Mecânica e Resistência de Materiais II Cap. I

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Mecânica e Resistência de Materiais II
Prof. André Cechin Garay, MSc.
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Unidade I 
 Introdução à Mecânica dos Materiais
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1.1- Introdução à Mecânica dos Materiais
 A Mecânica dos materiais, mecânica dos corpos deformáveis ou resistência dos materiais é um ramo da mecânica aplicada que lida com o comportamento de corpos sólidos sujeitos a diversos tipos de carregamento. 
 Os corpos sólidos considerados incluem barras com carregamentos axiais, eixos em torção, vigas em flexão e colunas em compressão. 
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 O principal objetivo da mecânica dos materiais é determinar as tensões, deformações e deslocamentos em estruturas e seus componentes devido à ação de cargas sobre eles. 
 Se pudermos determinar essas quantidades para todos os valores das cargas, até as que causam falha, teremos uma noção completa do comportamento mecânico dessas estruturas.
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 O entendimento do comportamento mecânico é essencial para o projeto seguro de todos os tipos de estruturas, como aviões e antenas, prédios e pontes, máquinas e motores ou navios e espaçonaves. 
 A estática e a dinâmica são também essenciais, mas esses assuntos lidam, principalmente, com as forças e movimentos associados com partículas e corpos rígidos.
 Na Mecânica dos Materiais vamos um passo além, ao examinar tensões e deformações dentro de corpos reais, isto é, corpos de dimensões finitas que deformam sob cargas. Para determinar as tensões e as deformações, usamos as propriedades físicas dos materiais, bem como várias leis teóricas e conceitos técnicos. 
 Ao estudar a mecânica dos materiais, você perceberá que seus esforços são divididos naturalmente em duas partes: 
 O entendimento do desenvolvimento lógico dos conceitos e, 
 Na segunda, a aplicação desses conceitos em situações práticas.
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 Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, o efeito produzido é diferente segundo a direção e sentido e ponto de aplicação destas forças. 
 Os efeitos provocados neste corpo podem ser classificados em esforços normais ou axiais, que atuam no sentido do eixo de um corpo, e em esforços transversais, atuam na direção perpendicular ao eixo de um corpo. 
 Entre os esforços axiais temos a tração, a compressão e a flexão, e entre os transversais, o cisalhamento e a torção.
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1.2- Tensão e Deformação Normais
 Os conceitos fundamentais na mecânica dos materiais são tensão e deformação. Esses conceitos podem ser ilustrados em suas formas mais elementares considerando uma barra prismática sujeita a força axiais. 
 Uma barra prismática é um membro estrutural reto, com a mesma seção transversal ao longo de seu comprimento, e uma força axial é uma carga direcionada ao longo do eixo do membro, resultando em tração e compressão na barra. 
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 Exemplos são mostrados na Fig. 1, em que a barra de reboque é um membro prismático em tração e o suporte de trem de pouso é um membro em compressão. Outros exemplos: barra de conexão de um motor de automóvel, raios de rodas de bicicleta, colunas em prédios. 
Figura 1
 As ações na barra são expostas se fizermos um corte imaginário através da barra na seção mm (Fig. 2 c). Como essa seção é tomada perpendicularmente ao eixo longitudinal da barra, é chamada de seção transversal.
 
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 Isolando a porção da barra à esquerda da seção transversal mm como um corpo livre (Fig. 2d). Na extremidade direita desse corpo livre (seção mm), mostramos a ação da porção removida da barra sobre a parte remanescente
 Essa ação consiste em tensões distribuídas de forma contínua agindo sobre toda a seção transversal e a força axial P atuando na seção transversal é resultante dessas tensões.
Figura 2
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 A tensão é dada em unidades de força por unidades de área e é referida pela letra grega σ. Genericamente, as tensões σ que atuam em uma superfície plana podem ser uniformes por toda a área ou podem variar em intensidade de um ponto para outro. 
 Admitamos que as tensões que atuam sobre a seção transversal mm (Fig. 2d) estão uniformemente distribuídas sobre a área. 
 Então a resultante dessas tensões deve ser igual à magnitude da tensão multiplicada pela área da seção transversal A da barra, ou seja, P = σA. Então obtemos a seguinte expressão para a magnitude das tensões:
Essa equação fornece a intensidade de tensão uniforme em uma barra prismática, carregada axialmente e de seção transversal arbitrária.
