................33 
2.4 Base ....................................................................................................................34 
2.4.1 Definição..............................................................................................................34 
2.4.2 Exemplo...............................................................................................................34 
2.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base ..........................................35 
2.4.4 Base Canônica ....................................................................................................35 
2.4.5 Exemplos.............................................................................................................37 
2.5 2ª Lista de Exercícios ..........................................................................................41 
2.6 Respostas da 2ª Lista de Exercícios ...................................................................42 
3 PRODUTOS ENTRE VETORES .........................................................................43 
3.1 Produto Escalar ou Produto Interno.....................................................................43 
3.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores ..................................................................................43 
3.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor ...............................................44 
3.1.2.1 Propriedades ......................................................................................................45 
3.1.3 Definição de Produto Escalar ..............................................................................45 
3.1.3.1 Propriedades ......................................................................................................45 
3.1.4 Bases Ortonormais ..............................................................................................46 
3.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar.....................................................48 
3.2 Produto Vetorial ou Produto Externo ...................................................................51 
3.2.1 Orientação de R3 .................................................................................................52 
3.2.2 Definição de Produto Vetorial ..............................................................................53 
3.2.2.1 Propriedades ......................................................................................................53 
3.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial ....................................................55 
3.3 Produto Misto ......................................................................................................57 
3.3.1 Definição..............................................................................................................57 
3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto ........................................................58 
3.3.3 Propriedades .......................................................................................................60 
3.4 3ª Lista de Exercícios ..........................................................................................62 
 4
3.5 Respostas da 3ª Lista de Exercícios ...................................................................63 
4 RETAS E PLANOS NO R3..................................................................................64 
4.1 Sistema de Coordenadas ....................................................................................64 
4.2 A Reta no R3........................................................................................................66 
4.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos ..........................................................69 
4.3 O Plano no R3......................................................................................................704.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro Pontos ...................................................77 
4.4 4ª Lista de Exercícios ..........................................................................................78 
4.5 Respostas da 4ª Lista de Exercícios ...................................................................79 
4.6 Posição Relativa..................................................................................................79 
4.6.1 Reta e Reta .........................................................................................................79 
4.6.2 Plano e Plano ......................................................................................................83 
4.6.3 Reta e Plano........................................................................................................85 
5 Resolução dos Exercícios ................................................................................97 
5.1 Resolução da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................97 
5.2 Resolução da 2ª Lista de Exercícios .................................................................115 
5.3 Resolução da 3ª Lista de Exercícios .................................................................127 
5.4 Resolução da 4ª Lista de Exercícios .................................................................142 
 Considerações Finais ........................................................................................152 
 Referências .......................................................................................................153 
 Apêndice – Referências dos Exercícios ............................................................154 
 
 5
APRESENTAÇÃO 
 
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de 
Vetores e Geometria Analítica, parte integrante de um conjunto de materiais de 
pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância 
exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do 
conteúdo básico da disciplina. 
A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio 
de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-
mail. 
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca 
Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas 
setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de 
informação e documentação. 
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu 
estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado 
eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo 
aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. 
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em 
qualquer lugar! 
 
 
Unisa Digital 
 6
INTRODUÇÃO 
 
 Esta apostila reúne os principais tópicos de VETORES e GEOMETRIA 
ANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com a finalidade de orientar você, aluno 
do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD), no desenvolvimento do conteúdo dessa disciplina. 
É, portanto, um guia indispensável para acompanhar com sucesso as aulas WEB e 
SATÉLITE. 
A disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA tem por objetivo fornecer 
a você, subsídios que o auxiliem nas demais disciplinas do curso de ENGENHARIA 
AMBIENTAL/PRODUÇÃO. 
Saliento ainda a importância dos conceitos abordados no Capítulo 1, com o 
estudo dos vetores no R³, como aplicação na disciplina de FÍSICA, e a importância dos 
Capítulos 1 e 2 no estudo da disciplina ÁLGEBRA LINEAR, que você terá a 
oportunidade de estudar nos Módulos mais avançados do seu curso de ENGENHARIA 
AMBIENTAL/PRODUÇÃO. 
A Geometria, bem como toda ciência, pode ser estudada através de 
diferentes métodos, ou seja, um mesmo tópico geométrico pode ser abordado sob 
diversos enfoques ou pontos de vista. Assim, de acordo com o método utilizado, 
diferentes nomes são atribuídos às disciplinas de Geometria, como por exemplo: 
Geometria Axiomática (ou de Posição): é o estudo da Geometria o qual devemos a 
Euclides, feito por meio da ligação entre axiomas, definições e teoremas, reunidos em 
seus “Elementos” (cerca de 300 A.C.) 
Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria devido a Gaspard Monge (1746 – 
1818), que consiste em considerar as projeções dos entes geométricos sobre dois 
planos fixados, para através dessas projeções tirar conclusões sobre esses entes 
geométricos. 
Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano o qual devemos 
a René Descartes (1596 – 1650), que associa equações aos entes geométricos, e 
através do estudo dessas equações, feito com o auxílio da Álgebra, é que tiramos 
conclusões a respeito desses entes geométricos. 
 7
Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo da 
Geometria. Assim é que, para estudarmos a Geometria Axiomática utilizamos a Lógica, 
para o desenvolvimento da Geometria Descritiva a ferramenta utilizada é o Desenho e 
para o estudo da Geometria Analítica lançamos mão da Álgebra Elementar, bem como 
da Álgebra Vetorial. 
O estudo da Álgebra Vetorial feito nos capítulos iniciais desta apostila 
servirão de apoio para os capítulos que abordam o tema Retas e Planos no R3, para 
possibilitar a você, caro aluno, uma aplicação imediata dos conceitos apresentados no 
Cálculo Vetorial, fazendo um importante elo de ligação entre estes conceitos. 
Você irá perceber ao estudar esta apostila que determinar um plano, por exemplo, do 
ponto de vista da Geometria Analítica, significa determinar sua equação e para isto, os 
conceitos de produtos vetorial e misto, vistos no Cálculo Vetorial, serão amplamente 
aplicados. 
A apostila ainda apresenta vários exemplos e exercícios propostos 
apresentados através de Listas de Exercícios, com as devidas resoluções indicadas 
no final da apostila. 
Vários exercícios dessas Listas se encontram resolvidos e minuciosamente 
explicados nas aulas WEB e também serão resolvidos nas aulas SATÉLITE, sendo 
extremamente importante que você assista às aulas, pois estas o auxiliarão na 
resolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do módulo. 
Para que o ciclo da aprendizagem se feche harmoniosamente, é necessário que você 
não deixe as dúvidas se acumularem e usufrua das ferramentas disponíveis para 
perguntas e respostas, tais como os Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de Bate 
Papo. 
Também fique atento ao Mural e ao Material de Apoio, pois através do 
primeiro me comunicarei com você e através do segundo disponibilizarei as aulas 
Satélite, a resolução das atividades não eletrônicas e qualquer outro tipo de material 
pertinente e interessante. 
 
 
 
 8
Desejo a você um ótimo Módulo com a seguinte frase do filósofo francês, 
Charles de Montesquieu: 
 
“É preciso estudar muito para saber um pouco.” 
 
 
Regina Maria Sigolo Bernardinelli1 
 
1 Apostila revisada e adaptada em julho/2011 pelo Professor Antonio Fernando Silveira Alves 
 9
1 VETORES NO R3 
 
1.1 O Ponto no R3 
 
1.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
 Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a 
dois, determinando assim o espaço R3, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dado um ponto P do espaço, sejam P1 , P2 e P3 as suas projeções, 
respectivamente sobre os eixos x, y e z. 
 Sejam xP , yP e zP , respectivamente as medidas algébricas dos segmentos 
orientados 321 OPeOP,OP . 
 
P 
P1 
P2 
P3 
O 
x 
y 
z10
 Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP , yP , zP), que 
são as coordenadas de P em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz. 
 
Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP) 
xP = 1OP = abscissa de P eixo x = eixo das abscissas 
yP = 2OP = ordenada de P eixo y = eixo das ordenadas 
zP = 3OP = cota de P eixo z = eixo das cotas 
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal 
O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano 
 
 A todo terno ordenado (a, b, c) do R3 corresponde um único ponto P do 
espaço tal que a = xP, b = yP e c = zP. 
 
1.2 Segmentos Orientados Equipolentes 
 
1.2.1 Definição 
 
 Dois segmentos orientados CDeAB são equipolentes e indica-se, CDAB ~ , 
quando uma das três afirmações for verificada: 
 
1) A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos. 
 
2) CDeAB são colineares e é possível deslizar CD sobre essa reta fazendo 
com que C coincida com A e D coincida com B. 
 
 
 11
3) A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes 
quando têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. 
 
1.2.2 Relação de Equivalência 
 
 A eqüipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz às seguintes 
propriedades: 
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo. 
 ABAB ~ 
b) Simetria: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD , 
então CD é equipolente a AB . 
 AB~CDCD~ABse ⇒ 
c) Transitividade: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado 
CD e se CD é equipolente ao segmento orientado EF , então AB é equipolente a EF . 
 EF~ABEF~CDeCD~ABse ⇒ 
 
 
A B 
D C 
 12
E 
A 
B 
C 
D 
M 
N 
1.3 Vetor 
 
1.3.1 Definição 
 
 Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, 
ou seja, é um conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
 Assim, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de 
todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado 
AB . 
 O segmento orientado AB é um representante do vetor AB que também 
pode ser indicado por AB ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, 
por exemplo, v . 
 Observem que embora usemos a mesma notação para representar vetor e 
segmento orientado, não podemos em hipótese alguma confundir esses dois entes 
matemáticos, pois enquanto o segmento orientado é um conjunto de pontos, o vetor é 
um conjunto de segmentos orientados. 
 Na figura, os segmentos orientados AB , CD , ... , são equipolentes e por 
esse motivo representam o mesmo vetor v . 
 
