Matematica Economica 2 - Calculo

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Universidade Estadual Paulista “Ju´lio de Mesquita Filho”
Notas de Aula – Ca´lculo 2
Profa. Dra. E´rika Capelato
Departamento de Economia
Faculdade de Cieˆncias e Letras campus Araraquara
1
1 Func¸a˜o de Va´rias Varia´veis - Aula 1
O objetivo desta aula e´ apresentarmos a definic¸a˜o de func¸a˜o de va´rias varia´veis e
analisarmos o domı´nio e a imagem para tais func¸o˜es. Ale´m disso, esta aula traz uma
revisa˜o de sec¸o˜es coˆnicas e qua´dricas que sera˜o necessa´rias para o desenvolvimento de
conteu´dos como gra´fico, superf´ıcies e curvas de n´ıvel.
A motivac¸a˜o que escolhemos para iniciarmos os estudos sobre func¸o˜es de duas ou
mais varia´veis foi extra´ıdo de [3, p.856] e trata-se de uma func¸a˜o muito utilizada em
Economia conhecida por func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas.
Em 1928 Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram
o crescimento da economia Americana durante o per´ıodo 1899-1922. Eles consideraram
uma visa˜o simplificada da economia na qual a produc¸a˜o e´ determinada pelo trabalho
envolvido e o capital investido:
P (L,K) = bLαK1−α. (1.1)
Na equac¸a˜o (1.1) P denota o total da produc¸a˜o (o valor moneta´rio de todos os
bens produzidos em um ano), L denota o trabalho (nu´mero total de horas trabalhadas
em um ano), K refere-se ao capital investido (o valor moneta´rio gasto em maquina´rio,
equipamento e construc¸o˜es) e 0 6 α < 1, uma constante.
Em [3, p.887] e´ mostrado como a equac¸a˜o (1.1) foi obtida. Usando dados econoˆmicos
publicados pelo governo no per´ıodo citado, Cobb e Douglas apresentam a seguinte apro-
ximac¸a˜o para a func¸a˜o de produc¸a˜o:
P (L,K) = 1, 01L0,75K0,25 (1.2)
Usando a equac¸a˜o (1.2) e a informac¸a˜o, segundo os dados divulgados, que em 1920
o trabalho foi 194 e o capital investido 407 obtemos enta˜o, a seguinte aproximac¸a˜o para
a produc¸a˜o neste ano:
P (194, 407) = 1, 01(194)0,75(407)0,25 ≈ 235, 8. (1.3)
Matematicamente, podemos enunciar a equac¸a˜o (1.1) como uma func¸a˜o de duas
varia´veis, da seguinte forma:
P : R× R→ R
(L,K) 7→ bLαK1−α.
2
Como as varia´veis L e K representam horas trabalhadas e capital investido, respec-
tivamente, o domı´nio desta func¸a˜o e´ o conjunto:
{(L,K) ∈ R2;L > 0 e K > 0}.
Outros exemplos poderiam motivar o estudo de func¸o˜es de duas ou mais varia´veis:
1. A temperatura (T ) em um dado ponto da superf´ıcie da Terra que depende da latitude
(x) e longitude (y) deste ponto, ou seja, T = T (x, y).
2. O volume de so´lido retangular (V ) que depende da largura (l), comprimento (c) e
altura (h), ou seja, V = V (l, c, h)
3. A demanda (D) por um certo produto, que depende do seu prec¸o (p1) e do prec¸o de
outro produto que lhe e´ substituto ou complementar 1 (p2), ou seja, D = D(p1, p2).
1.1 Definic¸a˜o de func¸a˜o de duas varia´veis.
Definic¸a˜o 1.1. Seja D ⊂ R2 um subconjunto do plano. Uma func¸a˜o de duas varia´veis
reais, f : D → R, e´ uma regra que associa cada ponto (x, y) ∈ R2 a um u´nico valor
real z = f(x, y) ∈ R. O conjunto D e´ chamado domı´nio de f e a imagem e´ o conjunto
{z = f(x, y); (x, y) ∈ D}.
Exemplo 1.2. Para cada func¸a˜o abaixo encontramos o seu domı´nio e a sua imagem:
1. A func¸a˜o f(x, y) =
√
y − x2 tem domı´nio {(x, y) ∈ R2; y > x2} e imagem o intervalo
[0,+∞).
2. A func¸a˜o f(x, y) = 1
xy
tem domı´nio {(x, y) ∈ R2; yx 6= 0} e imagem R∗.
3. A func¸a˜o f(x, y) = sin(xy) tem domı´nio R2 e imagem o intervalo [−1, 1].
Exerc´ıcio 1.3. Encontre o domı´nio das func¸o˜es abaixo e o represente graficamente:
1. f(x, y) =
√
y − x2
2. f(x, y) = 1√
y−x2
3. f(x, y) =
√
x+y+1
x−1
1Bem substituto e´ um bem que podem ser consumido em substituic¸a˜o a outro, por exemplo, margarina
e manteiga. Bem complementar e´ um bem que deve ser consumido juntamente com outro, por exemplo,
impressoras e cartuchos de tinta.
3
4. f(x, y) = x ln(y2 − x)
Uma extensa˜o para func¸o˜es de treˆs varia´veis pode ser feita naturalmente. Pense
sobre isto e resolva os exerc´ıcios abaixo:
Exerc´ıcio 1.4. Para cada uma das func¸o˜es abaixo encontre o domı´nio e a imagem:
1. f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
2. f(x, y, z) = 1
x2+y2+z2
3. f(x, y, z) = xy ln(z)
Antes de continuarmos com outras definic¸o˜es e resultados para func¸o˜es de duas ou
mais varia´veis, vamos recordar alguns conceitos da Geometria Anal´ıtica referente a coˆnicas
e qua´dricas.
1.2 Coˆnicas e Qua´dricas
Coˆnicas
Uma sec¸a˜o coˆnica e´ obtida a partir da intersec¸a˜o de um plano, com uma determinada
inclinac¸a˜o, e um cone.
Figura 1: Sec¸o˜es coˆnicas
Uma leitura mais aprofundada pode ser feita em [3, p.654], onde o autor demonstra
cada uma das equac¸o˜es: elipse, para´bola e hipe´rbole. Para a compreensa˜o destas demons-
trac¸o˜es sugerimos a leitura da Aula 10, que aborda noc¸o˜es de geometria vetorial.
4
Para´bola
A para´bola e´ o conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco)
e de uma reta fixa (diretriz).
Assim, tomando um ponto (x, y) ∈ R2 ele pertence a` para´bola com foco no ponto
(0, p) e reta diretriz dada por y = −p se:
|(x, y)− (0, p)| = |(x, y)− (x,−p)|√
x2 + (y − p)2 =
√
(y + p)2
x2 = (y + p)2 − (y − p)2
x2 = 4py. (1.4)
Logo (1.4) e´ a equac¸a˜o da para´bola com foco no ponto (0, p) e reta diretriz y = −p.
Neste caso a curva e´ sime´trica ao eixo-y, seu ve´rtice (ponto entre o foco e a reta diretriz)
esta´ origem e seu gra´fico, de acordo com o sinal de p, e´ o da Figura 2:
Figura 2: Convexo se p > 0 e coˆncavo se p < 0
Se considerarmos o foco da para´bola no ponto (p, 0) e a reta diretriz x = −p, com
contas semelhantes, obtemos a seguinte equac¸a˜o da para´bola:
y2 = 4px.