 
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σ = P
 A
Equação (1)
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 Tensões de tração: quando a barra é esticada pelas forças P.
 Tensões de compressão: as forças têm seus sentidos invertidos, fazendo com que a barra seja comprimida. 
 Visto que as tensões agem em uma direção perpendicular à superfície de corte, são chamadas de tensões normais.
 Quanto a convenção de sinais é necessária para tensões normais, é comum definir as tensões de tração como positivas e as tensões de compressão negativas.
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P
P
P
P
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 Como a tensão normal σ é obtida dividindo a força axial pela área da seção transversal, ela tem unidades de força por unidade de área. Em unidades SI, a força é expressa em newtons (N) e a área em metros quadrados (m2). Consequentemente, a tensão tem unidades de newtons por metro quadrado (N/m2), isto é, Pascals (Pa).
 LIMITAÇÕES: A equação σ = P/A é válida somente se a tensão estiver uniformemente distribuída sobre a seção transversal da barra. Essa condição é realizada se a força agir através do centroide da área da seção transversal.
 A condição de tensão uniforme representada na Fig. 2d existe ao longo de todo o comprimento da barra, exceto próximo às extremidades. A distribuição de tensão na extremidade de uma barra depende de como a carga é transmitida para a barra. 
 É usual a tensão ser transmitida através de um pino ou parafuso, produzindo altas tensões localizadas chamadas de concentrações de tensão. 
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# DEFORMAÇÃO NORMAL:
 A barra reta mudará de comprimento quando carregada axialmente, tornando-se mais comprida quando em tração e mais curta quando em compressão. 
 Em geral, o alongamento de um segmento é igual ao seu comprimento dividido pelo comprimento total L e multiplicado pelo alongamento total δ. Por isso, uma unidade de comprimento da barra terá uma alongamento igual a 1/L vezes δ. Essa quantia é chamada de alongamento por unidade de comprimento, ou deformação, e é denotada pela letra grega ε. A deformação é dada pela equação:
 ε = δ
 L 
 Se a barra está em tração, a deformação é chamada de deformação de tração (+), representando um alongamento ou estiramento do material. 
 Se a barra está em compressão, a deformação é denominada deformação de compressão (-) e a barra encurta.
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Equação (2)
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 Como a deformação normal é a razão entre dois comprimentos, ela é uma quantidade adimensional, não tem unidades. Valores numéricos de deformação são usualmente muito pequenos, porque barras feitas de materiais estruturais sofrem apenas pequenas mudanças no comprimento quando carregadas.
# DEFORMAÇÃO E TENSÃO UNIAXIAIS
 As definições de tensão normal e deformação normal são baseadas puramente em considerações estática e geométrica, o que significa que as equações (1) e (2) podem ser usadas para cargas de qualquer magnitude e para qualquer material.
 A principal exigência é que a deformação da barra seja uniforme ao longo de seu volume que, por sua vez, exige que a barra seja prismática, que as cargas ajam através de centroides das seções transversais e que o material seja homogêneo. O estado resultante de tensão e deformação é denominado deformação e tensão uniaxial.
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# LINHA DE AÇÃO DE FORÇAS AXIAIS PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO UNIFORME
 Até agora assumimos que a tensão normal σ estava distribuída uniformemente sobre a seção transversal. Agora demonstraremos que essa condição é atingida se a linha de ação das forças axiais agir através do centróide
da área da seção transversal.
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 Considere uma barra prismática, de seção transversal arbitrária, submetida a forças axiais P que produzem tensões distribuídas uniformes σ (Fig. 3a). Seja p1 o ponto na seção transversal onde a linha de ação das forças intercepta a seção transversal (Fig. 3b) 
Figura 3
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 Definimos um conjunto de eixos xy no plano da seção transversal e denotamos as coordenadas do ponto p1 por x e y. Para determinar essa coordenadas, devem ser iguais aos momentos correspondentes das tensões uniformemente distribuídas. 
Os momentos da força P são:
 Mx = P y My = - P x
Em que um momento é considerado positivo quando se vetor age na direção positiva do eixo correspondente.