 
 
 v)AB(Cl = 
 
 
 
 
 
 
 
 13
 
Assim é que um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de 
segmentos orientados distintos, pois se AB é um segmento orientado e P é um ponto 
qualquer do espaço, então existe um único segmento orientado PQ, com origem em P, 
tal que PQ~ AB . Logo, o vetor AB tem exatamente um representante em cada ponto 
do espaço. 
 
1.4 Adição de Vetores 
 
 Sejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor soma desses vetores, 
indicado por u + v . 
 Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um único 
representante BC do vetor v . Definimos o vetor u + v como sendo o vetor cujo 
representante é o segmento orientado AC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u 
v
A 
B 
C 
u v
u + v 
 14
1.4.1 Propriedades da Adição de Vetores 
a) Comutativa: u + v = v + u , quaisquer que sejam os vetores u e v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ADBCv
DCABu
==
==
 
⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+
=+
ACDCAD
ACBCAB
uvvu +=+ 
b) Associativa: u + ( v + w ) = (u + v ) + w , quaisquer que sejam u , v e w . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
w)vu()wv(u ++=++ 
 
u 
v
A 
B 
C 
u v 
D 
uvvu +=+ 
?=+ vu 
 
u 
v
A 
B 
C 
u v 
u + v 
D 
w 
w
wv + 
w)vu()wv(u ++=++ 
 15
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser 
considerado como um segmento orientado AA , com origem A e extremidade A 
(segmento nulo). Assim, todos os segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si 
e, desse modo, o conjunto de todos os segmentos nulos do espaço é um vetor, 
indicado por 0 e que recebe o nome de vetor nulo. Então, se u é um vetor qualquer, 
temos: 
 
 
 
 
d) Simétrico: a cada vetor u é associado um vetor -u , chamado de simétrico ou 
oposto de u , do seguinte modo: se ABu = , então BAu =− . Como, AABAAB =+ , 
temos que: 
 
 
 
 
 
O vetor -u é o único vetor que satisfaz a igualdade acima, qualquer que seja u . 
 
Observação 
Sejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor diferença desses vetores. 
O vetor diferença w = u v− é a soma de u com o oposto de v . 
) v(uw −+= 
 Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um único 
representante BD do vetor v− . Definimos o vetor w = u v− como sendo o vetor cujo 
representante é o segmento orientado AD . 
 
 
 
 
 
0 + u = u + 0 = u 
0u)u(e0)u(u =+−=−+ 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Produto de Vetor por Escalares 
 
 Denomina-se escalar a qualquer número real. 
 Seja α um número real e v um vetor. 
 Vamos definir o vetor vα . 
 
1) Se α = 0 ou 0v = , por definição temos: 0vα = . 
2) Se 0ve0α ≠≠ , seja AB um representante do vetor v . 
 
O vetor vα é definido como sendo o vetor que tem como representante o 
segmento orientado AC , cujo comprimento é |α | vezes o comprimento de AB , situa-se 
sobre a reta que contém AB e se α > 0, tem o mesmo sentido que AB e se α < 0, tem 
sentido contrário ao de AB . 
 
u 
v
A 
B 
C 
u v
u + v 
- v 
D 
u - v 
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares 
 
 Quaisquer que sejam os escalares βeα e quaisquer que sejam os vetores u 
e v , valem as seguintes propriedades: 
 
a) vβvαvβ)(α +=+ 
b) vαuα)vuα( +=+ 
c) vβ)(α)vα(β = 
d) 1 v = v e (-1) v = - v 
 
EXEMPLOS 
1) Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de AC , 
D é ponto médio de AG Escrever HCeAF,AH em função de .bea 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
A 
B 
C 
α > 0 
α < 0 
X 
X 
 
A B C 
D E F 
G H I 
a 
b 
 18
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Percebam, por exemplo, que o 
vetor AH pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: 
GHAGAH += EHDEADAH ++= IHFICFBCABAH ++++= 
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que quero mostrar é o 
conceito de adição de vetores, ou seja, considerando-se, por exemplo, o segundo modo 
escrito acima, temos que o primeiro vetor da soma AD tem sua origem sempre 
coincidindo com a origem do vetor AH (ponto A), assim como o segundo vetor deve ter 
origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro e assim, sucessivamente, vamos 
“emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até fecharmos o 
caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor 
AH (ponto H). Então, teremos: 
 GHAGAH += , ( AG = 2b, pois D é ponto médio de AGe aGH = , pois ABHG é 
paralelogramo). Ficando então: 
ab2AH += 
CFACAF += ( a2AC = , pois B é ponto médiode éACFDpois,bCF;AC = 
amoparalelogr ). Então fica: 
ba2AF += 
AGHIHCCIHIHCICHIHC −=⇒−=⇒+= 
2baHC −= 
2) Na figura abaixo, y
3
4x
3
1BCeyAD,xAB +−=== . Pede-se escrever os vetores 
DCeAC em função de ydeex . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
 19
 
 
 
 
 
y
3
4x
3
2AC += 
 
y
3
4x
3
1xyDC
)y
3
4x
3
1(xyDC
BCABADDC
BCABDADC
+−+−=
+−++−=
++−=
++=
 
y
3
1x
3
2DC += 
 
3) Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. 
Demonstrar que: AO6AFAEADACAB =++++ 
(Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de centro O e 
raio r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
3
4x
3
1xAC
)y
3
4x
3
1(xAC
BCABAC
+−=
+−+=
+=
 
A 
B C 
D 
E F 
 X 
 O 
 20
Vamos escrever cada um dos vetores AFAEADACAB ,,,, como soma de outros 
vetores onde apareça o vetor AO . 
OFAOAF
OEAOAE
ODAOAD
OCAOAC
OBAOAB
+=
+=
+=
+=
+=
 
 
Somando-se membro a membro, obtemos: 
 
OFOEODOCOBAO5AFAEADACAB +++++=++++ 
 
 Observem que: OEOB −= , OFOC −= e AOOD = (por se tratar de um 
hexágono regular, todos esses vetores possuem o mesmo módulo, são colineares dois 
a dois, apresentando, portanto, a mesma direção e são de sentidos opostos). 
 Assim, ficamos com: 
OFOEAOOFOEAO5AFAEADACAB +++−−=++++ , que cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: 
AO6AFAEADACAB =++++ 
 
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas 
 
 Seja o espaço R3 cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z) onde x, y, z 
são números reais. 
 Já vimos em 1.1.1 que a todo terno ordenado (x, y, z) do R3 corresponde um 
único ponto P do espaço de coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por 
P = (x, y, z). 
 21
 Desse modo, o segmento orientado AB com origem A = (xA , yA , zA) e 
extremidade B = (xB , yB , zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. 
Notação: AB = (x, y, z). 
Exemplo: dados em R3 os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as 
coordenadas do segmento orientado AB . 
AB = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1)) 
AB = (4, – 4, 6) 
 
1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas 
 
 Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se têm as mesmas 
coordenadas cartesianas. 
 Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
−=−
−=−
⇔
CDAB
CDAB
CDAB
zzzz
yyyy
xxxx
CD~AB 
 
Exemplo: dados em R3 os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) e 
D = (0, 5, 3), verifique se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes. 
 
Temos que: AB = (– 4, 4, 2) e CD = (– 4, 4, 2) 
CD~AB∴ . 
 
 
 
 
 
 22
1.7 Vetor em Coordenadas 
 
1.7.1 Definição 
 
 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas 
coordenadas. 
Exemplo: sejam os pares de pontos do R3: 
A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2) 
A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1) 
A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6) 
--------------------------------------- 
An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2) 
A cada um desses pares associamos os segmentos orientados 
nn332211 BA,,BA,BA,BA K , cujas coordenadas são: 
2)1,(3,v)AB(Cl
2)1,(3,BA
2)1,(3,BA
2)1,(3,BA
2)1,(3,BA
nn
33
22
11
==
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
=
−−−−−−−−−
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
A1 
B1 
A2 
B2 
An 
Bn 
Cl ( AB ) = v = (3, 1, 2) 
 23
 O conjunto dos segmentos orientados nn332211 BA,,BA,BA,BA K forma uma 
classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos são 
segmentos orientados que possuem as mesmas coordenadas. Essa classe de 
equivalência define o vetor Cl ( AB ) = v de coordenadas (3, 1, 2), denotado por: 
v = (3, 1, 2). 
 Qualquer um dos segmentos orientados acima, representa o mesmo vetor v , 
e basta qualquer um deles para que o vetor v fique perfeitamente determinado. 
 O conjunto de todos os vetores do espaço R3 é denotado por V3, sendo 
conveniente observar a distinção entre o conjunto R3, que é o conjunto de todos os 
ternos ordenados de números reais, e o conjunto V3, que é o conjunto de todos os 
vetores do espaço R3. 
 Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmas 
coordenadas, que são as coordenadas do vetor. 
 Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xb , yB , zB), as coordenadas do vetor v , 
são: x = xB – xA ; y = yB – yA ; z = zB – zA. 
Notação: v = (x, y, z); v = AB 
 
Observações 
1) Existe uma correspondência biunívoca entre o espaço R3 e o conjunto V3 de vetores, 
que associa a cada ponto P = (x, y, z) de R3 um vetor v = (x, y, z). 
2) Existe um e somente um representante de um vetor dado, ligado a um ponto dado. 
 