Neste caso a curva sera´ sime´trica ao eixo-x, seu ve´rtice esta´ na origem e seu gra´fico, de
acordo com o sinal de p, tera´ uma das seguintes formas apresentadas na Figura 3.
Exerc´ıcio 1.5. Para cada uma das equac¸o˜es abaixo encontre o ve´rtice, foco e diretriz.
Ale´m disso, fac¸a o gra´fico:
1. 4x2 = −y
2. x = 2y2
5
Figura 3: Se p > 0 ou se p < 0
Elipse
A elipse e´ o conjunto de pontos do plano cuja soma das distaˆncias ate´ dois pontos
fixos (focos) e´ constante. A equac¸a˜o da elipse sera´:
x2
a2
+
y2
b2
= 1. (1.5)
Se a > b > 0, os focos esta˜o nos pontos (±c, 0), onde c2 = a2 − b2 e os ve´rtices em
(±a, 0) seu gra´fico sera´ o da Figura 4.
Figura 4: Elipse com foco no eixo-x
Se a > b > 0, os focos esta˜o nos pontos (0,±c), onde c2 = a2 − b2 e os ve´rtices em
(0,±a) a equac¸a˜o sera´:
x2
b2
+
y2
a2
= 1. (1.6)
e o seu gra´fico esta´ na Figura 5.
Observac¸a˜o 1.6. No caso de a = b as equac¸o˜es (1.5) e (1.6) se reduzem a x2 + y2 = a2,
ou seja, obtemos a equac¸a˜o da circunfereˆncia de raio a com foco no ponto (0, 0), ou seja,
centrada na origem.
Exerc´ıcio 1.7. Para cada equac¸a˜o abaixo ache o ve´rtice, o foco e fac¸a o gra´fico.
1. x
2
9
+ y
2
5
= 1
2. 4x2 + y2 = 16
6
Figura 5: Elipse com foco no eixo-y
Hipe´rbole
A hipe´rbole e´ o conjunto de todos os pontos do plano cuja diferenc¸a entre as
distaˆncias ate´ dois pontos fixos (focos) e´ constante. A equac¸a˜o da hipe´rbole sera´
x2
a2
− y
2
b2
= 1. (1.7)
Se y = 0 temos que a hipe´rbole intercepta o eixo-x nos pontos (±a, 0), chamados
ve´rtices. Se x = 0 teremos y2 = −b2 o que e´ imposs´ıvel, e assim, a hipe´rbole na˜o intercepta
o eixo-y. Os focos sera˜o os pontos (±c, 0), onde c2 = a2 + b2 e seu gra´fico e´ dado pela
Figura 6.
Figura 6: hiperbole com ass´ıntotas y = ±(b/a)x
Se a equac¸a˜o da hipe´rbole for
y2
a2
− x
2
b2
= 1. (1.8)
a hipe´rbole na˜o intercepta o eixo-x e sim o eixo-y nos pontos (0,±a), os quais sera˜o agora
o ve´rtice. Os focos sera˜o os pontos (0,±c), onde c2 = a2 + b2 e o gra´fico sera´ dado pela
Figura 7.
Exerc´ıcio1.8. Para cada equac¸a˜o encontre o ve´rtice, foco, as ass´ıntotas e fac¸a o gra´fico.
1. y2 − x2 = 1
7
Figura 7: hiperbole com ass´ıntotas y = ±(a/b)x
2. x
2
144
− y2
25
= 1
Qua´dricas
A equac¸a˜o de segunda ordem nas varia´veis x, y e z do tipo:
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0 (1.9)
com A,B,C,D,E, F,G,H, I, J constantes possui um gra´fico chamado superf´ıcie qua´drica.
Fazendo mudanc¸as de coordenadas na equac¸a˜o (1.9), para tirarmos as rotac¸o˜es e centra-
lizarmos a superf´ıcie na origem, e´ poss´ıvel reduz´ı-la a:
Elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (1.10)
onde a, b e c sa˜o constantes. A Figura 8 mostra o trac¸o da elipse em cada plano e o gra´fico
do elipsoide no R3.
Figura 8: [4, p. 958]
Na equac¸a˜o (1.10) se tivermos a = b = c esta equac¸a˜o se reduz a
x2 + y2 + z2 = a2 (1.11)
8
que e´ a equac¸a˜o da esfera de raio a centrada na origem.
Hiperboloide de uma folha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (1.12)
onde a, b e c sa˜o constantes. A Figura 9 mostra os trac¸os das curvas em cada plano e o
gra´fico do hiperboloide de uma folha no R3.
Figura 9: [4, p.959]
Hiperboloide duas folhas
− x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1 (1.13)
onde a, b e c sa˜o constantes. A Figura 10 mostra os trac¸os das curvas em cada plano e o
gra´fico do hiperboloide de duas folhas no R3.
Figura 10: [4, p.959]
Cone
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0 (1.14)
onde a, b e c sa˜o constantes. A Figura 11 mostra os trac¸os das curvas em cada plano e o
gra´fico do cone no R3.
9
Figura 11: [4, p 960]
Paraboloides
A equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= cz (1.15)
onde a, b e c sa˜o constante e c > 0 e´ chamado paraboloide el´ıptico.
E a equac¸a˜o
x2
a2
− y
2
b2
= cz (1.16)
onde a, b e c sa˜o constante e c < 0 e´ chamado paraboloide hiperbo´lico. A Figura 12 traz
o gra´fico de cada um deles.
Figura 12: [4, p 961]
Observac¸a˜o 1.9. Variac¸o˜es nos sinais das varia´veis ou no termo quadra´tico das equac¸o˜es
(1.10) a (1.16) resultam em mesmos so´lidos, pore´m com orientac¸a˜o diferente.
Abaixo apresentamos alguns exemplo de exerc´ıcios que utilizamos as equac¸o˜es das
qua´dricas apresentadas acima para esboc¸ar algumas superf´ıcies. Outros exemplos, bem
como a teoria mais aprofundada e uma miscelaˆnea de exerc´ıcios para qua´dricas podem
ser encontrados nos livros [2, 4].
Exemplo 1.10. Identifique e esboce a superf´ıcie
4x = 3y2 + 12z2. (1.17)
Dividindo a equac¸a˜o (1.17) por 4 obtemos
10
x =
3
4
y2 + 3z2 (1.18)
Observamos, dentre qua´dricas acima, que o paraboloide e´ a u´nica que na˜o possui o termo
quadra´tico nas treˆs varia´veis. Assim, ao fixarmos x = 3 na equac¸a˜o (1.18) obtemos a
equac¸a˜o da elipse no plano x = 3 e o paraboloide ao redor do eixo-x, dado pela Figura
13.
Figura 13: [4, p.962]
Exemplo 1.11. Identifique e esboce a superf´ıcie
z = y2/4− x2/9. (1.19)
Fazendo x = 0 em (1.19) temos z = y2/4 que e´ uma para´bola no plano-yz, com ve´rtice
na origem e convexa. Por outro lado, fazendo y = 0 em (1.19) temos z = −x2/9 que e´
uma para´bola no plano-xz, com ve´rtice na origem e coˆncava. Fazendo z = 1 temos, neste
plano, a hipe´rbole
y2
4
− x
2
9
= 1.
Ja´ no plano z = −1, temos a hipe´rbole
x2
9
− y
2
4
= 1.
Logo, a superf´ıcie e´ o paraboloide hiperbo´lico da Figura 14.