 Os momentos das tensões distribuídas são obtidos integrando-se sobre a área da seção transversal A. A força diferencial agindo em um elemento de área dA (Fig. 3b) é igual a σdA. Os momentos dessa força elementar sobre os eixos x e y são σydA e σxdA, respectivamente, nos quais x e y denotam as coordenadas do elemento dA. Os momentos totais são obtidos integrando-se sobre a área de seção transversal:
 Mx = ʃ σydA My = - ʃ σxdA 
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(a,b)
(c,d)
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 Agora, igualamos os momentos Mx e My causados pela força força P (Eq. a e b) como os momentos obtidos das tensões distribuídas (Eq. c e d).
 Py = ʃ σydA Px = - ʃ σxdA 
 Como as tensões são uniformemente distribuídas, sabemos que elas são constantes sobre a área da seção transversal A e podem ser colocadas fora do sinal de integração. Sabemos também que σ é igual P/A. Portanto obtemos as seguintes fórmulas para as coordenadas do ponto p1:
 y = ʃ ydA x = ʃ xdA
 A A
 Essas equações são as mesmas que definem as coordenadas do centroide de uma área. 
 
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 Para haver tração ou compressão uniforme em uma barra prismática, a força axial deve agir através do centroide da área da seção transversal.
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- Exercício de aula 1: Um poste curto, construído de um tubo circular vazado de alumínio, suporta uma carga de compressão de 240 kN. Os diâmetros interno e externo do tubo são d1 = 90 mm e d2 = 130 mm, respectivamente, e seu comprimento é 1 m. O encurtamento do poste devido à carga é medido como 0,55 mm. Determine a tensão e a deformação de compressão do poste.
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- Exercício de aula 2: Uma haste circular de aço de comprimento L e diâmetro d é pendurada em um poço e segura um balde de minério de peso W na sua extremidade inferior.
 Obtenha uma fórmula para a tensão máxima σMáx. na haste, levando em conta o peso próprio da haste.
b) Calcule a tensão máxima se L = 40 m, d =8 mm e W = 1,5 kN.
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1.3. Propriedades Mecânicas dos Materiais
 Será mostrado como a tensão pode ser relacionada com a deformação por meio de métodos experimentais capazes de determinar o diagrama tensão-deformação para um materiais específico.
 O comportamento descrito por esse diagrama será discutido para materiais comumente utilizados na engenharia.
 Discutiremos também propriedades mecânicas e outros ensaios relacionados com o desenvolvimento da resistência dos materiais.
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Objetivos do capítulo
 P. M. dos Materiais
 Para que seja feito corretamente um projeto de máquinas ou estruturas é necessário que se entenda o comportamento mecânico dos materiais que estão sendo usados.
 Comumente a única maneira de determinar como os materiais se comportam quando submetidos a cargas é executar experimentos em laboratórios. 
 O procedimento usual é colocar pequenos corpos de prova do material em máquinas de teste aplicar as cargas e então medir as deformações resultantes.
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 Uma máquina de teste de tração típica é mostrada na Fig. 4. O corpo de prova é colocado entre as duas garras grandes na máquina de teste e então carregado em tração. Sistemas de processamento de dados tabelam e registram graficamente os resultados.
Figura 4
 Um visão mais detalhada do corpo de prova de teste de tração é ilustrado na Fig. 6. As extremidades do corpo de prova circular são aumentadas onde elas se encaixam nas garras, de forma que a falha não ocorra próximo às garras.
 Uma falha nas extremidades não produziria a informação desejada sobre o material porque a distribuição de tensão próximo às garras não é uniforme.
 
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 Em um corpo projetado corretamente, a falha ocorrerá na porção prismática do corpo de prova onde a te distribuição de tensão é uniforme e a barra é submetida apenas à tração pura. 
O Extensômetro mede o alongamento durante o carregamento.
Figura 5
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 Para que os resultados dos testes sejam comparáveis, as dimensões dos corpos de teste e os métodos de aplicação das cargas devem ser padronizados.
 
 No Reino Unido uma das maiores organizações é British Standards Institution. Nos EUA, a American Society for Testing and Materials (ASTM) publica especificações e padrões para materiais e testes. Outros organizações de padronização são a American Standards Association (ASA) e o National Institute of Standards and Technology (NIST). No Brasil existe a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas).