1.7.2 Igualdade de Vetores 
 
 Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas. 
 Se )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == , então 
21212121 zz,yy,xxvv ===⇔= 
 24
 
1.7.3 Adição de Vetores 
 
 Sejam os vetores )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == em V3 . 
 A soma 21 vv + é o vetor definido por: 
)zz,yy,x(xvv 21212121 +++=+ 
 
Exemplo: Dados vucalcule3),5,2,(ve1)2,1,(u +−−=−= 
⇒+−+−+−=+ 3)15),(22),(1(vu 4)3,3,(vu −−=+ 
 
1.7.4 Multiplicação por um Escalar 
 
 Seja ℜ∈∈= λeVz)y,(x,v 3 . 
 Definimos o produto vλ , como sendo o vetor: z)λy,λx,(λvλ = . 
Exemplos: 
1) Dados 3)1,2,(ve5λ −== , calcule vλ . 
 vλ = 5 (–2, 1, 3) ⇒ 15)5,10,(vλ −= 
 
2) Dados )vu(λcalcule3,λe3)1,(2,v2),1,(1,u +=−=−−= . 
 )vu(λ + = 3 (3, –2, 1) ⇒ 3)6,(9,)vu(λ −=+ 
 
EXEMPLOS 
1) Determinar as coordenadas do vetor v = 3 (1, 0, 1) – 4 (0, 1, 1) – 3 (1, –1, 0) 
v = (3, 0, 3) + (0, – 4, – 4) + (– 3, 3, 0) 
v = (0, –1, –1) 
 25
2) Dados os vetores u = (–1, 4, –15) e v = (–3, 2, 5), pede-se determinar um vetor 
3Vx∈ , tal que: u = 2 v + 5 x . 
Seja x = (x, y, z). Então temos: 
(–1, 4, –15) = 2 (– 3, 2, 5) + 5 (x, y, z) 
(–1, 4, –15) = (– 6 + 5x, 4 + 5y, 10 + 5z) 
∴
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒−=
=⇒=
=⇒=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+
=+
−=−
5z255z
0y05y
1x55x
15105z
445y
165x
 5)0,(1,x −= 
 
3) Dado um paralelogramo ABCD, se M e N são pontos médios de CDeAB , 
respectivamente, então ANCM é um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
Provar que ANCM é um paralelogramo ⇔ Provar ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
NCAM
MCAN
 
DC
2
1MCAB
2
1ANCD
2
1MCAB
2
1ANCNMCAMAN −+=⇒++=⇒++= 
Como ABCD é um paralelogramo DCAB =⇒ ∴−+=⇒ DC
2
1MCDC
2
1AN MCAN = 
AB
2
1AM = . 
Como ABCD é um paralelogramo DC
2
1AB
2
1DCAB =⇒=⇒ DC
2
1AM =⇒ 
Como N é ponto médio de CD ⇒==⇒ DC
2
1NCDN NCAM = . 
Logo, ANCM é um paralelogramo. 
 
A 
B C 
D 
M N 
 26
1.8 1ª Lista de Exercícios2 
 
1) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM em 
função dos vetores ACeAB . 
2) É dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que XA4XB = . Sejam 
cACebAB == . 
a) Determinar o vetor CX em função de b e c . 
b) Seja M o ponto médio de CX . Escrever BM em função de b e c . 
3) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal que 
MB2CM = ; N é o ponto médio de CD . Em função de b = AB , c = AC e ADd = , 
pede-se: a) AM ; b) AN; c) MN. 
4) No triângulo ABC os segmentos RBeQR,PQ,AP têm o mesmo comprimento. 
a) Escrever CQ em função de CBeCA . 
b) Escrever CQ em função de CReCP . 
c) Escrever CQ em função de eCA CR . 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Seja ABC um triângulo qualquercom medianas CFeBE,AD . Demonstrar que 
0CFBEAD =++ . 
 
2 Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica - Exercícios, 1985. 
 Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974. 
 
A P Q R B 
C 
 27
6) Dados cCDebBC,aAB === , determinar, em função de ceb,a , os vetores 
FXeAX sabendo-se que EB
4
1EX = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcular as coordenadas dos vetores: 
a) u = (1, 2, 1) + 
2
1 (0, 1, 1) 
b) v = 
2
3 (5, 0, 1) – 6 (0, 
5
4 , -1) 
c) w = (5, 0, -4) - 
2
1 (1, 2, 1) + 
5
3 (1, -1, 1) 
8) Calcular as coordenadas do vetor 3Vx∈ , tal que: 2 x + 3 (2, 1, 0) = 0 
9) Achar as coordenadas do vetor x , sabendo-se que: 
0)1,(2,
5
10)]4,(3,
6
1[5x)
3
2
2
1( −=++ 
10) Determinar os vetores x e y pertencentes a V3 que verificam o sistema: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=+
1)2,(1,x2y
1)2,(0,y2x
 
11) Dados os vetores u = (3, 2, 1), v = (-4, -3, 1) e w = (2, 1, 1), pede-se determinar os 
escalares γβ,α, tais que: 0)0,(0,wγvβuα =++ 
 
A B 
C 
D E 
F 
X 
 28
12) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3 e M, N os pontos médios dos segmentos 
BDeAC . Pede-se determinar a soma: CDCBADABS +++= em função de MN. 
13) Dado o tetraedro OABC em que cOC,bOB,aOA === e M é o ponto médio do 
lado BC , pede-se determinar o vetor AM em função de ceb,a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios 
 
1) AC
8
5AB
8
3 + ; 2) a) cb
3
1 −− ; b) c
2
1b
6
7 +− ; 
3) a) )cb(2
3
1 + ; b) )dc(
2
1 + ; c) )d3cb4(
6
1 ++− ; 
4) a) )CBCA(
2
1 + ; b) )CRCP(
2
1 + ; c) )CR2CA(
3
1 + ; 6) c
4
3b
4
3a
4
1 ++ ; c
4
3b
4
1a
4
1 +− ; 
7) a) )
2
3,
2
5(1, ; b) )
2
15,
5
24,
2
15( − ; c) )
10
39,
5
8,
10
51( −− ; 8) ),,( 0
2
33 −− ; 
9) )( 0
35
1069 ,,
5
−− ; 10) )32,
5
2(x
55
,−−= , )1,6,
5
1(y
55
= ; 11) 0γβα === ; 
12) MN4 ; 13) )( cbaAM ++−=
2
1 
 
O 
A 
B 
C 
M 
a 
b 
c 
 29
2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
2.1 Vetores Linearmente Independentes 
 
2.1.1 Definição 
 
n21 v,,v,v K são linearmente independentes (L. I.) ⇔ 
0vαvαvα nn2211 =+++⇔ K implica obrigatoriamente que 0ααα n21 ==== K . 
 
2.1.2 Exemplo 
 
 Mostrar que os vetores (2, 1, 1), (1, 3, 1), (-2, 1, 3) são L. I. 
1α (2, 1, 1) + 2α (1, 3, 1) + 3α (-2, 1, 3) = (0, 0, 0) 
(2 1α + 2α - 2 3α , 1α + 3 2α + 3α , 1α + 2α + 3 3α ) = (0, 0, 0) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=−+
0α3αα
0αα3α
02ααα2
321
321
321
 
311
131
212 −
 = 2 (9 – 1) – 1 (3 – 1) - 2 (1 – 3) = 16 – 2 + 4 = 18 ≠ 0 
Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e o 
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma única 
solução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I. 
 
 30
2.2 Vetores Linearmente Dependentes 
 
2.2.1 Definição 
 
 n21 v,,v,v K são linearmente dependentes (L. D.) ⇔ existem escalares 
,α,,α,α n21 K não todos nulos tais que: 0vαvαvα nn2211 =+++ K . 
 
2.2.2 Exemplo 
 
Mostrar que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0), (1, 0, 1) são L. D. 
1α (1, -2, -1) + 2α (-1, 1, 0) + 3α (1, 0, 1) = (0, 0, 0) 
( 1α - 2α + 3α , -2 1α + 2α , - 1α + 3α ) = (0, 0, 0) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=+−
=+−
0αα
0αα2
0ααα
31
21
321
 
02212)(1
101
012
111
=−=+−+=
−
−
−
 
Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e o 
determinante da matriz dos coeficientes é igual a 0 (zero), existem infinitas soluções. 
Uma delas é a solução trivial, mas ela não é única. 
Por exemplo, para 1α = 1, temos da segunda equação que 2α = 2 1α , logo, 2α = 2 e da 
terceira equação temos que 3α = 1α , logo, 3α = 1. Portanto, podemos escrever: 
1 (1, -2, -1) + 2 (-1, 1, 0) + 1 (1, 0, 1) = (0, 0, 0), onde os escalares 1α , 2α , 3α são 
diferentes de 0, concluindo então que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0) e (1, 0, 1) são L. D. 
 
 31
OBSERVAÇÕES 
 
1) O vetor nulo (0 ) é sempre L. D., pois 5 . 0 = 0 , onde o escalar é 5 ≠ 0. 
2) Um vetor não nulo é sempre L. I., pois 0λ0vcom0vλ =⇒≠= . 
3) Sejam veu dois vetores e 0v ≠ . 
veu são L. D. vαu/α =ℜ∈∃⇔ 
VETORES PARALELOS: se veu são L. D. , dizemos que veu são paralelos e 
indicamos: v||u . Logo, 
 
 
 
 Observem que se um dos vetores for nulo, por exemplo, 0v = , então só 
podemos escrever: uαv = . 
Exemplos: 
1) (2, 3, 1) || (4, 6, 2), pois (2, 3, 1) = 
2
1 (4, 6, 2) 
(4, 6, 2) || (2, 3, 1), pois (4, 6, 2) = 2 (2, 3, 1) 
2) (0, 0, 0) || (1, 1, 1), pois (0, 0, 0) = 0 (1, 1, 1) 
Notem que o vetor nulo (0 ) é paralelo a qualquer vetor. 
 Em 1.5 foi visto que vetores da forma vαev possuem representantes 
colineares, logo, dois vetores veu são L. D. ou colineares. 
 Se veu não forem colineares, seus representantes determinam um plano e 
podemos dizer que veu são L. I. 
 