Exerc´ıcio 1.12. Identifique a superf´ıcie
1. 3x2 − 4y2 + 12z2 + 12 = 0
2. 4x2 − 4y + z2 = 0
11
Figura 14: [2, p.826]
12
2 Curva, Superf´ıcie de Nı´vel e Func¸a˜o Homogeˆnea -
Aula 2
O objetivo desta aula e´ apresentar e trabalhar, atrave´s de exemplos e exerc´ıcios, a
definic¸a˜o de curva, superf´ıcie de n´ıvel e gra´fico de func¸a˜o. Ale´m disso, finalizaremos esta
aula abordando o conceito e as aplicac¸o˜es de func¸o˜es homogeˆneas.
2.1 Curva, Superf´ıcie de n´ıvel e gra´fico de func¸a˜o
Definic¸a˜o 2.1. O conjunto do plano onde f(x, y) tem um valor constante c, ou seja,
f(x, y) = c e´ chamado curva de n´ıvel. Analogamente, chamamos de superf´ıcie de n´ıvel,
onde f(x, y, z) assume valor constante, ou seja, f(x, y, z) = c.
Definic¸a˜o 2.2. O conjunto dos pontos (x, y, f(x, y)) no espac¸o e´ chamado gra´fico de f
ou, superf´ıcie.
A Figura 15 traz o esboc¸o das curvas de n´ıvel e do gra´fico para a func¸a˜o
f(x, y) = −xye−x2−y2 .
Figura 15: [3, p.858]
Exemplo 2.3. Seja a func¸a˜o g(x, y) =
√
9− x2 − y2. As curvas de n´ıvel e o gra´fico sa˜o
dados, respectivamente, pela Figura 16 e Figura 17.
Exerc´ıcio 2.4. Seja a func¸a˜o f(x, y) = 6− 3x− 2y. Fac¸a as curvas de n´ıvel e o gra´fico
de f .
Exerc´ıcio 2.5. Seja a func¸a˜o f(x, y) = 100 − x2 − y2. Represente as curvas de n´ıvel
f(x, y) = 51, f(x, y) = 0, f(x, y) = 75 e fac¸a o gra´fico de f .
13
Figura 16: [3, p.862]
Figura 17: [3, p.858]
Exemplo 2.6. Na Aula 1 vimos a seguinte aproximac¸a˜o para a func¸a˜o de Cobb-Douglas:
P (L,K) = 1, 01L0,75K0,25. (2.1)
Suas curvas de n´ıvel esta˜o desenhadas na Figura 18:
Figura 18: [3, p.859]
Usando software computacional e´ poss´ıvel encontrarmos o gra´fico da func¸a˜o (2.1).
Na Figura 19 e´ apresentado este gra´fico.
14
Figura 19: [3, p.859]
Exerc´ıcio 2.7. Descreva as curvas ou superf´ıcies de n´ıvel:
• f(x, y) = 100− x2 − y2
• f(x, y) = y − x
• f(x, y) = 4x2 + 9y2
• f(x, y) = y
x2
• f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2
• f(x, y, z) = 2x2 − 3y2 + z
2.2 Projeto
Nesta sec¸a˜o propomos treˆs projetos aplicados a` Economia. Para a execuc¸a˜o dos
dois primeiros, usaremos a definic¸a˜o de curva de n´ıvel e para o u´ltimo, a definic¸a˜o de
func¸a˜o homogeˆnea. Faremos agora uma breve exposic¸a˜o destes conceitos, os quis devem
ser pesquisados em algum livro de Microeconomia para a compreensa˜o de mais detalhes.
Em Economia o conjunto de curvas de n´ıvel de func¸o˜es de produc¸a˜o sa˜o denomina-
dos isoquantas. As curvas de n´ıvel de uma func¸a˜o utilidade sa˜o denominadas curvas de
indiferenc¸a e para a func¸a˜o custo, as curvas de n´ıvel recebem o nome de isocustos.
Definic¸a˜o 2.8. Uma func¸a˜o de n-varia´veis, f , e´ homogeˆnea de grau k se dado λ ∈ R
temos
f(λx1, λx2, . . . , λxn) = λ
kf(x1, x2, . . . , xn).
Em Economia, se k = 1 dizemos que a func¸a˜o exibe retornos constantes de escala.
Se k > 1 a func¸a˜o exibe retornos crescentes de escala e se k < 1 a func¸a˜o exibe retornos
decrescentes de escala.
15
Exemplo 2.9. Verifique se a func¸a˜o e´ homogeˆnea e, em caso afirmativo, determine o
grau.
1. f(x, y) = x3 + y3 =⇒ f(λx, λy) = (λx)3 + (λy)3 = λ3(x3 + y3) = λ3f(x, y) ou seja,
f e´ homogeˆnea de grau 3.
2. f(x1, x2, x3) = 2x
1/2 + 2x2y4 =⇒ f(λx1, λx2, λx3) = 2λ1/2x1/2 + 2λ6x2y4, a func¸a˜o
na˜o e´ homogeˆnea.
Projeto 2.10. Dois insumos a e b sa˜o usados na produc¸a˜o de um u´nico bem. O prec¸o
de ambos os insumos esta˜o fora do controle da empresa, Pa e´ o prec¸o do insumo a e Pb o
prec¸o do insumo b. Qual o custo total para a produc¸a˜o deste bem, se os gastos sa˜o apenas
com os insumos? Quais sa˜o os gra´ficos dos isocustos?
Projeto 2.11. A func¸a˜o utilidade f(x1, x2, . . . , xn) mede o grau de satisfac¸a˜o em consu-
mir a cesta de mercadorias (x1, x2, . . . , xn). Considere a func¸a˜o utilidade para uma cesta
de duas mercadorias dada por
f(x1, x2) = 3x1 + 5x2.
Determine as curvas de indiferenc¸a.
Projeto 2.12. Seja o resultado da produc¸a˜o a partir de treˆs insumos
P (K,L,N) = AKaLbN c
1. Esta func¸a˜o e´ homogeˆnea? Se for, qual e´ seu grau?
2. Sob qual condic¸a˜o haveria retornos constantes de escala? E retornos crescentes de
escala?
16
3 Limite e Continuidade de func¸a˜o de va´rias varia´veis
- Aula 3
Vamos abordar nesta aula a definic¸a˜o de limite e continuidade para func¸a˜o de va´riasvaria´veis. Ale´m disso, trabalharemos estes conceitos aplicados a exemplos e exerc´ıcios.
Definic¸a˜o 3.1. Uma func¸a˜o f(x, y) tem limite L quando (x, y) tende para (a, b) se, dado
� > 0, exites δ > 0, tal que para todo (x, y) no domı´nio de f com
0 <
√
(x− a)2 + (y − b)2 < δ
temos |f(x, y)− L| < �.
Figura 20: [3, p.871]
Teorema 3.2. Sejam lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = L e lim(x,y)→(a,b) g(x, y) = M . Enta˜o
• lim(x,y)→(a,b)[f(x, y) + g(x, y)] = lim(x,y)→(a,b) f(x, y) + lim(x,y)→(a,b) g(x, y) = L+M
• lim(x,y)→(a,b)[f(x, y) · g(x, y)] = L ·M
• lim(x,y)→(a,b) f(x,y)g(x,y) = LM , desde que os quocientes fac¸am sentido.
• lim(x,y)→(a,b)[f(x, y)]m/n = Lm/n, m,n ∈ Z.