 
Figura 6
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 Quando o corpo de prova é puxado, a carga axial é medida e registrada automaticamente pela leitura de um mostrador.
 O alongamento sobre o comprimento-padrão é medido simultaneamente por medidores mecânicos do tipo mostrado na Fig. 5 ou medidores de deformação por resistência elétrica. 
# Teste de Compressão: em metais por exemplo são feitos em pequenos corpos de prova na forma de cubos ou cilindros circulares. Tanto a carga quanto o encurtamento do corpo de prova podem ser medidos. 
 
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 O encurtamento deve ser medido sobre um comprimento padrão menor que o comprimento total do corpo de prova para eliminar os efeitos da extremidade.
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 O concreto é testado na compressão em todos os projetos de construção importantes para assegurar que a resistência requerida foi obtida. Um corpo de prova de concreto padrão tem diâmetro de 152 mm, comprimento de 305 mm e 28 dias de idade. Corpos de prova similares, mas de alguma forma menores, são usados quando se realizam testes de compressão em rochas.
# Diagramas de Tensão-Deformação: 
 Os resultados dos testes geralmente dependem das dimensões do corpo de prova sendo testado. Uma vez que é impossível que projetemos estruturas com partes do mesmo tamanho que os corpos de prova, é preciso expressar os resultados dos testes de forma que possam ser aplicados a membros de qualquer tamanho. Um modo simples de atingir esse objetivo é converter os resultados dos testes em tensões e deformações.
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 A tensão axial σ em um corpo de prova é calculada dividindo a carga axial P pela área de seção transversal A (Eq. 1). Quando a área inicial do corpo de prova é usada nos cálculos, a tensão é chamada de tensão nominal. 
 Um valor maior que a tensão axial, chamado tensão verdadeira, pode ser calculado usando a área real da barra na seção transversal onde a falha ocorre. Uma vez que a área real em um teste de tração é sempre menor que a área inicial, a tensão verdadeira é maior que a tensão nominal. 
 A deformação axial média ε no corpo de prova é encontrada dividindo-se o alongamento medido δ entre as marcas de medida pelo comprimento padrão L (Eq. 2). Se o comprimento inicial for usado no cálculo, então a deformação nominal é obtida.
 Como a distância entre as marcas de medida aumenta enquanto a carga de tração é aplicada,
podemos calcular a deformação verdadeira em qualquer valor de carga usando a distância real entre as marcas medida.
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 Em tração, a deformação verdadeira é sempre menor que a deformação nominal. Entretanto, para a maioria das aplicações da engenharia, a tensão nominal e a deformação nominal são adequadas. 
 Após executar um teste de tração ou compressão e determinar a tensão e a deformação em várias magnitudes da carga, podemos criar um diagrama de tensão versus deformação. O diagrama de tensão-deformação é uma característica do material em particular sendo testado e contém informação importante sobre as propriedades mecânicas e o tipo de comportamento.
 O primeiro material que iremos discutir é o aço estrutural (aço mole ou aço de baixo teor de carbono), é um dos metais mais amplamente utilizados e é encontrado em prédios, pontes, guindastes, navios, torres, veículos e outros tipos de construção.
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 Diagrama de tensão-deformação para um aço estrutural típico em tração. As deformações são mostradas no eixo horizontal, e as tensões no eixo vertical.
 A linha reta da origem até o ponto A, quer dizer que a relação entre tensão e deformação nessa região inicial não é apenas linear, mas também proporcional.
 A tensão em A é chamada de limite de proporcionalidade (210 a 350 MPa)
 A inclinação da linha de O até A é chamada de módulo elasticidade.
 Com o aumento na tensão além do limite de proporcionalidade, a deformação começa a aumentar mais rapidamente para cada incremento de tensão. A curva de tensão-deformação tem uma inclinação cada vez menor até, no ponto B, a curva começa a ficar horizontal. Começando nesse ponto, um alongamento considerável do corpo de prova ocorre sem um aumento notável da força de tração (de B até C). B é chamado de ponto de escoamento.
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 Na região entre B e C, o material fica perfeitamente plástico, o que significa que ele se deforma sem um aumento na carga aplicada. 
 Após passar pelas grandes deformações que ocorrem durante o escoamento na região BC, o aço começa a recuperação (encruamento).