 
 
 
 
uβvouvαuv||ue0v,0u ==⇒≠≠ 
 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Em V3, sejam wev,u vetores não simultaneamente nulos. Então pode ocorrer: 
a) wev,u são L. D. e possuem representantes numa mesma reta, sendo portanto 
colineares; ou wev,u possuem representantes num mesmo plano, sendo portanto 
coplanares. 
b) wev,u são L. I. ou não coplanares. Observem a figura que segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 veu são L. I. 
u 
v
P 
A 
B 
u 
v
 
u 
u 
v 
v 
w 
w
π
L.I.sãow,v,u 
 33
5) Quatro vetores em V3 são sempre L. D. 
 
2.3 Combinação Linear 
 
2.3.1 Definição 
 
 Dados os vetores n21 v,,v,v K , todo vetor da forma nn2211 vαvαvα +++ K 
onde n21 α,,α,α K são escalares chama-se combinação linear dos vetores dados. 
 
2.3.2 Exemplos 
 
1) O vetor u = (2, 3, 1) é uma combinação linear dos vetores 1e = (1, 0, 0), 
2e = (0, 1, 0) e 3e = (0, 0, 1). 
De fato, (2, 3, 1) = 2 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1) 
2) O vetor v = (6, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores 1v = (1, -1, 2), 
2v = (1, 0, -1) e 3v = (1, 1, 1). 
De fato, (6, -1, 2) = α (1, -1, 2) + β (1, 0, -1) + γ (1, 1, 1) 
(6, -1, 2) = (α + β + γ , -α + γ , 2α - β + γ ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
−=+−⇒×−=+−=+−
=++=++
(3)2γβ2α
(5)3γ3α33)(1γα- :(2)(2)1γα
(4) 82γ3α:(3)(1)(1)6γβα
 
(4) + (5): 5γ = 5 ⇒ 1γ = , substituindo em (2): 2α = 
Substituindo 1γ = e 2α = em (1): 3β = 
Portanto, (6, -1, 2) = 2 (1, -1, 2) + 3 (1, 0, -1) + 1 (1, 1, 1) 
 34
 
2.4 Base 
 
2.4.1 Definição 
 
 Chama-se base de V3 a todo conjunto de três vetores linearmente 
independentes (L. I.). 
 Logo, para sabermos se três vetores formam uma base de V3, basta 
verificarmos se eles são L. I. 
 
2.4.2 Exemplo 
 
Verificar se os vetores 1v = (2, 3, 4), 2v = (4, 6, 7) e 3v = (1, 2, 3) formam uma base de 
V3. 
α 1v + β 2v + γ 3v = 0 
α (2, 3, 4) + β (4, 6, 7) + γ (1, 2, 3) = (0, 0, 0) 
(2 α + 4 β + γ , 3 α + 6 β + 2 γ , 4 α + 7 β + 3 γ ) = (0, 0, 0) 
013-4-8
24)(2118)(9414)(182
374
263
142
0γ3β7α4
0γ2β6α3
0γβ4α2
≠=
=−+−−−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=++
 
 Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e o 
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma única 
solução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I. e portanto formam 
uma base de V3.35
2.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base 
 
 Seja B = { 1v , 2v , 3v } uma base de V
3. 
 Seja 3Vv∈ uma combinação linear dos vetores 1v , 2v , 3v . Logo, existem 
escalares 321 α,α,α , tais que: 
332211 vαvαvαv ++= (1) 
 Vamos demonstrar que os escalares 321 α,α,α são determinados de modo 
único. 
 Suponhamos que 321 β,β,β sejam tais que: 
332211 vβvβvβv ++= (2) 
 Fazendo-se então (1) – (2), temos: 
0v)β(αv)β(αv)β(α 333222111 =−+−+− 
 Como B = { 1v , 2v , 3v } é uma base de V
3, temos que 1v , 2v , 3v são L. I., 
logo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=−
=⇒=−
=⇒=−
3333
2222
1111
βα0βα
βα0βα
βα0βα
 
 Logo, os escalares 321 α,α,α são únicos e são chamados de coordenadas do 
vetor v em relação à base B. 
Notação: B321 )α,α,(αv = 
 
2.4.4 Base Canônica 
 
 Sejam os vetores 1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1). 
 Vamos provar que esses vetores são L. I.: 
 36
 α 1e + β 2e + γ 3e = 0 
 α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0) 
 (α , β , γ ) = (0, 0, 0) ⇒ α = β = γ = 0 ∴ 1e , 2e , 3e são L. I. 
 Observe também que qualquer vetor 3Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito como 
combinação linear dos vetores 1e , 2e , 3e , como segue: 
z)y,(x,v = = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) = 
 = x 1e + y 2e + z 3e 
 Utilizando o mesmo modo usado em 2.4.3, demonstramos também que essa 
decomposição é única, ou seja, 3Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito de uma única maneira 
sob a forma: v = x 1e + y 2e + z 3e . 
 Portanto, temos que 1e , 2e , 3e formam uma base de V
3 que é denominada 
base canônica de V3. 
 Observem que v = x 1e + y 2e + z 3e ⇒ =v (x, y, z)base canônica e por tanto, 
os números x, y, z da terna =v (x, y, z) coincidem com as coordenadas de v em 
relação à base canônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z
O
P = (x, y, z) v 
1e 
2e 
3e
 37
2.4.5 Exemplos 
 
1) Determinar as coordenadas do vetor =v (-2, 1, 1) em relação à base B = { 321 u,u,u }, 
onde 1u = (1, 0, 0), 2u = (1, 1, 0), 3u = (1, 1, 1). Determinar as coordenadas de w em 
relação à base canônica, sendo w = (2, 1, 0)B. 
Vamos escrever v como combinação linear de 321 u,u,u : 
v = α 1u + β 2u + γ 3u 
(-2, 1, 1) = α (1, 0, 0) + β (1, 1, 0) + γ (1, 1, 1) 
(-2, 1, 1) = (α + β + γ , β + γ , γ ) 
3α(1)em0βe1γ
0β(2)em1γ
(2)1γβ
(1)2γβα
−=⇒==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=
=+
−=++
 Portanto, v = (-3, 0, 1)B. 
Dizer que w = (2, 1, 0)B é o mesmo que escrever w como combinação linear dos 
vetores 321 u,u,u , do seguinte modo: 
w = 2 1u + 1 2u + 0 3u 
w = 2 (1, 0, 0) + 1 (1, 1, 0) + 0 (1, 1, 1) 
w = (2, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 0, 0) 
w = (3, 1, 0) ⇒ w = (3, 1, 0)base canônica 
 
2) Se B = { 321 u,u,u } é uma base de V
3 e são dados os vetores ,u2uuv 3211 +−= 
,uuv 322 −= 23 uv −= , pede-se achar as coordenadas do vetor 321 v2vv2v −−= 
em relação à base B. 
Na expressão do vetor v , vamos substituir os vetores 1v , 2v , 3v . Então , fica: 
 38
321 v2vv2v −−= 
v = 2 ( 321 u2uu +− ) – ( 32 uu − ) – 2 ( 2u− ) 
v = 2 232321 u2uuu4u2u ++−+− 
v = 321 u5uu2 +− ⇒ v = (2, -1, 5)B 
 
EXEMPLOS 
1) Determinar k de modo que os vetores u = (1, 2, k), v = (0, 1, k – 1) e 
w = (3, 4, 3) sejam linearmente dependentes. 
α u + β v + γ w = 0 
α (1, 2, k) + β (0, 1, k – 1) + γ (3, 4, 3) = (0, 0, 0) 
(α + 3 γ , 2 α + β + 4 γ , k α + k β - β + 3 γ ) = (0, 0, 0) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+
=++
=+
0γ3β1)(kαk
0γ4βα2
0γ3α
 
Para que os vetores sejam L. D. o sistema deve ser possível e indeterminado, ou seja, 
deve admitir infinitas soluções, além da trivial, logo: 
0
31kk
412
301
=
−
 ⇒ 1 (3 – 4k + 4 ) – 0 (6 – 4 k ) + 3 (2 k – 2 – k) = 0 
7 – 4 k + 3 k – 6 = 0 ⇒ 
 
2) Dados os vetores u = (2, 1, -1), v = (3, 0, 3) e w = (4, -1, 7) , verificar que w é uma 
combinação linear de u e v . 
Se w é uma combinação linear de u e v ⇒ w = α u + β v 
(4, -1, 7) = α (2, 1, -1) + β (3, 0, 3) 
(4, -1, 7) = (2 α + 3 β , α , -α + 3 β ) 
k = 1 
 39
(V)462(1)em2βe1α
(3)7β3α
2β(3)em1α(2)1α
(1)4β3α2
=+−⇒=−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=⇒−=⇒−=
=+
 
Portanto o sistema é determinado e w = - u + 2 v . 
 
3) Se c,b,a são vetores linearmente independentes, os vetores c3b2au −+= , 
c2ba2v ++−= e c8b3a4w −+= são L. I. ou L. D.? Justificar a conclusão. 
α u + β v + γ w = 0 
α ( c3b2a −+ ) + β ( c2ba2 ++− ) + γ ( c8b3a4 −+ ) = 0 
(α -2 β + 4 γ ) a + (2 α + β + 3 γ ) b + (-3 α + 2 β - 8 γ ) c = 0 
Como c,b,a são L. I. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
=++
=+−
⇒
0γ8β2α3
0γ3βα2
0γ4β2α
 
02814143)(449)16(26)8(1
823
312
421
=+−−=+++−+−−=
−−
−
 
Portanto o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções para α , β e 
γ , além da trivial, o que nos leva a concluir que os vetores u , v e w são L. D.. 
 