Exemplo 3.3. Resolva os limites:
1. lim(x,y)→(0,1)
x−xy+3
x2y+5xy−y3 = −3 (basta substituir x = 0 e y = 1)
2. lim(x,y)→(3,−4)
√
x2 + y2 = 5
3. lim(x,y)→(0,0)
x2−xy√
x−√y = 0 (e´ necessa´rio racionalizar)
Exerc´ıcio 3.4. Resolva os limites:
17
1. lim(x,y)→(1,1)
x2−2xy+y2
x−y
2. lim(x,y)→(0,0)
3x2−y2+5
x2+y2+5
3. lim(x,y)→(pi/2,0)
cos(y)+1
y−sin(x)
4. lim(x,y,z)→(1,−1,−1)
2xy+yz
x2+z2
Definic¸a˜o 3.5. Uma func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) e´ cont´ınua em (a, b) se
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b).
No´s dizemos que f e´ cont´ınua em D, se f e´ cont´ınua em cada (a, b) ∈ D.
Observac¸a˜o 3.6. Teste dos caminhos (para mostrar que o limite de uma func¸a˜o na˜o
existe): Se uma func¸a˜o f(x, y) tem limites diferentes ao longo de caminhos diferentes
quando (x, y) tende para (a, b) enta˜o lim(x,y)→(a,b) f(x, y) na˜o existe.
Exemplo 3.7. Seja a func¸a˜o definida por f(x, y) = 2xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
Mostre que f na˜o e´ cont´ınua na origem.
Para resolver, devemos calcular o limite sobre a reta y = mx.
Exerc´ıcio 3.8. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre
que os limites abaixo na˜o existem:
1. lim(x,y)→(0,0)
2x2y
x4+y2
2. lim(x,y)→(0,0) −x√
x2+y2
3. lim(x,y)→(0,0)
x2+y
y
Observac¸a˜o 3.9. Alguns limites precisamos substituir as coordenadas cartesianas por
coordenadas polares, ou seja:
x = r cos(θ); y = r sin(θ)
Exemplo 3.10. lim(x,y)→(0,0) x
3
x2+y2
= limr→0
r3 cos3(θ)
r2
= limr→0 r cos3(θ) = 0.
18
4 Derivada Parcial - Aula 4
4.1 Derivada Parcial
Definic¸a˜o 4.1. A derivada parcial de f(x, y) em relac¸a˜o a x no ponto (a, b) e´ denotada
por ∂f
∂x
(a, b) = fx(a, b) e, e´ definida por,
∂f
∂x
(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
desde que o limite exista. Analogamente, definimos
∂f
∂y
(a, b) = lim
h→0
f(a, b+ h)− f(a, b)
h
desde que o limite exista.
Uma interpretac¸a˜o geome´trica desta definic¸a˜o pode ser ffeita ao fixarmos b obtemos
C1, a curva da func¸a˜o f(x, b), se fixarmos a obtemos C2, a curva da func¸a˜o f(a, y). As
curvas se interceptam no ponto (a, b, c) e temos neste ponto duas retas tangentes, de modo
que a inclinac¸a˜o da reta T1 e´ dada pela derivada parcial fx(a, b) e da reta T2 por fy(a, b).
Figura 21: [3, p.858]
Exemplo 4.2. Seja a func¸a˜o f(x, y) = 4 − x2 − 2y2. Encontre ∂f
∂x
(1, 1) = fx(1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1) = fy(1, 1) e os interprete como inclinac¸a˜o.
∂f
∂x
= −2x ∂f
∂y
= −4y
logo,
∂f
∂x
(1, 1) = −2 ∂f
∂y
(1, 1) = −4.
Interpretac¸a˜o:
19
Figura 22: [3, p.858]
Observac¸a˜o 4.3. Para func¸a˜o de mais varia´veis a definic¸a˜o de derivada parcial e´ ana´loga.
Exerc´ıcio 4.4. Se f(x, y, z) = 2xy3+3x2z encontre fx(−1, 2, 1), fy(−1, 2, 1) e fz(−1, 2, 1)
Observac¸a˜o 4.5. As regras de derivac¸a˜o estudas em func¸a˜o de uma varia´vel se aplicam
para as derivadas parciais.
Exerc´ıcio 4.6. Calcule as derivadas parciais das func¸o˜es abaixo:
1. f(x, y) = y sin(x)
2. f(x, y) = 2y
y+cos(x)
3. f(x, y, z) = x cos(y + 3z)
4.2 Derivada de ordem superior
Seja a func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y), enta˜o fx e fy tambe´m sa˜o func¸o˜es de duas
varia´veis e, enta˜o, podemos considerar as derivadas parciais fxx, fyx, fxy e fyy, as quais
sa˜o chamadas derivadas parciais de segunda ordem. Temos tambe´m a notac¸a˜o:
fxx =
∂
∂x
(
∂f
∂x
) =
∂2f
∂x2
fxy =
∂
∂y
(
∂f
∂x
) =
∂2f
∂y∂x
fyx =
∂
∂x
(
∂f
∂y
) =
∂2f
∂x∂y
fyy =
∂
∂y
(
∂f
∂y
) =
∂2f
∂y2
20
Exerc´ıcio 4.7. Encontre as derivadas de segunda ordem da func¸a˜o f(x, y) = x3+x2y3−
2y3.
Observac¸a˜o 4.8. Note que no exerc´ıcio acima temos fxy = fyx e isto na˜o foi uma
coincideˆncia! O seguinte teorema de Alexis Clairaut (1713-1765) da´ condic¸o˜es para que a
derivada mista, como sa˜o chamadas, coincidam:
Teorema 4.9. Suponha que f esta´ definida num disco D contendo o ponto (a, b). Se as
func¸o˜es fxy e fyx sa˜o ambas cont´ınuas em D, enta˜o
fxy(a, b) = fyx(a, b)
Exerc´ıcio 4.10. Encontre a derivada mista da func¸a˜o f(x, y) = x cos y + yex.
As derivadas parciais podem modelar muitas situac¸o˜es a seguir apresentamos duas
Equac¸o˜es Diferenciais Parciais (EDP) bastante conhecidas:
A equac¸a˜o de Laplace - descreve a distribuic¸a˜o da temperatura, f(x, y), no estado
estaciona´rio em planos:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0 (4.1)
No espac¸o esta equac¸a˜o fica:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0 (4.2)
onde f(x, y, z) e´ a distribuic¸a˜o de temperatura.
A Equac¸a˜o da Onda:
∂2w
∂t2
= c2
∂2w
∂x2
(4.3)
onde w(t, x) e´ a func¸a˜o que mede a altura da onde em relac¸a˜o ao tempo t e a distaˆncia x,
que pode ser ao longo da superf´ıcie do mar, ao longo da corda vibrando, ou a distaˆncia
no ar (para ondas sonoras) ou no espac¸o para ondas luminosas; c e´ uma constante que
varia de acordo com o meio e o tipo de onda.
Exerc´ıcio 4.11. Mostre que a func¸a˜o abaixo satisfaz a Equac¸a˜o de Laplace:
1. f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2
2. f(x, y) = ln
√
x2 + y2
Exerc´ıcio 4.12. Mostre que a func¸a˜o abaixo satisfaz a Equac¸a˜o da Onda:
1. w = sin(x+ ct)
2. w = ln(2x+ 2ct)
21
4.3 Projeto
A seguir sa˜o propostos treˆs projetos aplicados a` Economia. Para a execuc¸a˜o do
primeiro basta usar os conteu´dos aprendidos sobre derivada parcial. Uma leitura comple-
mentar, em livros de microeconomia, sobre a func¸a˜o Elasticidade de Substituic¸a˜o Cons-
tante (CES) e´ sugerida. Para a execuc¸a˜o dois outros projetos e´ interessante que se fac¸a
uma pesquisa em algum livro de microeconomia dos seguintes conceitos: elasticidade,
bens complementares e bens competitivos.
