Mecânica e Resistência de Materiais II Cap. I I I

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Unidade III 
Torção
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3.1. Introdução
 Vamos considerar um tipo de comportamento complexo chamado de torção. 
 A torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação ao redor do eixo longitudinal da barra (Figura 3.1).
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 Outros exemplos de barras em torção são eixos motores em automóveis, eixos em geral, eixo propulsores, hastes de direção e brocas de furadeiras.
Figura 3.1
 Um caso idealizado de carregamento por torção está ilustrado na Figura 3.2a), que mostra uma barra retilínea apoiada em uma extremidade e carregada por dois pares de forças iguais e opostas.
 Cada par de forças forma um binário que tende a girar a barra ao redor de seu eixo longitudinal. 
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Figura 3.2
 Como sabemos da estática, o momento de um binário é igual ao produto de uma das forças pela distância entre as linhas de ação destas forças; assim, o primeiro binário tem um momento T1 = P1d1 e o segundo tem um momento T2 = P2d2.
Introdução
 O momento de um conjugado pode ser representado por um vetor na forma de uma seta com ponta dupla (Figura 3.2b).
 Um representação alternativa de um momento é uma seta curvada agindo na direção de rotação (Figura 3.2c).
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Figura 3.2
 Momentos que produzem giro da barra, como os momentos T1 e T2, são chamados de torques ou momentos torçores.
 Membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência de rotação são chamados de eixos.
Introdução
3.2. Deformações de torção de uma barra circular
 Vamos considerar um barra prismática de seção transversal circular girada por torques T agindo nas extremidades (Fig. 3.3a). 
 Uma vez que toda seção transversal da barra é idêntica e que toda seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T, dizemos que a barra está em torção pura. 
 Das consideração de simetria, pode-se provar que as seções transversais da barra não variam na forma enquanto rotacionam ao redor do eixo longitudinal. 
 Todas seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos.
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Figura 3.3
 Considere agora um elemento da barra entre duas seções transversais distantes dx uma da outra (Figura 3.4a). 
 Esse elemento está ampliado na Figura 3.4b. Em sua superfície externa identificamos um pequeno elemento abcd, com lados ab e cd que são inicialmente paralelos ao eixo longitudinal. 
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Figura 3.4
 Durante o giro da barra, a seção transversal direita rotaciona em relação à extremidade esquerda em um pequeno ângulo de torção dϕ, de forma que os pontos b e c movem-se para b´e c´.
Deformações de torção de uma barra circular
# Deformação de Cisalhamento na Superfície Externa
 Os ângulos nos cantos do elemento (Figura 3.4b) não são mais iguais a 90º. O elemento, portanto, está em um estado de cisalhamento puro, o que significa que o elemento está submetido a deformações de cisalhamento, mas não a deformações normais.
 A grandeza da deformação de cisalhamento γmáx é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, diminuição no ângulo bad. Na figura Figura 3.4b vemos que a diminuição nesse ângulo é:
				 γmáx = bb´/ ab
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Deformações de torção de uma barra circular
 Em que γmáx é medido em radianos, bb´ é o deslocamento do ponto e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra, podemos expressar a distância bb´como rdϕ, em que dϕ também é medido em radianos. Dessa forma a equação anterior fica:
				
Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície externa da barra ao ângulo de rotação. 
 A quantidade dϕ/dx é a razão da variação do ângulo de torção ϕ em relação à distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dϕ/dx pelo símbolo θ e nos referiremos a ela como a razão de torção ou ângulo de torção por unidade de comprimento:
		
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Deformações de torção de uma barra circular
 No caso especial da torção pura, a razão de torção é igual ao ângulo de torção total ϕ dividido pelo comprimento L, isto é, θ = ϕ/L. Por isso, apenas para torção pura, temos:
		
# Deformações de Cisalhamento no Interior da Barra
 Pode-se utilizar o mesmo método usado para encontrar a deformação de cisalhamento γmáx na superfície. 
 Como os raios nas seções transversais permanecem retos e não distorcidos durante o giro, vemos que a discussão anterior para um elemento abcd na superfície externa (Figura 3.4b) também se aplica a um elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio ρ (Figura 3.4c). 
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Deformações de torção de uma barra circular
 Desta forma, elementos internos também estão em cisalhamento puro com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação:
			
# Tubos Circulares
 A Figura 3.5 mostra a variação linear na deformação de cisalhamento entre a deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na superfície interna. As equações para essas deformações são as seguintes:
	