4) Achar os valores de α e βpara que os vetores u = (α , 1, β + 1) e v = (2, α - 1, β ) 
sejam paralelos. 
 u || v ℜ∈=⇔ λ,vλu 
 (α , 1, β + 1) = λ (2, α - 1, β ) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=−
⇒=−⇒=⇒=
⇒
(3)1βλβ
(2)1λ1)(α
1
2
α1)(α(2)em
2
α
λ(1)αλ2
 
 40
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ℜ∈∃⇒=⇒=⇒=
−=⇒=−⇒=−−⇒−=⇒−=
⇒−==
=−−⇒
β1β0(3)em1λ2α
ou
3
2
β1β
2
31β1)
2
1((3)em
2
1
λ1α
2Pe1S
02αα2
 
Portanto, temos: 1α −= e 
3
2
β −= 
 
5) Dados os vetores u = (1, -1, 1), v = (2, 0, 1) e w = (3, 1, 1), achar um vetor x 
paralelo a v e tal que u + x seja paralelo a w . 
x || v ⇒ x = α v , com ℜ∈α 
u + x || w ⇒ u + x = β w , com ℜ∈β 
Então, fica: u + α v = β w 
(1, -1, 1) + α (2, 0, 1) = β (3, 1, 1) 
(1 + 2 α , -1, 1 + α ) = (3 β , β , β ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
−=⇒−=⇒=−
=+
(3)βα1
2α(3)em1β(2)β1
(1)β3α21
 
Substituindo α = -2 e β = -1 em (1), vem: 1 -4 = -3 (V) 
Portanto, x = -2 (2, 0, 1) ⇒ 2)0,4,(x −−= 
 
6) Provar que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um 
triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste lado. 
Seja o triângulo ABC com M e N pontos médios dos lados BCeAC , respectivamente. 
Provar que: AB
2
1MN = 
(Provando-se que MN é dessa forma, fica provado, pela definição de vetores paralelos, 
que MN || AB ) 
 41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB
2
1MN = 
 
2.5 2ª Lista de Exercícios3 
 
1) Mostrar que os vetores u = (-1, 0, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 1) são L. I.. 
2) Mostrar que os vetores u = (-2, 1, 3), v = (2, -1, 1) e w = (6, -3, -1) são L. D.. 
Escrever a relação que existe entre esses vetores. 
3) O conjunto {(0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L. D. ou L. I.? Justificar a conclusão. 
4) Mostrar que os vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 4, 6) são paralelos. 
5) Provar que o vetor v = (-2, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores 
1v = (1, -1, 1), 2v = (-1, -1, 0) e 3v = (4, 2, -1). 
 
3 Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974 
 
A B
C
M N
AB
2
1ABMN
BA
2
1ABMN
)CABC(
2
1ABMN
BC
2
1ABCA
2
1MN
BNABMAMN
−=
+=
++=
++=
++=
 42
6) Dados os vetores ,b,a linearmente independentes, constrói-se a partir de um ponto 
O arbitrário os vetores: ℜ∈+=−=−= λcom,baλOCeba2OB,b2aOA . 
Determinar o parâmetro λ de modo que os vetores BCeAC sejam paralelos. 
7) Mostrar que os vetores 1v = (1, 1, 0), 2v = (1, 0, 1) e 3v = (0, 1, 1) formam uma 
baseB de V3 . 
8) Determinar as coordenadas do vetor v = (4, -2, 2) em relação à base B do exercício 
anterior. 
 
2.6 Respostas da 2ª Lista de Exercícios 
 
2) w = 2 v - u ; 3) L. D. 
5) v = 321 v4
5v
4
9v
4
3 −− 
6) λ = 4; 8) v = (0, 4, -2)B ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43
3 PRODUTOS ENTRE VETORES 
 
3.1 Produto Escalar ou Produto Interno 
 
 O produto escalar de dois vetores é uma operação que associa a cada par 
de vetores u , v de V3, um número real, indicado por u . v e lê-se: “u escalar v ”. 
Outras Notações: u x v ; <u , v >. 
 Antes de definirmos o produto escalar precisamos da definição de ângulo 
entre dois vetores e módulo ou comprimento de um vetor, que veremos a seguir. 
 
3.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores 
 
 O ângulo θ , também indicado por ( v,u ), entre dois vetores não nulos u e v , 
é definido como sendo o ângulo entre seus representantes. 
 Sejam então, AB e AC os representantes dos vetores u e v , 
respectivamente; o ângulo θ entre u e v é por definição o menor ângulo segundo o 
qual AB deve girar para se tornar colinear com AC e é tal que °≤≤° 180θ0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor 
 
 Seja um segmento orientado não nulo AB que chamaremos de segmento 
unitário. Um vetor u , cujo representante é o segmento orientado AB , recebe o nome 
de vetor unitário. 
 Dado o vetor v , seja u um unitário colinear com v . Então, existe ℜ∈t tal 
que v = t u . 
 Chama-se módulo ou norma ou ainda comprimento de v , indicado por | v | 
ou || v ||, o módulo desse número real t. Logo, | v | = | t |. 
 Da definição temos que um vetor é unitário se, e somente se, seu módulo é 
igual a 1. 
 Chama-se versor v de um vetor u ao vetor unitário paralelo a u e de mesmo 
sentido que u , definido por: v =
u
u 
 
u 
v
A B 
C 
θ 
 45
3.1.2.1 Propriedades 
 
 Quaisquer que sejam o vetor v e o escalar x, temos: 
1) | v | ≥ 0 e | v | = 0 ⇔ v = 0 
2) | x v | = | x | | v | 
 
3.1.3 Definição de Produto Escalar 
 
 Sejam u e v vetores não nulos e θ o ângulo formado entre u e v . 
 Defini-se o produto escalar de u por v como: 
 
 
 Se u = 0 ou v = 0 , então u . v = 0. 
 
3.1.3.1 Propriedades 
 
 Quaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3 e qualquer que seja o 
escalar α , valem as seguintes propriedades: 
1) Comutativa ou simétrica: u . v = v .u 
2) Homogeneidade: ∗ℜ∈≠≠== α,0v,0u),v(α.uv.)u(α)v.u(α 
3) Distributividade: v.wu.w)vu(.w +=+ 
 Estas propriedades também se verificam se um dos vetores for o vetor nulo e 
se o escalar for o número 0 (zero). 
0v.00.u == 
°≤≤°=⋅ 180θ0,θcos|v||u|vu 
 46
{ { 00.uv.0)v0(.uv.)u0()v.u(0
00
==⇒== . 
 Temos também que: 
22 |u|1|u|cos0|u||u|u.u =×=°= 
Notação: u .u = u 2 
 Se u e v são vetores não nulos, então u . v = 0 ⇔ θ = 90°. 
 Dizemos então que o vetor u é perpendicular ou ortogonal ao vetor v , e 
indica-se: vu ⊥ , quando u . v = 0. 
 De acordo com essa definição, o vetor nulo (0 ) é perpendicular a todos os 
vetores do espaço e é o único vetor que goza desta propriedade. 
 
3.1.4 Bases Ortonormais 
 
 Uma base }c,b,a{ é ortogonal se os seus vetores são mutuamente 
ortogonais, isto é, se 0c.bc.ab.a === . Se, além disso, os vetores são unitários, a 
base }c,b,a{ chama-se ortonormal. 
 Um exemplo de base ortonormal é a base canônica, vista em 2.4.4. 
 
OBSERVAÇÕES 
 Se B = }c,b,a{ é uma base ortonormal e 
u = x1 a + y1 b + z1 c = (x1, y1, z1)B e v = x2 a + y2 b + z2 c = (x2, y2, z2)B são vetores 
quaisquer de V3, então 
1) u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 
2) |u | = 21
2
1
2
1 zyx ++ . 
 47
B = }c,b,a{ é uma base ortonormal 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===
===
⇒
1|c||b||a|
e
0c.bc.ab.a
 
1) u . v = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x2 a + y2 b + z2 c ) = 
 = (x1 x2) a . a + (x1 y2) a . b + (x1 z2) a . c + (y1 x2) b . a + (y1 y2) b . b + 
 (y1 z2) b . c + (z1 x2) c . a + (z1 y2) c . b + (z1 z2) c . c = 
 = (x1 x2) |a |2 + (x1 y2) 0 + (x1 z2) 0 + (y1 x2) 0 + (y1 y2) | b |2 + (y1 z2) 0 + (z1 x2) 0 + 
 (z1 y2) 0 + (z1 z2) | c |2 = (x1 x2) 1 + (y1 y2) 1 + (z1 z2) 1 = 
 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 
 
 
 
2) | u |2 = u . u = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x1 a + y1 b + z1 c ) = 
 = x12 a .a + (x1 y1) a .b + (x1 z1) a .c + (y1 x1) b .a + y12 b .b + (y1 z1) b .c 
 + (z1 x1) c . a + (z1 y1) c . b + z12 c . c = 
 = x12 |a |2 + (x1 y1) 0 + (x1 z1) 0 + (y1 x1) 0 + y12 |b |2 + (y1 z1) 0 + (z1 x1) 0 + 
 + (z1 y1) 0 + z12 | c |2 = x12 1 + y12 1 + z12 1 = x12 + y12 + z12 
 
 
 
 
 
 
u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 
| u |2 = x12 + y12 + z12 ⇒ 212121 zyx|u| ++= 
 48
3.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sejam dois vetores u e v de V3 com u 0≠ . 
 Seja θ o ângulo entre u e v . 
 Vamos determinar a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , que é 
um vetor colinear com u , da forma uλ . Para tanto, vamos determinar o escalar λ . 
 Observem que os vetores ( uλv − ) e u são perpendiculares e portanto, 
( uλv − ).u = 0 ⇒ v . u - λ u 2 = 0 ⇒ λ =
2|u|
v.u 
 Logo, o vetor uλ , projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , indicado 
por vproj
u
, fica: 
 u)
|u|
v.u(uλvproj
2u
== 
 Se u for um vetor unitário, | u | = 1 ⇒ v.uλ = e o comprimento do vetor 
projeção uλ será: 
 |v.u||λ||uλ||vproj|
u
=== 
 
v 
θ 
θ 
v
u u uλ uλ 
uλv − uλv − 
0λ > 0λ < 
 49
 Portanto, o comprimento da projeção do vetor v sobre o vetor u , se u é 
unitário, é igual ao módulo do produto escalar do vetor v pelo vetor u . 
 