De forma geral, compreendemos a elasticidade como sinoˆnimo de sensibilidade, ou
seja, reac¸a˜o de uma varia´vel em face de alterac¸o˜es de outras varia´veis. Uma varia´vel
ela´stica responde bastante a pequenas alterac¸o˜es de outras e, uma varia´vel inela´stica na˜o
responde a mudanc¸as em outras varia´veis.
Assim, considerando as varia´veis x e y = f(x), a definic¸a˜o matema´tica para a
elasticidade no ponto x0 e´ dada por:
E(x0) =
variac¸a˜o percentual em y
variac¸a˜o percentual em x
.
Ou seja,
E(x0) =
f(x)−f(x0)
f(x0)
x−x0
x0
=
f(x)− f(x0)
x− x0 ·
x0
f(x0)
fazendo x se aproximar de x0, temos da definic¸a˜o de derivada, que a elasticidade no ponto
x0 e´ dada por:
E(x0) =
x0 · f ′(x0)
f(x0)
.
Estendendo a definic¸a˜o acima para func¸o˜es de duas varia´veis, f(x, y), e´ poss´ıvel
obtermos a elasticidade de f , num ponto (x0, y0) qualquer, em relac¸a˜o a x e em relac¸a˜o a
y da seguinte forma:
Ex(x0, y0) =
x0 · (∂f/∂x)(x0, y0)
f(x0, y0)
(4.4)
Ey(x0, y0) =
y0 · (∂f/∂y)(x0, y0)
f(x0, y0)
, (4.5)
respectivamente
Para as definic¸o˜es de bens complementares e competitivos, consideremos a demanda
(D) por um certo produto que, muitas vezes, depende do seu prec¸o (p1) e do prec¸o, (p2),
de outro produto que lhe e´ complementar ou competitivo. Assim, D = D(p1, p2).
Um bem e´ competitivo se pode ser consumidoem substituic¸a˜o a outro, por exemplo,
margarina e manteiga. O oposto desta definic¸a˜o e´ o bem complementar, que deve ser
consumido juntamente com outro, por exemplo, impressoras e cartuchos de tinta.
22
Considere dois bens X e Y com prec¸os p1 e p2, respectivamente. Sejam D(p1, p2) a
demanda para o bem X e G(p1, p2) a demanda para o bem Y .
• Se ∂D
∂p2
< 0 e ∂G
∂p1
< 0 enta˜o os bens X e Y sa˜o complementares;
• Se ∂D
∂p2
> 0 e ∂G
∂p1
> 0 enta˜o os bens X e Y sa˜o competitivos (ou substitutos);
Projeto 4.13. Sejam a func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas P (L,K) = bLαK1−α
e a func¸a˜o de produc¸a˜o conhecida como Elasticidade de Substituic¸a˜o Constante (CES)
Q(L,K) = A[δK−ρ+(1−δ)L−ρ]−1/ρ, onde P e Q descrevem o comportamento do produto
em func¸a˜o do capital (K) e do trabalho (L) e as constantes b, α, A, ρ e δ sa˜o positivas. Em
Q as constantes a e b descrevem a participac¸a˜o dos insumos na produc¸a˜o, respectivamente.
Encontre a produtividade marginal do trabalho e a produtividade marginal do capital para
P e Q.
Projeto 4.14. Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas P (L,K) = bLαK1−α
e calcule a elasticidade ou seja, a participac¸a˜o do capital e do trabalho na produc¸a˜o final.
Projeto 4.15. Considere dois bens X e Y com prec¸os p e q, respectivamente. Sejam
f(p, q) a demanda para o bem X e g(p, q) a demanda para o bem Y . Para cada par de
func¸o˜es abaixo, calcule ∂f
∂q
e ∂g
∂p
e deˆ condic¸o˜es sobre a e α para que os bens X e Y sejam
complementares e competitivos (substitutos).
1. f(p, q) = a
p2q
e g(p, q) = α
pq
, com a e α nu´meros reais positivos.
2. f(p, q) = aeq−p e g(p, q) = αep−q, com a e α nu´meros reais positivos.
23
5 Diferencial, Regra da Cadeia, vetor gradiente e de-
rivada direcional - Aula 5
O objetivo desta aula e´ apresentarmos e trabalharmos, atrave´s de exemplos e exerc´ıcios,
uma se´rie de conceitos como: func¸o˜es diferencia´veis, diferencial, regra da cadeia, vetor
gradiente e derivada direcional.
5.1 Diferencial
Podemos encontrar em [3, p.895] a definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel para func¸o˜es
de duas varia´veis. Neste texto usaremos este conceito enta˜o, optamos por enunciar um
teorema que na pra´tica se torna mais fa´cil de usarmos quando queremos identificar se
uma func¸a˜o de duas varia´veis e´ diferencia´vel:
Teorema 5.1. Se as derivadas fx e fy pro´ximas do ponto (a, b) existirem e forem cont´ınuas
em (a, b) enta˜o f e´ diferencia´vel em (a, b).
Exemplo 5.2. Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = xyexy e´ diferencia´vel no ponto (2,−1).
Temos fx = ye
xy+xy2exy e fy = xe
xy+x2yexy. Enta˜o fx(2,−1) = −e−2+2e−2 = e−2
e fy(2,−1) = 2e−2 + 4e−2 = 6e−2. Ambas, fx e fy sa˜o cont´ınuas , enta˜o f e´ diferencia´vel.
Agora podemos enunciar a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 5.3. Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel. Enta˜o a diferencial dz tambe´m
chamada de diferencial total e´ dada por:
dz = df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy
Exemplo 5.4. Seja z = f(x, y) = x2 + 3xy − y2.
1. Encontre a sua diferencial
2. Se x passa 2 para 2.05 e y passa de 3 para 2.96, use a diferencial para calcular dz e
compare com ∆z
Temos dz = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy. Se x passa de 2 para 2,05 temos dx = 0.05 e
se y passa de 3 para 2.96, temos dy = −0.04 enta˜o dz = (13)0.05 + (0)(−0.04) = 0.65.
Comparando ∆z = f(3, 2.96)− f(2, 3) = 0.6449
Exerc´ıcio 5.5. Uma empresa produz tanques cil´ındricos circulares para armazenamento
de melac¸o. O tanque tem 25 pe´s de altura com raio de 5 pe´s. Qual a sensibilidade do
volume do tanque, V (r, h) = pir2h, a pequenas variac¸o˜es da altura (h) e do raio (r)?
24
Exerc´ıcio 5.6. Suponha que uma lata cil´ındrica tenha raio (r) 1 pe´ e altura (h) 5 pe´s,
mas o raio e a altura esta˜o com erros de dr = 0.03 e dh = −0.1. Estime a variac¸a˜o do
volume da lata. Qual e´ a variac¸a˜o relativa?
Observac¸a˜o 5.7. Para func¸o˜es de mais varia´veis a definic¸a˜o de diferencial e´ ana´loga.
Exemplo 5.8. As dimenso˜es de uma caixa retangular sa˜o 75cm, 60cm e 40cm. Cada
medida tem uma erro de 0.2cm. Use a diferencial para estimar o poss´ıvel erro no ca´lculo
do volume da caixa.