 Durante a recuperação, o material passa por mudanças em sua estrutura cristalina, resultando em um aumento da resistência do material para mais deformação. O alongamento do corpo de prova nessa região exige um aumento na carga de tração, e por isso o diagrama de tensão-deformação tem uma inclinação positiva de C até D. 
 A carga em dado momento atinge seu valor máximo, e a tensão corresponde (no ponto D) é chamada de tensão normal máxima.
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 Um maior estiramento da barra é na verdade acompanhado por uma redução na carga, e a fratura finalmente ocorre em um ponto tal como E.
 A tensão de escoamento e a tensão normal máxima do material são também chamadas de resistência de escoamento e resistência máxima.
 Resistência: é um termo genérico que se refere à capacidade de um estrutura de resistir a carga (carga de falha).
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 Quando um corpo de prova é estirado, uma contração lateral ocorre, como mencionado anteriormente. A diminuição resultante na área da seção transversal é pequena demais para ter um efeito observável nos valores calculados da tensões até próximo ao ponto C, mas além desse ponto de redução na área começa a alterar o formato da curva.
 Nas vizinhanças da tensão normal máxima, a redução na área da barra fica claramente visível e uma pronunciada estricção da barra ocorre. (Fig. 7).
 Se a área da seção transversal real na parte mais estreita da estricção for usada para calcular a tensão, a curva real de tensão-deformação (a linha tracejada CE´) é obtida.
 
Figura 7
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 A carga total que a barra pode suportar de fato diminui depois que a tensão máxima é atingida (como mostrado pela curva DE), mas essa redução é devida à diminuição na área da barra e não a uma perda na resistência do material.
 Na realidade, o material sustenta uma aumento na tensão verdadeira até a fratura (ponto E´). 
 Como é esperado que a maioria das estruturas funcione em tensões abaixo do limite de proporcionalidade, a curva convencional de tensão-deformação OABCDE, que é baseada na área de seção transversal original do corpo de prova e é fácil de ser determinada, fornece informações satisfatória para uso em projetos de engenharia.
 Metais como o aço estrutural, que sofrem grandes deformações permanentes antes da fratura são chamados de dúcteis. Por exemplo, a ductibilidade é a propriedade que possibilita a uma barra de aço ser dobrada em um arco circular ou ser esticada até um fio quebrar.
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 Uma característica desejável de materiais dúcteis é que ocorram distorções visíveis se as cargas ficarem grande demais, fornecendo dessa forma uma oportunidade de tomar ações corretivas antes que ocorra uma fratura real. Materiais que possuem comportamento dúctil também são capazes de absorver grandes quantidades de energia de deformação antes de fraturar.
 # Fratura: é a separação ou fragmentação de um corpo sólido em duas ou mais partes, sob ação de uma tensão.
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 # Fratura dúctil: apresenta apreciável deformação plástica antes e durante a propagação da trinca.
 # Fratura frágil: rápida propagação da trinca; nenhuma deformação macroscópica; pequena microdeformação.
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 As propriedades físicas do aço são também afetadas pelo tratamento térmico, pela presença de outros materiais e por processos de manufatura como laminação.
 Outros materiais que se comportam de maneira dúctil (sob certas condições) incluem o alumínio, cobre, magnésio, chumbo, níquel, latão, bronze, náilons e teflon.
 O aço estrutural é uma liga de ferro contendo cerca de 0,2% de carbono e por isso é classificado como um aço de baixo teor de carbono. Ao aumentar a quantidade de carbono o aço torna-se menos dúctil, porém mais forte (maior tensão de escoamento e maior tensão normal máxima). 
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 Além do limite de proporcionalidade, o comportamento depende do tipo de borracha. Alguns tipos de borracha mole podem estirar bastante sem falhar, atingindo várias vezes o seu comprimento original.
 O material eventualmente oferece resistência cada vez maior à carga, e a curva de tensão deformação desloca-se para cima de forma marcante. A borracha não é um material dúctil, porque as deformações não são permanentes, é uma material elástico. 
 A borracha mantém uma relação linear entre a tensão e deformação até deformações relativamente grandes (quando comparada a metais). A deformação no limite de proporcionalidade pode ser tão grande quanto 0,1 ou 0,2 (10% ou 20%). 