EXEMPLOS 
1) Provar que: (u + v )2 = u 2 + 2 u . v + v 2 
 (u + v )2 = (u + v ).(u + v ) = u . (u + v ) + v . (u + v ) = u .u + u . v + v .u + v . v = 
 = u 2 + 2 u . v + v 2 
 Portanto: 
 
 
 
 
2) Fica como exercício demonstrar que: a) (u - v )2 = u 2 - 2 u . v + v 2 
 b) (u + v ).(u - v ) = u 2 - v 2 
 
3) Dados os vetores u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1) e w = (0, 1, -1), determinar um vetor x 
coplanar com u e v e ortogonal a w . 
x coplanar com u e v ⇒ x , u e v são L. D. ⇒ x é combinação linear de u e v ⇒ 
⇒ x = α u + β v 
x = α (1, 1, 0) + β (1, 0, 1) ⇒ x = (α + β , α , β ) 
x ⊥ w ⇒ x . w = 0 ⇒ (α + β , α , β ). (0, 1, -1) = 0 ⇒ α - β = 0 ⇒ α = β . Então 
substituindo na expressão de x , temos: x = (2 β , β , β ) = β (2, 1, 1). 
Logo, β (2, 1, 1), ℜ∈β , nos fornece todos os vetores que satisfazem as condições do 
problema. Para termos um vetor, damos um valor para β , por exemplo, β = 1, obtendo 
assim o vetor x = (2, 1, 1) 
 
 
(u + v )2 = u 2 + 2 u . v + v 2 
 50
4) Calcular o módulo do vetor v = (-1, 2, -2) 
| v | = 394412)(21)( 222 ==++=−++− 
 
5) Determinar o comprimento da projeção do vetor v = (-1, 2, -4) sobre o vetor 
w = (2, -1, 2). 
(1)w
|w|
w.vvproj
2w ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
v . w = (-1, 2, -4) . (2, -1, 2) = -2 -2 -8 = -12 (2) 
| w |2 = 22 + (-1)2 + 22 = 4 + 1 + 4 = 9 (3) 
Substituindo (2) e (3) em (1), vem: 
2)1,(2,
3
42)1,(2,
9
12vproj
w
−−=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 
43
3
49
3
44143
421)(2
3
4vproj 222
w
=×==++=+−+−= 
 
6) Determinar o ângulo θ entre os vetores u = (3, 2, 0) e v = (2, 1, 1). 
(1)
|v||u|
v.u
θcos = 
u . v = (3, 2, 0).(2, 1, 1) = 6 + 2 + 0 = 8 (2) 
| u | = (3)1349023 222 =+=++ 
| v | = (4)6114112 222 =++=++ 
Substituindo (2), (3) e (4) em (1), vem: 
78
8cosarcθ
78
8
613
8
θcos =∴== 
 
7) Os vetores a e b formam um ângulo α = 30°; calcular o ângulo θ = (u , v ) se 
u = a + b e v = a - b , sabendo que: | a | = 3 e | b | = 1. 
 51
|v||u|
v.u
θcos = (1) 
α = 30° 
2
330cosαcos =°=⇒ 
2
3b.a
13
b.a
2
3
|b||a|
b.a
αcos =⇒×=⇒= (2) 
u . v = (a + b ) . (a - b ) = a 2 - b 2 = | a |2 - | b |2 = 3 – 1 = 2 (3) 
| u |2 = u 2 = (a + b )2 = a 2 + 2 a .b + b 2 = |a |2 + 2 a .b + | b |2 = 3 + 2 
2
3× + 1 = 
3 + 3 + 1 = 7 7|u| =⇒ (4) 
| v |2 = v 2 = (a - b )2 = a 2 - 2 a .b + b 2 = |a |2 - 2 a .b + | b |2 = 3 - 2 
2
3× +1 = 
3 – 3 +1 = 1 1|v| =⇒ (5) 
Substituindo (3), (4) e (5) em (1), temos: 
 
7
2cosarcθ
7
2
17
2
|v||u|
v.u
θcos =∴=×== 
 
3.2 Produto Vetorial ou Produto Externo 
 
 O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a cada par 
de vetores u , v de V3, um vetor, indicado por u ∧ v e lê-se: “u vetorial v ”. 
Outra Notação: u x v 
 Antes de definirmos o produto vetorial precisamos escolher uma orientação 
para o espaço R3 que nos possibilitará distinguir dois tipos de bases ortonormais: as 
positivas e as negativas. 
 
 52
3.2.1 Orientação de R3 
 
 Observem os ternos ordenados de segmentos orientados não coplanares 
( OC,OB,OA ) e ( OC,OA,OB ). 
 
 
 
 
 
 
 Se a rotação (de menor ângulo) do primeiro segmento orientado até que 
fique colinear com o segundo segmento orientado for feita no sentido anti horário, o 
terno ordenado é positivo e se essa rotação for no sentido horário, então o terno 
ordenado é negativo. 
 Portanto, ( OC,OB,OA ) é positivo e ( OC,OA,OB ) é negativo. 
 Fazendo-se OCkeOBj,OAi === , temos que a base { k,j,i } é ortonormal 
positiva, enquanto que a base { k,i,j } é ortonormal negativa. Portanto, os vetores 
k,j,i satisfazem às seguintes relações: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
===
1|k||j||i|
0k.jk.ij.i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
A B
C
 
O 
A B 
C 
i j 
k 
 53
Observem que a base canônica { 1e , 2e , 3e }, definida em 2.4.4, também é 
uma base ortonormal positiva. 
 
3.2.2 Definição de Produto Vetorial 
 
 Sejam os vetores u e v de V3 e θ o ângulo formado entre u e v . 
 Se u e v são colineares (u e v L. D.), temos por definição que u ∧ v = 0 . 
 Se u e v não são colineares (u e v L. I.), então u ∧ v é o vetor que 
satisfaz às seguintes condições: 
1) | u ∧ v | = | u | | v | sen θ , °≤≤° 180θ0 ; 
2) o vetor u ∧ v é ortogonal a u e a v ; 
3) {u , v , u ∧ v } é uma base positiva de V3. 
 
3.2.2.1 Propriedades 
 
 Quaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3 e qualquer que seja o 
escalar α , valem as seguintes propriedades: 
1) Associativa para a multiplicação por um escalar: )vu(α)v(αuv)u(α ∧=∧=∧ 
 
2) Distributiva à esquerda e à direita em relação à adição: 
u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w 
(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w 
 
3) Anticomutativa: u ∧ v = - v ∧ u 
 54
OBSERVAÇÕES 
1) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva, resulta da definição de produto 
vetorial que: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∧=∧=∧
=∧=∧=∧
0kkjjii
e
jik,ikj,kji
 
 
2) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B 
e v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B são vetores quaisquer de V3, dados na base B, 
então o produto vetorial, u ∧ v , pode ser obtido pelo determinante simbólico: 
k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(y
k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(y
zyx
zyx
kji
122121121221
122112211221
222
111
−+−+−
=−+−−−=
 
 
Exemplos: dados u e v na base B = { k,j,i } , calcule u ∧ v . 
1) u = (1, -1, 2)B e v = (3, -1, -1) 
u ∧ v = B2)7,(3,k3)1(j6)1(i2)(1
113
211
kji
=+−+−−−+=
−−
− 
2) u = (3, 2, -1)B e v = (1, -1, -1)B 
u ∧ v = B5)2,3,(
111
123
kji
−−=
−−
− 
 
 
 
 
 55
3.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observem o paralelogramo OADB da figura acima. 
 A área desse paralelogramo é dada por: A = | u | x h (1) 
 Do triângulo OHB, retângulo em H, temos que: 
θsen|v|h
|v|
h
θsen ×=⇒= (2) 
 Substituindo (2) em (1), vem: 
A = | u | x θsen|v| × ⇒ |vu|A ∧= 
 Portanto, a área de qualquer paralelogramo cujos lados sejam 
representantes dos vetores u e v é dada por | u ∧ v | . 
 
EXEMPLOS 
Nos exemplos que seguem, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }. 
1) Dados os vetores 1v = (1, 0, 5) e 2v = (-3, 0, 2), calcular um vetor unitário u 
ortogonal aos vetores 1v e 2v . 
 
O 
A B 
C 
h 
θ 
D 
u v
vu∧ 
H 
 56
0)17,(0,αu
203
501
kji
αu)vv(αuvuevu 2121 −=⇒
−
=⇒∧=⇒⊥⊥ 
| u | = 1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒=
⇒−=
⇒=⇒=⇒=−⇒
17
1
α
ou
17
1
α
17
1|α|1|α|17117)(|α| 2 
⇒−=⇒
⇒−−=⇒
0)17,(0,
17
1u
ou
0)17,(0,
17
1u
 
0)1,(0,u
ou
0)1,(0,u
−=
=
 
 
2) Dados os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -2, 1), determinar o vetor w paralelo ao 
plano xOz tal que v = u ∧ w . 
Seja w = (x, y, z) 
z)0,(x,w0y00)1,(0,.z)y,(x,0j.wjwxOz||w =⇒=⇒=⇒=⇒⊥⇒ 
v = u ∧ w 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒=−
−=⇒−=
=
⇒−=−⇒−=⇒
1x1x
1x22x
3z
1)2,(3,x)2x,(z,1)2,(3,
z0x
210
kji
 
Logo, 3)0,1,(w −= 
 
3) Calcular a área do triângulo de vértices: A = (2, 1, 3), B = (6, 4, 1), C = (-6, -2, 6). 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
 57
 
 
A área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo 
3)3,8,(ACe2)3,(4,AB −−=−= 
ACAB
2
1AACABA triparal. ∧=⇒∧= 
12)4,(3,
338
234
kji
ACAB =
−−
−=∧ 
13169144169ACAB ==++=∧ 
Portanto, 
2
13A tri = 
 
3.3 Produto Misto 
 
3.3.1 Definição 
 
Sejam três vetores .Vw,v,u 3∈ 
Chama-se produto misto dos vetores u , v , w , tomados nessa ordem, à 
expressão: )wv(.u ∧ . 
Notação: [u , v , w ] = )wv(.u ∧ 
 Observe que o produto misto de três vetores u , v , w é um escalar. 
 