5.2 Regra da Cadeia
Caso 1: Suponha que a func¸a˜o f(x, y) e´ tal que cada uma de suas varia´veis x e y
tambe´m variem com t, ou seja x = x(t) e y = y(t). Enta˜o a variac¸a˜o de f ao longo de t e´
definida pela Regra da Cadeia:
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
Caso 2: Suponha que a func¸a˜o f(x, y) e´ tal que cada uma de suas varia´veis x e y
tambe´m variem com t e s, ou seja x = x(t, s) e y = y(t, s). Enta˜o a variac¸a˜o de f ao
longo de t e´ definida pela Regra da Cadeia:
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
E a variac¸a˜o de f ao longo de s e´ definida pela Regra da Cadeia:
df
ds
=
∂f
∂x
dx
ds
+
∂f
∂y
dy
ds
Exemplo 5.9. 1. Seja f(x, y) = x2 + y2 com x(t) = sin t e y(t) = cos t. Calcule df/dt
2. Seja f(x, y) = x2 + y2 com x(r, s) = r − s e y(r, s) = r + st. Calcule df/ds e df/dr
Observac¸a˜o 5.10. Como ficariam os casos 1 e 2 apresentados acima, se tive´ssemos que
aplicar a Regrada Cadeia a func¸o˜es de treˆs varia´veis?
Exemplo 5.11. 1. Seja f(x, y, z) = x
z
+ y
z
com x(t) = sin2 t e y(t) = cos2 t e z = 1/t.
Calcule df/dt.
2. Seja f(x, y, z) = x
z
+ y
z
com x(r, s) = ln(r2 + s2) e y(r, s) =
√
r2 + s2 e z = 1/rs.
Calcule df/dr e df/ds
25
5.3 Vetor Gradiente e Derivada Direcional
Para uma func¸a˜o f(x, y) as derivadas parciais, fx e fy, representam a variac¸a˜o de
f na direc¸a˜o do eixo-x e do eixo-y, respectivamente, ou seja na direc¸a˜o do vetor unita´rio
i = (1, 0) e j = (0, 1), respectivamente.
Suponhamos agora uma direc¸a˜o arbitra´ria dada pelo vetor u = (a, b), uma superf´ıcie
S dada pelo gra´fico de f(x, y) e um plano cortando esta superf´ıcie na direc¸a˜o do vetor u.
Esta intersecc¸a˜o da´ uma curva C que passa pelo ponto P = (x0, y0, z0) ∈ S. A reta T e´ a
reta tangente a superf´ıcie S passando por P na direc¸a˜o do vetor u, veja a figura:
Figura 23: [3, p.910]
Para calcularmos a derivada direcional vamos definir primeiramente, vetor gradiente:
Definic¸a˜o 5.12. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. O gradiente de f e´ a func¸a˜o
vetorial
∇f = (fx, fy) = ∂f
∂x
i+
∂f
∂y
j.
Exemplo 5.13. Seja a func¸a˜o f(x, y) = x
2
4
+ y2. Fac¸a a curva de n´ıvel f(x, y) = 2 e a
esboce. Encontre o vetor gradiente de f , calcule ∇f(−2, 1) e o represente na curva de
n´ıvel.
Definic¸a˜o 5.14. A derivada direcional de f(x, y) no ponto (x0, y0) na direc¸a˜o do vetor
unita´rio u = (a, b) e´
Duf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0)
h
26
desde que o limite exista
Para os ca´lculos usaremos o seguinte teorema para obter a derivada direcional:
Teorema 5.15. Seja f(x, y) diferencia´vel enta˜o f tem derivada direcional na direc¸a˜o do
vetor unita´rio u = (a, b) e
Duf(x, y) = fx(x, y)a+ f(x, y)b = 〈∇f, u〉
Exemplo 5.16. Encontre a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto (2, 0) e na
direc¸a˜o do vetor v = (3,−4)
Para func¸a˜o de treˆs varia´veis a derivada direcional e´ analogamente definida.
Exemplo 5.17. Se f(x, y, z) = x sin yz.
1. Encontre o gradiente de f
2. Encontre a derivada direcional de f em (1, 3, 0) na direc¸a˜o do vetor v = i+ 2j − k
Observac¸a˜o 5.18. Temos da definic¸a˜o de produto vetorial a seguinte igualdade
Duf = 〈∇f, u〉 = |∇f ||u| cos θ,
ou seja,
cos θ =
〈∇f, u〉
|∇f ||u| ,
onde θ e´ o aˆngulo entre os vetores ∇f e u.
A u´ltima igualdade nos permite responder em qual direc¸a˜o uma func¸a˜o, f , de duas
ou treˆs varia´veis, muda mais rapidamente:
• A func¸a˜o f aumenta mais rapidamente, quando cos θ = 1. Para isso θ = 0 ou seja,
u = ∇f . Isto implica que f cresce maisrapidamente na direc¸a˜o de ∇f .
• A func¸a˜o f decresce mais rapidamente, quando cos θ = −1. Para isso θ = pi neste
caso, u = −∇f .
• A func¸a˜o f tem variac¸a˜o zero quando cos θ = 0, ou seja, θ = pi/2, isto e´ u e´
perpendicular a ∇f .
Exemplo 5.19. Seja a func¸a˜o f(x, y) = x
2
2
+ y
2
2
.
1. Fac¸a o gra´fico de f
2. Encontre a direc¸a˜o que f cresce mais rapidamente e a direc¸a˜o que f decresce mais
rapidamente no ponto (1, 1).
3. Em qual direc¸a˜o, no ponto (1, 1), a variac¸a˜o de f e´ nula?
27
6 Extremos de func¸a˜o de va´rias varia´veis - Aula 6
A seguir apresentaremos algumas definic¸o˜es e resultados importantes no estudo de
extremos de func¸o˜es de duas ou mais varia´veis.
Definic¸a˜o 6.1. Dizemos que f(a, b) e´ valor ma´ximo local, se f(a, b) > f(x, y) para
todos os pontos (x, y) do domı´nio de f pro´ximos ao ponto (a, b).
Dizemos que f(a, b) e´ valor mı´nimo local, se f(a, b) 6 f(x, y) para todos os pontos
(x, y) do domı´nio de f pro´ximos ao ponto (a, b).
Teorema 6.2. Se f tiver um valor de ma´ximo ou mı´nimo local no ponto (a, b) e se as
derivadas de primeira ordem fx(a, b) e fy(a, b) existirem enta˜o fx(a, b) = 0 = fy(a, b).
Definic¸a˜o 6.3. Se fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 ou fx(a, b) ou fy(a, b) ou ambas, na˜o existam,
dizemos que o ponto (a, b) e´ um ponto cr´ıtico de f .
Definic¸a˜o 6.4. Dizemos que o ponto (a, b) e´ um ponto de sela de f se, ele e´ um ponto
cr´ıtico e para os pontos (x, y) pro´ximos de (a, b) temos f(a, b) > f(x, y) e f(a, b) < f(x, y).
Exemplo 6.5. Encontre, se existirem, os extremos locais de:
1. f(x, y) = x2 + y2
Para encontrarmos o ponto cr´ıtico fazemos: fx = 2x = 0 e fy = 2y = 0 enta˜o
obtemos (x, y) = (0, 0). Como f nunca e´ negativa, f(x, y) > f(0, 0). Logo, o ponto
(0, 0) e´ ponto de mı´nimo.
2. f(x, y) = y2 − x2
Para encontrarmos o ponto cr´ıtico fazemos: fx = −2x = 0 e fy = 2y = 0 enta˜o
obtemos (x, y) = (0, 0). Para os pontos (0, y), onde y > 0 temos f(0, y) = y2 >
f(0, 0) e para os pontos (x, 0) onde x > 0 temos f(x, 0) = −x2 < f(0, 0). Ou seja,
pro´ximos de (0, 0) temos pontos onde (0, 0) e´ ma´ximo e pontos onde (0, 0) e´ mı´nimo.