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 As equações são válidas para qualquer material, tanto para comportamento elástico ou inelástico, linear ou não linear.
Figura 3.5
Deformações de torção de uma barra circular
3.3. Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 Vamos determinar as direções e magnitudes das tensões de cisalhamento. As direções das tensões podem ser determinadas por observação, como ilustrado na Figura 3.6a.
 Vemos que o torque T tende a rotacionar a extremidade direita da barra no sentido anti-horário quanto vista pela direita
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Figura 3.6
 Por isso, as tensões de cisalhamento τ agindo em um elemento de tensão localizado na superfície da barra terão as direções ilustradas na figura.
 As intensidades das tensões de cisalhamento podem ser determinadas a partir das deformações usando a relação de tensão-deformação para o material da barra. Se o material é elástico linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento.
			 τ = Gγ
Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação de cisalhamento em radianos.
Em que τmáx é a tensão de cisalhamento na superfície externa da barra (raio r), τ é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ) e θ é a razão de torção.
 As equações acima mostram que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância do centro da barra, como ilustrado pelo diagrama de tensão triangular na Figura 3.6c.
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Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 As tensões de cisalhamento agindo num plano transversal são acompanhadas pelas tensões de cisalhamento de mesma intensidade agindo em planos longitudinais (Figura 3.7). 
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 Essa conclusão segue do fato de que tensões de cisalhamento iguais sempre existem em planos mutuamente perpendiculares. 
 Se o material da barra é mais frágil em cisalhamento em planos longitudinais que em planos transversais, como é típico da madeira quando os veios correm paralelamente ao eixo da barra, as primeiras trincas devido à torção aparecerão na superfície na direção longitudinal. 
Figura 3.7
Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 Um elemento retangular com lados a 45º do eixo será submetido a tensões de compressão e tração, como ilustrado na Figura 3.8. 
 Se uma barra de torção é feita de um material mais frágil em tração que em cisalhamento, a falha ocorrerá em tração ao longo de um hélice a 45º do eixo, como você pode verificar torcendo um pedaço de giz.
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Figura 3.8
Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 Vamos determinar a relação entre as tensões de cisalhamento e o torque T. Feito isso, seremos capazes de calcular as tensões e as deformações em uma barra devido a qualquer conjunto de torques aplicados.
 A distribuição das tensões de cisalhamento agindo em uma seção transversal é representada nas Figura 3.6c e 3.7. Como essas tensões agem continuamente ao redor da seção transversal, têm uma resultante na forma de um momento igual ao torque T agindo na barra.
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 Consideremos um elemento de área dA localizado à distância radial ρ do eixo da barra (Figura 3.9).
Figura 3.9
Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
# A Fórmula de Torção
 O momento dessa força sobre o eixo da barra é igual à força vezes a sua distância ao centro, ou τρdA. Substituindo para a tensão de cisalhamento τ da equação (3.7b), podemos expressar esse momento elementar como:
			
O momento resultante (igual ao torque T) é a soma de todos os momentos elementares sobre a área de seção transversal:
Em que:
É o momento de inércia polar da seção transversal circular.
 
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Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é:
 Uma expressão para a tensão de cisalhamento máxima pode ser obtida rearranjando-se a Equação (3.8) da seguinte maneira:
Essa equação conhecida como fórmula de torção.
 A tensão de cisalhamento à distância ρ do centro da barra é:
Essa equação é uma fórmula de torção generalizada, e vemos mais uma vez que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância radial a partir do centro da barra.
 