OBSERVAÇÃO 
Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B , 
 58
v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B e w = x3 i + y3 j + z3 k = (x3, y3, z3)B são vetores 
quaisquer de V3, dados na base B, então o produto misto [u , v , w ] = )wv(.u ∧ , pode 
ser obtido pelo determinante 
333
222
111
zyx
zyx
zyx
 
Exemplos: dados os vetores u = (-2, 1, 2)B, v = (1, -1, 1)B e w = (1, 1, 1)B, calcular: 
a) [u , v , w ]; b) [ w ,u , v ]; c) [ v ,u , w ] 
a) [u , v , w ] = 84422012)(2
111
111
212
=+=×+×−−×−=−
−
 
b) [ w ,u , v ] = 8143114)(131
111
212
111
=++=×+−×−×=
−
− 
c) [ v ,u , w ] = 83413)(14)(11)(1
111
212
111
−=−−−=−×+−×+−×=−
−
 
 
3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto 
 
 A partir de um ponto O qualquer do espaço, vamos construir um 
paralelepípedo de arestas wOC,vOB,uOA === . 
 
 
 
 
 
 59
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja θ o ângulo formado entre u e wv ∧ . 
 Seja uprojh
wv∧= . 
 Vamos calcular |θcos||wv||u||wv.u||]w,v,u[| ∧=∧= (1) 
 Mas, no triângulo OAH, retângulo em H, temos que : 
| cos θ | = |θcos||u||h|
|u|
|h| =⇒ (2) 
Paral.A|wv| =∧ (3) 
 Substituindo (2) e (3) em (1),fica: 
pedoParalelepíParal. V |h|A|]w,v,u[| =×= 
 Portanto concluímos que o módulo do produto misto [u , v , w ] é igual ao 
volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores u , v , w . 
 Decorre da interpretação geométrica do produto misto que: 
a) se u , v , w são vetores L. D. e portanto coplanares, o produto misto entre eles é igual 
a zero; 
 
 
 
 
 
O 
A 
B 
C 
u 
v
w
h 
wv ∧ 
θ 
H 
(u , v , w ) é L. D. ⇔ [u , v , w ] = 0 
 60
b) se u , v , w são vetores L. I. e portanto não coplanares, o produto misto entre eles é 
diferente de zero; 
 
 
 
 
c) se B = {u , v , w } é uma base qualquer de V3, então B é de orientação positiva se 
[u , v , w ] > 0 (quando θé um ângulo agudo ⇒ cos θ > 0); 
 
d) se B = {u , v , w } é uma base qualquer de V3, então B é de orientação negativa se 
[u , v , w ] < 0 (quando θé um ângulo obtuso, pois é o ângulo entre u e w ∧ v , ou 
seja, o ângulo entre u e – ( v ∧ w )) ⇒ cos θ < 0). 
 
3.3.3 Propriedades 
 
1) Se permutarmos dois dos três vetores u , v , w , o produto misto muda de sinal. 
[u , v , w ] = - [u , w , v ] 
[u , v , w ] = - [ v ,u , w ] 
 
2) Efetuando-se uma permutação cíclica dos três vetores u , v , w , o produto misto não 
se altera. 
[u , v , w ] = [ v , w ,u ] = [ w ,u , v ] 
Observação: u.wvuw.v
uw.vwv.u
u.wvwv.u ∧=∧⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
∧=∧
∧=∧
 
 
3) Qualquer que seja ℜ∈λ , temos: 
(u , v , w ) é L. I. ⇔ [u , v , w ] ≠ 0 
 61
[ λ u , v , w ] = [u ,λ v , w ] = [u , v , λ w ] = λ [ u , v , w ] 
 
4) [ ]w,v,u[]w,v,u[]w,v,uu 2121 +=+ 
[ ]w,v,u[]w,v,u[]w,vv,u 2121 +=+ 
[ ]w,v,u[]w,v,u[]ww,v,u 2121 +=+ 
 
EXEMPLO 
No exemplo que segue, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }. 
Determinar o volume do tetraedro ABCD, cujos vértices são: A = (1, 1, -1), B = (2, 2, -1), 
C = (3, 1, -1), D = (2, 3, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VTetraedro = 6
1 VParalelepípedo 
AC = (2, 0, 0), AD = (1, 2, 2), AB = (1, 1, 0) 
VT = 
6
1 | [ AC , AD , AB ] | = 
6
1
3
2
6
44
6
1
011
221
002
==−= 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
 62
3.4 3ª Lista de Exercícios4 
 
1) Dados u = (3, -1, 5) e v = (1, 2, -3), determinar um vetor w , ortogonal ao eixo Ox e 
tal que w .u = 9 e w . v = 4. 
2) Dados u = (2, 1, -3) e v = (1, 2, 1), seja w = u + λ v . Determinar λ para que w e 
u sejam ortogonais. 
3) Dados u = (1, -3, 1), pede-se determinar um vetor v , ortogonal ao eixo Oy, tal que 
| u ∧ v | = 118 e u . v = 5. 
4) Dados os vetores u = (1, -1, 0), v = (0, 0, 2) e w = (2, -3, 0), pede-se determinar o 
vetor x , paralelo a w e que satisfaz a condição x ∧ u = v . 
5) Dados os vetores u = (1, -1, 0) e v = (2, 1, 3), determinar um vetor w sabendo-se 
que w é ortogonal a u e a v , | w | = 243 e o ângulo formado por w com o eixo Oy é 
agudo. 
6) Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Sabendo-se que | a | = 5, | b | = 8, 
calcular | a + b |, | a - b |, a . b e | a ∧ b |. 
7) Numa base ortonormal positiva temos: AB = (3, 1, -2), AC = (0, 2, -1) e AD = (1, 1, 1). 
a) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores. 
b) Calcular a área do triângulo BCD. 
c) Calcular a distância do ponto A ao plano BCD. 
d) Calcular a distância de B à reta CD. 
8) Dados aOA = = (1, 1, 0), bOB = = (0, 1, 1) e cOC = = (2, 1, 0), pede-se um vetor 
xOP = tal que, simultaneamente: 
a) x é coplanar com a ∧ b e cb ∧ ; 
b) x é ortogonal a a + c ; 
 
 
4 Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica – Exercícios, 1985 
 63
3.5 Respostas da 3ª Lista de Exercícios 
 
1) )
7
22,
7
47(0, ; 2) -14; 3) (3, 0, 2) ou (2, 0, 3); 4) (4, -6, 0); 5) (9, 9, -9); 
6) 129 ; 7; 20; 320 ; 
7) 12; 
3
93;
31
626;
2
62 ; 
 8) ),,( βββ 332 −−=x ; βα −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 64
4 RETAS E PLANOS NO R3 
 
4.1 Sistema de Coordenadas 
 
Seja O um ponto de R3 e B = { k,j,i } uma base ortonormal positiva de V3. 
Ao par (O, B), que também pode ser indicado por (O, k,j,i ) damos o nome 
de sistema ortogonal de coordenadas em R3. 
O ponto O é a origem do sistema e os eixos concorrentes em O e que têm 
os sentidos dos vetores k,j,i denominam-se, respectivamente, eixo das abscissas 
(indicado por Ox, ou simplesmente x), eixo das ordenadas (indicado por Oy, ou 
simplesmente y) e eixo das cotas (indicado por Oz, ou simplesmente z), sendo 
chamados de eixos coordenados. O plano que contém os eixos x e y, recebe o nome 
de plano xy; o plano que contém os eixos y e z é chamado de plano yz; o plano xz é 
aquele que contém os eixos x e z; estes três planos recebem o nome de planos 
coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z
O
P = (x, y, z) v 
i
j 
k
 65
A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP , 
com origem em O, que por sua vez determina um único vetor OPv = , que é escrito de 
maneira única como combinação linear dos vetores k,j,i , do seguinte modo: 
kzjyixv ++= . Desse modo, a cada ponto P do espaço corresponde um único terno 
ordenado (x, y, z) de números reais, que são as coordenadas cartesianas de P no 
sistema de coordenadas ortogonal (O, B). Reciprocamente, a cada terno ordenado (x, 
y, z) de números reais corresponde um único ponto P do espaço, tal que 
kzjyixOP ++= . Assim, podemos representar os pontos do espaço por ternos 
ordenados de números reais e escrever, P = (x, y, z), ou ainda P (x, y, z). 
Desse modo, sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos de R3. 
Quais são as coordenadas do vetor AB ? 
Observem que AB pode ser escrito do seguinte modo: 
)zz,yy,x(x)z,y,(x)z,y,(xOAOBOBOAOBAOAB 121212111222 −−−=−=−=+−=+=
 Portanto, AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z
Oi j 
k
A 
B 
 66
r: P = A + ABλ , Rλ∈ (1) 
r: P = A + vλ , Rλ∈ (1) 
4.2 A Reta no R3 
 
Um dos axiomas da Geometria Euclidiana afirma que dois pontos distintos 
determinam uma única reta. 
Sejam então, dois pontos distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) de R3. 
Esses dois pontos determinam uma reta r. 
Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores AP e 
AB são linearmente dependentes (L. D.), ou ainda, se AP e AB são paralelos. 
Logo, um ponto P pertence à reta r se, e somente se, existe um escalar λ tal 
que ABλAP = . 
Como OPAOAP += , temos: ABλOPAO =+ , que nos fornece a 
 