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 A ductibilidade de um material em tração pode ser caracterizada pelo seu alongamento e pela redução na área de seção transversal onde a fratura ocorre. O alongamento percentual é definido como se segue:
 Alongamento percentual = L1 – L0
 L0
em que L0 é o comprimento de medição original e L1 é a distância entre as marcas de medição na fratura. Como o alongamento não é uniforme sobre o comprimento do corpo de prova, mas concentrado na região de estricção, o alongamento percentual depende do comprimento de medição. 
 A redução percentual na área mede a quantia de estricção que ocorre e é definida a seguir: 
 Alongamento percentual = A0 – A1
 A0
 A0 é a área de seção transversal original e A1 é a área na seção da fratura.
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 Materiais que falham em tração em valores relativamente baixos de deformação classificados como frágeis. Exemplos concreto, pedra, ferro fundido, vidro, cerâmica e uma variedade
de ligas metálicas. 
 Materiais frágeis falham com apenas um pequeno alongamento após o limite de proporcionalidade ser excedido. Além disso, a redução na área é insignificante e, dessa forma, a tensão de fratura nominal é a mesma que a tensão normal máxima real. 
 su: tensão última (máxima tensão que se atinge).
 sR: tensão de ruptura (tensão que, se atingida, provoca a ruptura do material).
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 O vidro comum é um material frágil quase ideal porque exibe quase nenhuma ductibilidade. A curva tensão-deformação para o vidro em tração é essencialmente um reta, com a falha ocorrendo antes que qualquer escoamento aconteça. 
 Muitos plásticos são usados para fins estruturais por causa do seu pequeno peso, resistência à corrosão e boas propriedades de isolantes elétricos. Sua propriedades mecânicas variam tremendamente, com alguns plásticos sendo frágeis e outros dúcteis. 
 # Compressão: As curvas de tensão-deformação para materiais em compressão diferem daquelas para tração. Metais dúcteis, tais como aço, alumínio e cobre, têm limites de proporcionalidade muito próximos daqueles de tração, e as regiões iniciais dos seus diagramas tensão-deformação em tração e compressão são aproximadamente as mesmas.
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 Entretanto, depois que o escoamento começa, o comportamento é totalmente diferente. Em um teste de tração, o corpo de prova é esticado, a estricção pode ocorrer, e por último acontece a fratura.
 Quando material é comprimido, seus lados são abaulados para fora e tomam uma forma de barril, porque o atrito entre o corpo de prova e as placas nas extremidades previnem a expansão lateral. 
 Aumentando a carga, o corpo de prova é achatado e oferece uma resistência bastante aumentada a encurtamento posteriores. 
 Como a área de seção transversal real de um corpo de prova testado em compressão é maior que a área inicial, a tensão verdadeira em teste de compressão é menor que a tensão nominal.
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 Materiais frágeis carregados em compressão tipicamente têm uma região linear seguida por uma região em que o encurtamento aumenta a uma taxa levemente maior que a da carga.
 Diferente dos materiais dúcteis, que achatam quando são comprimidos, os materiais frágeis realmente se quebram na carga máxima.
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1.4. Elasticidade, Plasticidade e Fluência
 Vamos considerar agora o que acontece quando a carga é removida e o material é descarregado.
 Exemplo, apliquemos uma carga a um corpo de prova em tração, de forma que a tensão e a deformação vão da origem O ao ponto A na curva de tensão-deformação da Fig. 8. Suponha ainda que, quando a carga é removida, o material siga exatamente a mesma curva de volta à origem O.
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 Essa propriedade de um material, pela qual ela retorna às suas dimensões originais após o descarregamento, é chamada de elasticidade, e o material é considerado elástico. 
 Note que a curva de tensão-deformação de O até A não precisa ser linear para que seja elástico.
Figura 8
 Agora suponha que carreguemos esse mesmo material com maior intensidade, de forma que o ponto B seja atingido na curva de tensão-deformação Fig. 9. Quando ocorre o descarregamento do ponto B, o material segue a linha BC do diagrama. 
 Quando o ponto C é atingido, a carga foi totalmente removida, mas a deformação residual, ou de deformação permanente, representada pela linha OC, permanece no material. Como consequência a barra sendo testada torna-se mais longa do que era antes do carregamento. Esse alongamento residual da barra é chamado de assentamento permanente.