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Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 O ângulo de torção de uma barra de material elástico linear pode ser agora relacionado ao torque aplicado T.
Em que θ é dado em radianos por unidade de comprimento. GIp conhecido como rigidez de torção da barra. 
 Para uma barra de torção pura, o ângulo de torção total ϕ, igual à razão de torção vezes o comprimento da barra (isto é, ϕ = θL), é
Em que ϕ é medido em radianos. 
 A quantidade GIp/L, chamada de rigidez à torção linear da barra, é o torque necessário para produzir um ângulo de rotação unitário.
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Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
# Ângulo de Torção
 A flexibilidade à torção é a recíproca de rigidez, ou L/GIp , e é definida como ângulo de rotação produzido por um torque unitário:
# Tubos Circulares
 Tubos circulares são mais eficientes que barras sólidas para resistir a cargas de torção. 
 Como sabemos, as tensões de cisalhamento em uma barra circular sólida são máximas nas fronteiras externas as seção transversal e nulas no centro.
 A maioria do material num eixo sólido é tensionada deforma significativa abaixo da tensão de cisalhamento máximo.
 A tensões perto do centro da seção transversal têm um braço de momento ρ menor para se usar na determinação do torque.
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Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 Em contraste, em um tubo vazado típico, a maior porção do material está próxima à fronteira externa da seção transversal em que tanto as tensões de cisalhamento quanto os braços de momento têm o maior valor (Figura 3.10).
 O momento de inércia polar da área de seção transversal do tubo é:
 Também podem ser escritas da seguinte forma:
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Figura 3.10
Barras Circulares de Materiais Elástico Lineares
 Exercício de Aula 1) Uma barra de aço sólida de seção circular transversal circular tem diâmetro d = 40 mm, comprimento L = 1,3 m e módulo de elasticidade G = 80 GPa. A barra está submetida a torques T agindo nas extremidades.
(a) Se os torques têm intensidade T = 340 N.m, qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra? Qual é o ângulo de torção entre as extremidades ?
(b) Se a tensão de cisalhamento admissível é de 42 MPa e o ângulo de torção admissível é 2,5º, qual é o torque máximo permitido?
 
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 Exercício de Aula 2) Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida ou com um tubo circular . O eixo deve transmitir um torque de 1200 N.m se exceder um tensão de cisalhamento admissível de 40 MPa nem uma razão de torção de 0,75º/m. (módulo de cisalhamento do aço é 78GPa)
Determinar o diâmetro necessário d0 do eixo maciço.
 Determine o diâmetro externo necessário d2 do eixo vazado se a espessura t do eixo estiver especificada em um décimo do diâmetro externo.
 Determine a razão dos diâmetros e a razão dos pesos dos eixos maciço e vazado.
 
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3.4- Tensões e Deformações em Cisalhamento Puro
 Quando uma barra circular, sólida ou vazada, é submetida a torção, tensões de cisalhamento agem sobre as seções transversais e em planos longitudinais, como ilustrado na Figura 3.11.
 Consideremos um elemento de tensão abcd cortado entre duas seções transversais de uma barra em torção (Figura 3.12)
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Figura 3.11
 Esse elemento está em estado de cisalhamento puro, porque as únicas tensões agindo nele são as tensões de cisalhamento τ nas quatro faces laterais. 
Figura 3.12
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 Nessa discussão, assumimos que os torques rotacionam a extremidade direita da barra no sentido horário quando visto da direita (3.12), dessa forma, as tensões de cisalhamento agindo no elemento têm as direções ilustradas na figura.
 Uma tensão de cisalhamento agindo em uma face positiva de um elemento é positiva se age na direção positiva de um dos eixos coordenados e negativa se age na direção negativa de um eixo. 
 Por outro lado, uma tensão de cisalhamento agindo em uma face negativa de um elemento é positiva se age na direção negativa de um dos eixos coordenados e negativa se age na direção positiva do eixo.
 Na Figura 3.12b, todas as quatro tensões de cisalhamento são positivas.
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 Tensões em Planos Inclinados
 Uma vista bidimensional do elemento de tensão é ilustrada na Figura 3.13a.
 Vamos cortar um elemento de tensão em forma de cunha (ou ´´triangular´´) do elemento, tendo uma face orientada em um ângulo θ em relação ao eixo x (Figura 3.13b).
 Tensões normais σθ são positivas em tração e tensões de cisalhamento τθ são positivas quando tendem a produzir uma rotação no sentido anti-horário do material.
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Figura 3.13
 As faces verticais e horizontais de um elemento triangular (Figura 3.13b) têm tensões de cisalhamento positivas agindo nelas, e as faces frontais e posteriores do elemento estão livres de tensão. Por isso, todas as tensões agindo no elemento são visíveis nessa figura.
 As tensões τθ e σθ agora podem ser determinadas a partir do equilíbrio do elemento triangular. As forças agindo nessas três faces laterais podem ser obtidas multiplicando-se as tensões pelas áreas sobre as quais elas agem.
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 Por exemplo, a força na face esquerda é igual a τA0, em que A0 é a área da face vertical. Essa força age na direção negativa de y e é ilustrada no diagrama de corpo livre da Figura 3.13c.
Figura 3.13
 Agora vamos escrever duas equações de equilíbrio para o elemento triangular, uma na direção de σθ e outra na direção τθ . 
 Ao escrever essas equações, as forças agindo nas faces esquerda e inferior devem ser desmembradas em componentes nas direções σθ e τθ. Dessa forma, a primeira equação, obtida somando as forças na direção de σθ, é:
		 σθ A0 sec θ = τ A0 sen θ + τ A0 tg θ cos θ
ou
				 σθ = 2 τ sen θ cos θ
A segunda equação é obtida com a soma das forças na direção τ0 
		 τθ A0 sec θ = τ A0 sen θ - τ A0 tg θ sen θ
ou 
				 τθ = τ (cos2 θ – sen2 θ)
				