 
 
 
Que também pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
Observem que dado Rλ∈ , (1) nos dá um ponto P de r, e dado P ∈ r, existe 
Rλ∈ tal que (1) se verifica. 
Fazendo-se AB = v , ( v ≠ 0 , pois A ≠ B) podemos escrever (1) do seguinte 
modo: 
 
 
 
 
Equação Vetorial da Reta r: ABλOAOP += , Rλ∈ 
 67
Assim, defini-se reta: 
 
 
 
 
 
 
Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
 
 
O vetor v é chamado vetor diretor da reta r. 
Logo, uma reta fica bem definida, isto é, bem determinada, quando dela 
conhecemos um ponto e a direção que é dada pelo vetor diretor. 
Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorial 
da reta r, fica: 
k)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix 121212111 −+−+−+++=++ 
k)]z(zλ[zj)]y(yλ[yi)]x(xλ[xkzjyix 121121121 −++−++−+=++ 
Fazendo-se: x2 – x1 = a, y2 – y1 = b, z2 – z1 = c, vem: 
kc)λ(zjb)λ(yia)λ(xkzjyix 111 +++++=++ 
Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:Se em (2) tivermos a ≠ 0, b≠ 0 e c ≠ 0, ou seja, a.b.c ≠ 0, podemos tirar o 
valor de λ de cada equação, obtendo: 
r = {P Rλ,vλA/PR3 ∈+=∈ } 
Equações Paramétricas da Reta r 
 R)(λ
cλzz
bλyy
aλxx
1
1
1
∈
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
:r (2) 
Definição de Reta 
Reta determinada por um ponto A e um vetor v ≠ 0 é o conjunto dos pontos 
P de R3 que satisfazem a relação: Rλ,vλAPvλAP ∈+=⇔= 
 68
c
zz
b
yy
a
xx
λ 111
−=−=−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFLITA E RESPONDA 
 
1) Fixado um sistema de coordenadas, existe uma reta da qual (2) são equações 
paramétricas. É a reta que passa pelo ponto (x1, y1, z1) e é paralela ao vetor (a, b, c). Se 
fixarmos outro sistema de coordenadas e mantivermos o mesmo sistema de equações 
(2), este representará a mesma reta no espaço? (Tente exemplificar sua resposta com 
uma figura) 
2) Para uma mesma reta, as equações do tipo (1) e (2) são determinadas de modo 
único? Isto é, só existe uma equação de cada tipo representando uma mesma reta? 
 
OBSERVAÇÃO: para os exemplos e exercícios que veremos no decorrer desta 
apostila, consideraremos fixado um sistema de coordenadas (O, k,j,i ). 
 
EXEMPLOS 
 
1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e normais da reta r que passa pelos 
pontos P1 = (5, -4, 2) e P2 = (3, 1, 6). 
A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (5, -4, 2) e pelo vetor 
diretor 4)5,2,(PPv 21 −== . 
Equação Normal ou Simétrica da Reta r 
 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −=−=−:r (3) 
 69
Equação Vetorial: P = P1 + ⇒vλ r: (x, y, z) = (5, -4, 2) + λ (-2, 5, 4), λ ∈ R 
R)(λ
4λ2z
5λ4y
2λ5x
::asParamétricEquações ∈
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+−=
−=
r 
Equações Normais: r: 
4
2z
5
4y
2
5x −=+=−
− 
2) Escrever as equações paramétricas e simétricas da reta r que passa pelo ponto P1 = 
(1, -2, 5) e cuja direção é dada pelo vetor diretor u = (2, 1, -3). 
Equações Normais: r: 
3
5z
1
2y
2
1x
−
−=+=− 
Equações Paramétricas: r: R)(λ
λ35z
λ2y
λ21x
∈
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+−=
+=
 
 
4.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos 
 
Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) três pontos de R3, com 
A ≠ B. 
A condição necessária e suficiente para que C pertença à reta determinada 
por A e B é: 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
Verificar se os pontos P1 = (-1, -2, 1), P2 = (1, 1, 5) e P3 = (3, 4, 9) estão alinhados. 
Vamos determinar os vetores 3121 PPePP : 8)6,(4,PPe4)3,(2,PP 3121 == . 
Rλ,ABλAC ∈= 
 70
Logo, existe R2λ ∈= , tal que: 31PP = 21PP2 . Portanto os pontos estão alinhados ou 
são colineares. 
Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, por 
exemplo as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P1 e P2 e 
verificarmos se o ponto P3 pertence à reta r. 
A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (-1, -2, 1) e pelo vetor 
diretor v = 4)3,(2,PP 21 = , tendo as seguintes equações paramétricas: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+−=
+−=
λ41z
λ32y
λ21x
:r 
Substituindo P3 em r, vem: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒+=
=⇒+−=
=⇒+−=
2λ419
2λ324
2λ213
:
λ
λ
λ
r 
Como das três equações do sistema tiramos o mesmo valor de λ , temos que P3 ∈ r. 
Logo, os pontos são colineares. 
 
4.3 O Plano no R3 
 
Um dos axiomas da Geometria Espacial afirma que três pontos não 
colineares determinam um único plano. 
Sejam então, três pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = 
(x3, y3, z3) de R3. 
Esses três pontos determinam um plano π . 
Observem que do fato de A, B e C não pertencerem a uma mesma reta, 
decorre que os vetores ACeAB são linearmente independentes (L. I.). 
 71
Um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, os vetores 
AP , AB e AC são linearmente dependentes (L. D.), ou seja, AP é uma combinação 
linear dos vetores AB e AC . 
Logo, um ponto P pertence a um plano π se, e somente se, existem 
escalares λ e μ tais que ACμABλAP += . 
Como OPAOAP += , temos: ACμABλOPAO +=+ , que nos fornece a 
 
 
 
 
Que também pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 Observem que dado um par ordenado ( μλ, ) de números reais, (1) nos dá 
um ponto P de π , e dado P ∈ π , existe um par ordenado ( μλ, ) de números reais tal 
que (1) se verifica. 
Fazendo-se AB = u e AC = v , (u e v L. I.) podemos escrever (1) do 
seguinte modo: 
 
 
 
 
Assim, defini-se plano: 
 
 
 
 
 
Equação Vetorial do Plano π : Rμλ,,ACμABλOAOP ∈++= 
Rμλ,,ACμABλAP: ∈++=π (1) 
Rμλ,,vμuλAP: ∈++=π (1) 
Definição de Plano 
Plano determinado por um ponto A e por dois vetores L. I. u e 
v é o conjunto dos pontos P de R3 que satisfazem a relação: 
Rμλ,,vμuλAPvμuλAP ∈++=⇔+= 
 72
Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
 
 
Os vetores L. I., u e v , são chamados vetores diretores do plano π . 
Logo, um plano fica bem definido, isto é, bem determinado, quando dele 
conhecemos um ponto e duas direções não paralelas que são dadas pelos vetores 
diretores. 
Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorial 
do plano π , fica: 
k)z(zμj)y(yμ
i)x(xμk)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix
1313
13121212111
−+−
+−+−+−+−+++=++
 
k)]z(zμ)z(zλ[z
j)]y(yμ)y(yλ[yi)]x(xμ)x(xλ[xkzjyix
13121
1312113121
−+−+
+−+−++−+−+=++
 
Fazendo-se: x2 – x1 = a1, y2 – y1 = b1, z2 – z1 = c1 e x3 – x1 = a2, y3 – y1 = b2, 
z3 – z1 = c2, vem: 
k)cμcλ(zj)bμbλ(yi)aμaλ(xkzjyix 211211211 ++++++++=++ 
Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos também usar o produto misto entre vetores para obter uma 
condição necessária e suficiente para que um ponto P pertença a um plano π . 
Já vimos anteriormente que um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π 
determinado pelos pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) 
π = {P ∈ R3 /P = A + λ u + μ v , Rμλ, ∈ } 
Equações Paramétricas do Plano π 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++=
++=
211
211
211
cμcλzz
bμbλyy
aμaλxx
:π R)μ( ∈,λ (2) 
 73
de R3 se, e somente se, os vetores AP , AB e AC são linearmente dependentes (L. 
D.), ou seja, [ AP , AB , AC ] = 0 ⇒ [ AP ,u , v ] = 0, com AP = (x – x1, y – y1, z – z1), u = 
(a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2). 
Desenvolvendo-se este produto misto, teremos: 
)abb(a)z(z
)acc(a)y(y)bcc(b)x(x0
cba
cba
zzyyxx
21211
2121121211
222
111
111
−−
+−−−−−⇒=
−−−
 
Chamando-se: a = b1c2 – c1b2 ; b = -a1c2 + c1a2 ; c = a1b2 – b1a2, teremos: 
(x – x1) a + (y – y1) b + (z – z1) c = 0, que desenvolvendo-se, fica: 
a x + b y + c z – (ax1 + by1 + cz1) = 0 e finalmente, fazendo-se d = 
– (ax1 + by1 + cz1), teremos: 
 
 
 
 
A equação (3) também recebe o nome de equação normal do plano π , pois 
decorre da definição de vetor normal a um plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição de produto misto sabemos que: 
[ AP ,u , v ] = AP . u ∧ v 
Da definição de produto vetorial sabemos que o vetor obtido do produto 
vetorial de u por v é, simultaneamente, perpendicular ou ortogonal a u e v . 
Equação Cartesiana ou Geral do Plano π : a x + b y + c z + d = 0 (3) 
Vetor Normal 
Um vetor 0≠n é perpendicular ou normal a um plano π se, e 
somente se, n é perpendicular a todos os vetores que possuem 
representantes em π . 
 74
Chamando-se n = u ∧ v , vamos calcular suas coordenadas em relação ao sistema de 
coordenadas (O, k,j,i ): 
k)abb(aj)acc(ai)bcc(b
cba
cba
kji
vu 212121212121
222
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