 Da deformação total OD desenvolvida durante o carregamento de O até B, a deformação CD foi elasticamente recuperada e a deformação OC permanece com deformação permanente. Material é considerado parcialmente elástico.
Figura 9
Elasticidade, Plasticidade e Fluência
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 A característica de um material pela qual ele sofre deformações inelásticas além de deformações no limite elástico é conhecida com plasticidade. Dessa forma, na curva de tensão-deformação da Fig. 9, temos uma região elástica seguida por uma região plástica. 
 Quando grandes deformações ocorrem em um material dúctil carregado na região plástica, dizemos que o material sofreu uma deformação plástica.
Elasticidade, Plasticidade e Fluência
# Recarregamento de um Material
 Se o material permanecer dentro do intervalo elástico, ele pode ser carregado, descarregado e carregado novamente sem mudança significativa do seu comportamento. 
 Entretanto, quando carregado no intervalo plástico, a estrutura interna do material é alterada e suas propriedades mudam.
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 Materiais quando carregados por longos períodos de tempo, alguns materiais desenvolvem deformações adicionais e dizemos que eles fluem. 
 Esse fenômeno pode se manifestar sob diversas formas. Por exemplo, suponha que uma barra vertical (Fig. 10) é lentamente carregada por uma força P, produzindo um alongamento igual a δ0. 
 Assumindo que o carregamento e o alongamento correspondente ocorram durante um intervalo de tempo t0. Subsequente ao tempo t0, a carga permanece constante.
 Devido à fluência, a barra pode aumentar seu comprimento gradualmente, como mostrado, mesmo que a carga não se modifique.
Figura 10
Elasticidade, Plasticidade e Fluência
 # Fluência
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 A fluência é usualmente mais importante em altas temperaturas que em temperaturas comuns e por isso deve ser considerada em projetos de motores, caldeiras e outras estruturas que operam em temperaturas elevadas por longos períodos de tempo. 
 Entretanto, materiais como aço, concreto e madeira fluem ligeiramente mesmo em temperaturas atmosféricas. 
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1.5. Elasticidade Linear, Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson
 Alguns materiais comportam-se elástica e linearmente quando inicialmente carregados. Consequentemente, suas curvas de tensão-deformação começam com uma reta passando através da origem. 
 Exemplo é a curva de tensão-deformação para aço estrutural, onde a região da origem O ao limite de proporcionalidade (ponto A) é linear e elástica.
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 Quando um material comporta-se elasticamente e também exibe uma relação linear entre tensão e deformação, é chamado de elástico linear. 
 Esse tipo de comportamento é extremamente importante em engenharia, em projetos de estruturas e máquinas que funcionem nessa região, evitamos deformações permanentes devido ao escoamento. 
# Lei de Hooke
 A relação linear entre tensão e deformação para uma barra em tração ou compressão simples é expressa pela equação:
 σ = E ε
em que σ é a tensão axial, ε é a deformação axial e E é uma constante de proporcionalidade conhecida com módulo de elasticidade do material. 
 O módulo de elasticidade é a inclinação do diagrama de tensão-deformação na região elástica linear. 
 A equação σ = E ε é usualmente chamada Lei de Hook, em homenagem ao famoso cientista inglês Robert Hook (1635-1703). Hooke foi o primeiro a investigar cientificamente as propriedades elásticas dos materiais. 
 O módulo de elasticidade tem valores relativamente altos para materiais muito rígidos, como metais estruturais. Materiais mais flexíveis têm um módulo mais baixo. 
Em 1676 expressou: "a tensão resultante da aplicação de uma força em um material é diretamente proporcional à sua deformação". Esta expressão ficou conhecida como Lei de Hooke.
Elasticidade Linear, Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson
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 O módulo de elasticidade é geralmente denominado de módulo de Young devido a outro cientista inglês, Thomas Young (1773-1829). Em conexão com uma investigação de tração e compressão de barras prismáticas, Young introduziu a ideia de um ´´módulo de elasticidade´´. 
# Coeficiente de Poisson
 Quando uma barra prismática é carregada em tração, o alongamento axial é acompanhado por contração lateral.
 A deformação lateral ε´ em
qualquer ponto na barra é proporcional à deformação axial ε no mesmo ponto se o material é linearmente elástico. 