Portanto, (0, 0) e´ um ponto de sela.
Teorema 6.6. (teste da segunda derivada para extremos locais) Suponhamos que f(x, y)
e suas derivadas fx e fy sejam cont´ınuas e fx(a, b) = 0 = fy(a, b). Enta˜o
• f tem ma´ximo local no ponto (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy − f 2xy > 0 em (a, b);
• f tem mı´nimo local no ponto (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy − f 2xy > 0 em (a, b);
• f tem um ponto de sela em (a, b) se fxxfyy − f 2xy < 0 em (a, b);
28
• o teste e´ inconclusivo em (a, b) se fxxfyy − f 2xy = 0 em (a, b).
Observac¸a˜o 6.7.
detH =
[
fxx fyx
fxy fyy
]
= fxxfyy − f 2xy
O determinante da matriz H e´ chamada hessiano de f .
Exemplo 6.8. Encontre, se existir, os extremos locais de:
1. f(x, y) = xy − x2 − y2 − 2x− 2y + 4
2. f(x, y) = x2 + xy + y2 + 3x− 3y + 4
3. f(x, y) = x3 + 3xy + y3
Exerc´ıcio 6.9. Um monopolista produzindo um u´nico produto tem dois tipos de clientes.
Se produzir Q1 unidades para o cliente do tipo 1, estes esta˜o dispostos a pagar 50− 5Q1
unidades moneta´rias por unidade. Se produzir Q2 unidades para clientes do tipo 2, estes
pagam 100−10Q2 unidades moneta´rias por unidade. O custo para o monopolista produzir
Q = Q1+Q2 unidades do produto e´ 90+20Q unidades moneta´rias. Quanto o monopolista
deve produzir para cada mercado, para maximizar o seu lucro?
29
7 Multiplicadores de Lagrange (1755) - Aula 7
O objetivo desta aula e´ resolver problemas de Ma´ximos e Mı´nimos Condicionados.
7.1 Multiplicadores de Lagrange com uma condic¸a˜o de restric¸a˜o
Suponhamos que queremos encontra o extremo da func¸a˜o f(x, y) restrito a` curva
g(x, y) = k. A figura abaixo mostra a curva g e algumas curvas de n´ıvel da func¸a˜o f .
Figura 24: [4, p.962]
Podemos observar que a reta tangente a` curva g e a` curva de n´ıvel f(x, y) = 10 e´ a
mesma em um u´nico ponto (x0, y0), este e´ o ponto extremo procurado. Outra observac¸a˜o,
e´ que neste ponto, o ∇f(x0, y0) e´ paralelo a ∇g(x0, y0), ou seja
∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)
para algum escalar λ. Este escalar e´ chamado multiplicador de lagrange.
Exemplo 7.1. Encontre os valores maiores e menores que f(x, y) = xy assume na elipse
x2
8
+ y
2
2
= 1
Exemplo 7.2. Encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f(x, y) = 3x+ 4y na
circunfereˆncia x2 + y2 = 1
Exemplo 7.3. Encontre o ponto mais pro´ximo a origem no plano 2x+ y − z − 5 = 0.
7.2 Multiplicadores de Lagrange com duas condic¸o˜es de res-
tric¸a˜o
Para encontrarmos os valores extremos de f(x, y, z) cujas varia´veis estejam sujeitas
a duas restric¸o˜es g1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, z) = 0 com ∇g1 e ∇g2 na˜o paralelos, devemos
30
encontrar x, y, z, λ e µ tais que
∇f = λ∇g1 + µ∇g2
Exemplo 7.4. O plano x+y+z = 1 corta o cilindro x2+y2 = 1 em uma elipse. Encontre
os pontos sobre a elipse que esta˜o mais pro´ximos e mais afastados da origem.
Exemplo 7.5. Maximize a func¸a˜o f(x, y, z) = x2+2y−z2 sujeita as restric¸o˜es 2x−y = 0
e y + z = 0.
Exemplo 7.6. Encontre os valores extremos de f(x, y, z) = x2yz + 1 sobre a intersecc¸a˜o
do plano z = 1 com a esfera x2 + y2 + z2 = 10
7.3 Hessiana Aumentada ou Hessiana Orlada
Retiramos a teoria do livro [1]. Considere o seguinte problema de otimizac¸a˜o:
Exemplo 7.7. Func¸a˜o Objetivo: f(x, y), sujeita a restric¸a˜o: g(x, y) = k.
Func¸a˜o Lagrangeana: Z = f(x, y) + λ[k − g(x, y)].
Ponto estaciona´rio: E´ poss´ıvel encontra´-lo fazendo: Zx = 0, Zy = 0 e Zλ = 0.
Hessiana aumentada (ou Hessiana Orlada):
detH =

0 gx gy
gx Zxx Zyx
gy Zxy Zyy

calculamos o determinante no ponto estaciona´rio. Se det(H) > 0 enta˜o o ponto e´ ma´ximo
relativo. Se det(H) < 0 enta˜o o ponto e´ mı´nimo relativo.
Exemplo 7.8. Resolva o problema de otimizac¸a˜o: Func¸a˜o objetivo f(x, y) = xy sujeita
a restric¸a˜o x+ y = 6.
Exemplo 7.9. Encontre o extremo de z = x21 + x
2
2, sujeita a restric¸a˜o x1 + 4x2 = 2.
Exemplo 7.10. Seja a func¸a˜o utilidade do consumidor U(x1, x2) = x1x2. Esta func¸a˜o
mede a satisfac¸a˜o do consumidor relativa a x1 = consumo no per´ıodo 1 e x2 = consumo no
per´ıodo 2. Sabendo que o consumo tambe´m dispo˜e de um orc¸amento durante os per´ıodos
dado por
x1 +
x2
1 + r
= B,
onde B e´ o orc¸amento do consumidor e r a taxa de juros do mercado, ambas varia´veis
positivas fixadas. Prove, usando hessiana aumentada que o valor estaciona´rio maximiza
a func¸a˜o utilidade.
31
7.4 Interpretac¸a˜o do multiplicador de Lagrange
Seja f(x, y) a func¸a˜o objetivo e g(x, y) = k sua restric¸a˜o. O multiplicador de
Lagrange mede a sensibilidade da func¸a˜o objetivo a variac¸o˜es no paraˆmetro k da restric¸a˜o.
Ou seja, se (x∗, y∗) e´ o ponto estaciona´rio e λ e´ o multiplicador de Lagrange, uma variac¸a˜o
∆k, fara´ o valor estaciona´rio sofrer seguinte alterac¸a˜o:
f(x∗, y∗) + λ∆k.
Exemplo 7.11. 1. Resolva o seguinte problema de otimizac¸a˜o f(x, y) = x2y sujeito a
g(x, y) = x2 + y2 = 3 com x > 0 e y > 0.
2. Qual o valor estaciona´rio?
3. Qual o valor estaciona´rio se a restric¸a˜o for g(x, y) = x2 + y2 = 3, 3
7.5 Hessiana aumentado para problemas de otimizac¸a˜o com m-
restric¸o˜es
Seja Z a func¸a˜o Lagrangeana definida por:
Z = f(x1, ..., xn)+λ1[k1−g1(x1, ..., xn)]+λ2[k2−g2(x1, ..., xn)]+...+λm[km−gm(x1, ..., xn)],
com m < n.