			
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 Essas equações podem ser expressas em formas mais simples introduzindo-se as seguintes identidades trigonométricas.
	 sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos 2θ = cos2 θ + sen2 θ
Então: 
		 σθ = τ sen 2θ 		 τθ = τ cos 2θ 	
 As equações acima fornecem as tensões normal e de cisalhamento agindo em qualquer plano inclinado em termos das tensões de cisalhamento τ agindo nos planos x e y e do ângulo θ definido a orientação de plano inclinado. 
 A maneira como as tensões σθ e τθ variam conforme a orientação do plano inclinado é ilustrado pelo gráfico na Figura 3.14, que é representação das equações.
			
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Equação 1
 Similarmente, σθ tem seu valor mínimo (que é compressão) em θ = - 45º. Em ambos os ângulos de 45º, a tensão de cisalhamento τθ é igual a zero. 
 Essas condições estão representadas na Figura 3.15 que mostra elementos de tensão orientados a θ = 0º e θ = 45º. 
 O elemento a 45º está solicitado
por tensões de tração e compressão iguais em direções perpendiculares, sem tensões de cisalhamento.
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Figura 3.14
 Do gráfico, vemos que a tensão normal σθ atinge um valor máximo em θ = 45º. Neste ângulo, a tensão é positiva (tração) e igual numericamente à tensão de cisalhamento τ. 
Figura 3.14
 Observe que as tensões normais agindo no elemento a 45º (Figura 3.15b) correspondem a um elemento submetido a tensões de cisalhamento τ agindo nas direções ilustradas na Figura 3.15a.
 Se as tensões de cisalhamento agindo no elemento da Figura 3.15a tiverem suas direções invertidas, as tensões normais agindo nos planos de 45º também irão variar as direções.
 As equações deduzidas nesta seção são válidas para um elemento de tensão em cisalhamento puro independentemente se o elemento é cortado de uma barra em torção ou qualquer outro elemento estrutural.
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Figura 3.15
 Um vez que as equações 1 foram deduzidas apenas do equilíbrio, são válidas para qualquer material, independentemente se eles se comportam de maneira elástica linear ou não.
 A existência de tensões de cisalhamento máximas nos planos a 45º do eixo x da Figura 3.15b explica por que barras em torção feitas de materiais frágeis e fracos em tração falham, quebrando ao longo de uma superfície helicoidal a 45º (Figura 3.16).
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Figura 3.16
 Deformações em Cisalhamento Puro
 Considerar um elemento em cisalhamento puro ilustrado na Figura 3.15a, em que as deformações estão bem exageradas. 
 A deformação de cisalhamento γ é a variação no ângulo entre duas linhas que eram originalmente perpendiculares uma à outra.
 A forma do elemento varia de um paralelepípedo retangular (Figura 3.15a) para um paralelepípedo oblíquo (Figura 3.17b). Essa variação na forma é chamada de uma distorção de cisalhamento.
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Figura 3.17
 Se o material é elástico linear, a deformação de cisalhamento para o elemento orientado θ = 0º (Figura 3.17a) está relacionada à tensão de cisalhamento pela lei de Hooke em cisalhamento:
 Considere agora as deformações que ocorrem em um elemento orientado θ = 45º (Figura 3.17b). As tensões de tração agindo a 45º tendem a alongar o elemento nessa direção. 
 Por causa do coeficiente de Poisson, elas também tendem a encurtar o na direção perpendicular (direção onde θ =135º ou - 45º). De forma similar, as tensões de compressão agindo a 135º tendem a encurtar o elemento nessa direção e alongá-las na direção de 45º.
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 Uma vez que não há distorções de cisalhamento, o elemento permanece um paralelepípedo retangular, mesmo que as dimensões tenham mudado.
 Deformação de cisalhamento máximas: 
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 Exercício de aula 3) Um tudo circular com diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 60 mm está submetido a um torque T = 4,0 KN.m. O tubo é feito de uma liga de alumínio. 7075-T6.
(a) Determine as tensões de cisalhamento, tração e compressão máximas no tubo e mostre estas tensões em esboço de elemento de tensão orientados adequadamente.
(b) Determine as deformações máximas correspondentes no tubo e mostre estas deformações em esboço dos elementos deformados.
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3.5. Relação entre os Módulos de Elasticidade E e G
 Um relação importante entre os módulos de elasticidade E e G pode ser obtida a partir das equações deduzidas na seção interior.
 Considere o elemento de tensão abcd ilustrado na Figura 3.18a, A face frontal do elemento é assumida quadrada, com o comprimento de cada lado denotado por h.
 Quando esse elemento é submetido a cisalhamento puro por tensões τ, a face frontal se distorce para um losango (Figura 18b) com os lados de comprimento h e com deformação de cisalhamento γ = τ/G.