Encontramos o ponto estaciona´rio fazendo:
Zx1 = 0; . . . ;Zxn = 0, Zλ1 = 0; . . . ;Zλm = 0.
A Hessiana aumentada sera´ enta˜o:
H =

0 0 · · · 0 ∂1g1 ∂2g1 · · · ∂ng1
0 0 · · · 0 ∂1g2 ∂2g2 · · · ∂ng2
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
0 0 · · · 0 ∂1gm ∂2gm · · · ∂ngm
∂1g1 ∂1g2 · · · ∂1gm Zx1x1 Zx1x2 · · · Zx1xn
∂2g1 ∂2g2 · · · ∂2gm Zx2x1 Zx2x2· · · Zx2xn
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
∂ng1 ∂ng2 · · · ∂ngm Zxnx1 Zxnx2 · · · Zxnxn

Vamos denotar os menores l´ıderes por |H2|, |H3|, ..., |Hn| = |H|, onde |H2| denotada
o determinante da submatriz ate´ o elemento Zx2x2 , |H3| denotada o determinante da
32
submatriz ate´ o elemento Zx3x3 e assim sucessivamente, ate´ |Hn| que e´ o determinante da
pro´pria matriz H.
Com esta notac¸a˜o podemos enunciar uma condic¸a˜o suficiente para ser:
• ma´ximo: os menores principais |Hm+1|, |Hm+2|, ..., |Hn| alternem o sinal, sendo que
o sinal de |Hm+1| e´ (−1)m+1.
• mı´nimo: os menores principais |Hm+1|, |Hm+2|, ..., |Hn| tenham o mesmo sinal, a
saber, (−1)m.
Exemplo 7.12. Resolva o problema de otimizac¸a˜o f(x, y, z) = x2 + 2y − z2 sujeita as
restric¸o˜es 2x+ y = 0 e y + z = 0.
Exemplo 7.13. Seja a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Encontre seu extremo restrito a
3x+ y + z = 5 e x+ y + z = 1.
Teorema da Envolto´ria Tendo o valor o´timo da func¸a˜o objetivo, este teorema
nos diz quanto o valor o´timo, f(x∗, y∗), se altera quando um dos paraˆmetros da restric¸a˜o,
digamos a, se modifica com uma variac¸a˜o de δa.
f(x∗, y∗) + ∆a · Za,
onde Za e´ a derivada parcial da Func¸a˜o Lagrangeana em relac¸a˜o ao paraˆmetro.
Exemplo 7.14. Seja a func¸a˜o objetivo f(x, y) = xy sujeita a restric¸o˜es x2 + y2 = 1,
x > 0 e y > 0. Usando o valor do multiplicador de Lagrange obtenha o valor ma´ximo se
a restric¸a˜o for x2 + 1.1y2 = 1.
7.6 Otimizac¸a˜o com restric¸a˜o de desigualdade
Teorema 7.15. [2, p.978] Se f(x, y) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um conjunto R fechado
e limitado, enta˜o f assume um valor ma´ximo e mı´nimo absoluto em R
Teorema 7.16. [2, p.981] Se f(x, y) tem um extremo absoluto (ou ma´ximo ou mı´nimo)
em um ponto do interior de seu domı´nio, enta˜o este estremo ocorre em um ponto cr´ıtico.
Estes teoremas permite-nos trac¸ar alguns passos para responder a` pergunta: Como
encontrar um extremo absoluto de uma func¸a˜o f sobre um conjunto R fechado
e limitado?
• Encontre o ponto cr´ıtico de f que pertenc¸a ao interior de R;
33
• Encontre todos os pontos sobre a fronteira de R nos quais os extremos absolutos
podem ocorrer;
• Encontre a imagem, por f , de todos os pontos encontrados nos itens anteriores. A
maior imagem refere-se a um ponto de ma´ximo e a menor, a um ponto de mı´nimo.
Exemplo 7.17. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absoluto de f(x, y) = 3xy− 6x−
3y + 7 sobre a regia˜o triangular fechada R com ve´rtices (0, 0), (3, 0) e (0, 5).
Figura 25: [2, p.982]
Exerc´ıcio 7.18. Entre os pontos de ma´ximo e mı´nimo do func¸a˜o objetivo f(x, y) =
(x − 4)2 + (y − 4)2 sujeita as seguintes restric¸o˜es 2x + 2y > 6 e −3x − 2y > −12 com
x, y > 0. Fac¸a o desenho da regia˜o determinada pelas restric¸o˜es.
Exerc´ıcio 7.19. Seja a func¸a˜o de produc¸a˜o dada por U(x, y) = xy, onde (x, y) e´ a cesta
de insumos com x+ y 6 100, x 6 40 e x, y > 0. Maximize a func¸a˜o de produc¸a˜o. Fac¸a o
desenho da regia˜o determinada pelas restric¸o˜es.
Exerc´ıcio 7.20. Durante tempos de guerra e´ poss´ıvel que a populac¸a˜o civil seja sujeita
a algum tipo de racionamento de bens de consumo ba´sicos. Em geral, o me´todo de
racionamento e´ a utilizac¸a˜o de cupons emitidos pelo governo. Considere o caso de um
mundo onde existam dois bens, x e y, ambos racionados. Seja U(x, y) = xy2 a func¸a˜o
utilidade do consumidor, 100 reais o orc¸amento moneta´rio dele e 1 real o prec¸o de x e
de y. A quota para o gasto com cupons e´ de 120 reais e o prec¸o do cupom x e´ 2 reais e
do cupom y e´ 1 real. Monte o problema de otimizac¸a˜o com restric¸o˜es de desigualdade e
maximize a func¸a˜o utilidade.
Exerc´ıcio 7.21. Seja a func¸a˜o f(x, y) = x2 − 2xy + 2y. Entre o ma´ximo e o mı´nimo de
f na regia˜o determinada por 0 6 x 6 3 e 0 6 y 6 2
34
Refereˆncias
[1] A. C. Chiang, K. Wainwright, Matema´tica para Economistas – Campus, 4a. edic¸a˜o,
2006.
[2] A. Howard, B. Irl, D. Steephen, P. Thomas, Calculus-early transcendentals, vol 2,
Wiley, 2002.
[3] J. Stewart, Calculus – Early Transcendentals, 6th edition, 2007.
[4] Tan, Soo. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning, 2010.
35
	Função de Várias Variáveis - Aula 1
	Definição de função de duas variáveis.
	Cônicas e Quádricas
	Curva, Superfície de Nível e Função Homogênea - Aula 2
	Curva, Superfície de nível e gráfico de função
	Projeto
	Limite e Continuidade de função de várias variáveis - Aula 3
	Derivada Parcial - Aula 4
	Derivada Parcial
	Derivada de ordem superior
	Projeto
	Diferencial, Regra da Cadeia, vetor gradiente e derivada direcional - Aula 5
	Diferencial
	Regra da Cadeia
	Vetor Gradiente e Derivada Direcional
	Extremos de função de várias variáveis - Aula 6
	Multiplicadores de Lagrange (1755) - Aula 7
	Multiplicadores de Lagrange com uma condição de restrição
	Multiplicadores de Lagrange com duas condições de restrição
	Hessiana Aumentada ou Hessiana Orlada
	Interpretação do multiplicador de Lagrange
	Hessiana aumentado para problemas de otimização com m-restrições
	Otimização com restrição de desigualdade
	Espaço Vetorial - Aula 10