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Figura 3.18
 Por causa da distorção, a diagonal bd é alongada e a diagonal ac é encurtada. O comprimento da diagonal bd é igual ao seu comprimento inicial √2h vezes o fator 1 + εmax, em que εmax é a deformação normal na direção de 45º, dessa forma:
			 Lbd = √2h (1 + εmax)
Esse comprimento pode ser relacionado com a deformação de cisalhamento γ, considerando a geometria do elemento deformado.
 Para obter as relações geométricas necessárias, considere o triângulo abd (Figura 18c), que representa a metade do losango ilustrado na Figura 18b. 
 O lado bd desse triângulo tem comprimento Lbd e os outros lados têm comprimento h.
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(a)
Relação entre os Módulos de Elasticidade E e G
 O ângulo adb do triângulo é igual à metade do ângulo adc do losango, ou π/4 – γ/2. O ângulo abd no triângulo é o mesmo.
 Por isso, o ângulo dab do triângulo é igual a π/2 + γ. Usando a lei dos cossenos para o triângulo abd, obtemos:
			 L2bd = h2 + h2 – 2h2 cos (τ/2 + γ )
Substituindo para Lbd da equação (a) e simplificando, obtemos:
			(1 + εmax)2 = 1 – cos (τ/2 + γ)
Expandindo o termo na lado esquerdo e também observando que cos (π/2 + γ) = - sen γ, obtemos:
			1 + 2εmax + ε2max = 1 + sen γ
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Relação entre os Módulos de Elasticidade E e G
 Como εmax e γ são deformações bem pequenas, podemos desconsiderar ε2max em comparação com 2εmax e podemos subtituir sen γ por γ. A expressão resultante é: 
			 εmax = γ/2
 A deformação de cisalhamento γ aparecendo na equação (b) igual a τ/G pela lei de Hooke e a deformação normal εmax é igual a τ(1+ν)/E. Fazendo ambas as substituições na equação (b), temos: 
				G = E/ 2(1+ ν)
 Vemos que E, G e ν não são propriedades independentes de um material elástico linear.
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(b)
Relação entre os Módulos de Elasticidade E e G
3.6. Tubos de Paredes Finas
 A teoria de torção descrita nas seções anteriores é aplicável a barras sólidas ou vazadas de seção transversal circular.
 Seções circulares são as mais eficazes para resistir à torção e, consequentemente, são as mais usadas normalmente.
 Em estruturas leves, como aeronaves e veículos espaciais, os membros tubulares de paredes finas com seções transversais não circulares são exigidos com frequência para resistir a torção. 
 Para obter fórmulas aplicáveis a uma variedade de formas, vamos considerar um tubo de parede fina de seção transversal arbitrária ( 3.19a).
 O tubo cilíndrico em forma, isto é, todas as seções transversais são idênticas e o eixo longitudinal é uma linha reta.
 A espessura t da parede não é necessariamente constante, mas pode variar ao longo da seção transversal.
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40
41
Figura 3.19
Tubos de Paredes Finas
 As tensões de cisalhamento τ agindo sobre uma seção transversal do tubo ilustrado na Figura 3.19b, que mostra um elemento do tubo situado entre duas seções transversais que estão a uma distância dx.
 Essas tensões agem paralelamente às fronteiras da seção transversal e ´´fluem´´ ao longo da seção transversal.
 A intensidade das tensões varia tão ligeiramente através da espessura do tubo que podemos assumir que τ é constante nessa direção.
 Para determinar a magnitude das tensões de cisalhamento, vamos considerar um elemento retangular abcd obtido fazendo-se dois cortes longitudinais ab e cd (Figura 19a e b).
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Tubos de Paredes Finas
# Tensões de Cisalhamento e Fluxo de Cisalhamento
 Esse elemento está isolado como um corpo livre na Figura 3.19c. Agindo na face transversal bc estão as tensões de cisalhamento τ mostradas na Figura 3.19b.
 Assumimos que essas tensões variam em intensidade à medida que nos movemos ao longo da seção transversal de b até c; por isso, a tensão de cisalhamento em b está denotada por τb e a tensão em c está denotada por τc.
 Como sabemos a partir das condições de equilíbrio, tensões de cisalhamento idênticas agem no sentido oposto na face transversal oposta ad, e tensões de cisalhamento de mesma magnitude também agem nas faces longitudinais ab e cd.
 Dessa forma, as tensões de cisalhamento constantes agindo nas faces ab e cd são iguais a τb e τc.
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Tubos de Paredes Finas
 As tensões agindo nas faces longitudinais ab e cd produzem forças Fb e Fc (Figura 3.19d). Essas forças são obtidas multiplicando as tensões pelas áreas em que elas agem:
		Fb = τbtbdx		 Fc = τctcdx
Em que tb e tc representam as espessuras do tubo nos pontos b e c, respectivamente (Figura 3.19b).
 Além disso, forças F1 são produzidas por tensões agindo nas faces bc e ad. Do equilíbrio do elemento na direção longitudinal (direção x) vemos Fb = Fc ou:
	 	τbtb = τctc
 O produto da tensão de cisalhamento τ pela espessura do tubo t, é conhecido como fluxo de cisalhamento e é denotado pela letra f:
			
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Tubos de Paredes Finas
			
				f = τt = constante
 Esta relação mostra que a maior tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura do tubo é menor e vice-versa. Em regiões em que a espessura é constante, a tensão de cisalhamento é constante.	
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Tubos de Paredes Finas
 Relacionar o fluxo de cisalhamento f ao torque T agindo no tubo. Para este fim, vamos examinar a seção transversal do tubo, como ilustrado na Figura 3.20.	
 A linha média da parede do tubo está representada como uma linha tracejada na figura. Consideramos um elemento de área de comprimento ds e espessura t.
# Fórmula de Torção para Tubos de Paredes Finas 
Figura 3.20
 A distância s, definindo a localização do elemento, é medida ao longo da linha média a partir de algum ponto de referência arbitrariamente escolhido.
 A força cortante total agindo no elemento de área é fds, e o momento dessa força sobre qualquer ponto O dentro do tubo é:
			 dT = rfds
Em que r é a distância perpendicular do ponto O até a linha de ação da força fds. O torque total T produzido pelas tensões de cisalhamento é obtido integrando-se ao longo da linha média da seção transversal:
 
Em que Lm denota o comprimento da linha média.
			
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(a)
Tubos de Paredes Finas
 A quantidade rds representa duas vezes a área do triângulo sombreado ilustrado na Figura 3.20. Por isso a integral representa duas vezes a área Am envolvida pela linha média da seção transversal: 
 Segue da Equação (a) que T = 2fAm, e por isso o fluxo de cisalhamento é:
 Agora podemos eliminar o fluxo de cisalhamento f entre as Equações 3.59 e 3.60 e obter a fórmula de torção para tubos de paredes finas: 
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(b)
Tubos de Paredes Finas
 O ângulo de torção ϕ para um tubo de paredes fina de seção transversal arbitrária (Figura 3.21) pode ser determinado igualando o trabalho W realizado pelo torque aplicado T à energia de deformação U do tubo. Dessa forma:
		 w = U ou Tϕ/2 = T2L/2GJ
Do qual obtemos a equação para o ângulo de torção:
			 ϕ = TL/GJ
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 Novamente observamos que a equação tem a mesma forma que a equação correspondente para uma barra circular, mas com o momento de inércia polar substituído pela constante de torção. 
 A quantidade GJ é chamada de rigidez 
de torção do tubo.
Figura 3.21
Tubos de Paredes Finas
# Ângulo de Torção
 Exercício de aula 4) Um tubo circular e um tubo quadrado são constituídos do mesmo material e submetidos ao mesmo torque. Ambos os tubos têm mesmo comprimento, mesma espessura de parede e mesma área de seção transversal. 
 Quais são as razões de suas tensões de cisalhamento e ângulos de torção?
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