 A razão dessas deformações é uma propriedade do material conhecida como coeficiente ou razão de Poisson. Esse coeficiente adimensional, usualmente denotado pela letra grega ν (nu), pode ser expresso pela equação: 
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O sinal negativo foi inserido na equação para compensar o fato de que as deformações lateral e axial normalmente têm sinais contrários.
 Quando o coeficiente de Poisson para um material é conhecido, podemos obter a deformação lateral a partir da deformação axial da seguinte forma: 
 ε´ = -ν ε 
 Quando usamos as equações acima. Devemos sempre ter em mente que elas se aplicam apenas a uma barra em tensão uniaxial, isto é, uma barra para qual a única tensão é a normal σ na direção axial.
 
Figura 11
ν = - deformação lateral = ε´
 deformação axial ε
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 # Limitações
 Para determinado material, o coeficiente de Poisson permanece constante ao longo do intervalo elástico linear. Por isso, em qualquer ponto dado na barra prismática da Fig. 11 a deformação lateral permanece proporcional à deformação axial quando a carga aumenta ou diminui.
 O material deve ser homogêneo, isto deve ter a mesma composição em todos os pontos. 
 As propriedades elásticas devem ser as mesmas em todas as direções perpendiculares ao eixo longitudinal. 
 Materiais que possuem as mesmas propriedades em todas as direções são chamados de isotrópicos. Se as propriedades diferem em várias direções, o material é anisotrópico.
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 Exercício de aula 3: Um cano de aço de comprimento L = 1,2 m, diâmetro externo d2 = 150 mm e diâmetro interno d1 = 110 mm é comprimido por uma força axial P = 620 kN. O material tem módulo de elasticidade E = 200 GPa e coeficiente de Poisson ν = 0,30. Determine as seguintes quantidades para o tubo: (a) o encurtamento δ, (b) a deformação lateral ε´, (c) o aumento Δd2 no diâmetro externo e o aumento Δd1 no diâmetro interno e (d) o aumento Δt na espessura da parede. 
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 Exercício de aula 4: Um ensaio de tração para um aço-liga resultou no diagrama tensão-deformação mostrado na figura abaixo. Calcule o módulo de elasticidade e o limite de escoamento com base em uma deformação residual de 0,2 %. Identifique no gráfico o limite de resistência e a tensão de ruptura.
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 Exercício de aula 5: Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas na Figura abaixo. Se uma força axial P = 80 KN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da carga. O material comporta-se elasticamente. ( Aço A-36, Eaço = 200 GPa, νaço = 0,32 ).
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1.6.Tensão e Deformação de Cisalhamento
 Vamos considerar uma tensão chamada de tensão de cisalhamento, que age tangencialmente à superfície do material. 
 Como ilustração da ação de tensões de cisalhamento, considere a conexão parafusada mostrada na Fig. 12. Essa conexão consiste em uma barra achatada A, uma junta C e um parafuso B que passa através dos buracos na barra e na junta. 
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 Sob a ação de forças de tração P, a barra e a junta pressionarão o parafuso, e as tensões de contato, chamadas de tensões de esmagamento, serão criadas.
 A barra e a junta tendem a cisalhar o parafuso, isto é, cortá-lo, e essa tendência é resistida por tensões de cisalhamento no parafuso. Como exemplo, considere o suporte de uma passarela de pedestres elevada mostrado na fotografia. 
Figura 12
 Agora considere as tensões de esmagamento entre a barra achatada e o parafuso (as tensões chamadas de 2). Para essas tensões , a área de contato Ab é um retângulo com altura igual à espessura da barra achatada e a largura é igual ao diâmetro do parafuso. A força de contato corresponde Fb é igual à carga P.
 O diagrama de corpo livre da Fig. d, mostra que existe uma tendência de cisalhar o parafuso ao longo das seções transversais mn e pq. A partir de um diagrama de corpo livre da porção mnpq do parafuso (Fig. d), vemos que forças de cisalhamento V agem sobre as superfícies cortadas do parafuso.
 Há dois planos de cisalhamento (mn e pq), e dizemos que o parafuso está sob cisalhamento duplo. Em cisalhamento duplo, cada uma das forças de cisalhamento é igual à metade da carga total transmitida pelo parafuso, isto é, V = P/2.
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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 As forças de cisalhamento são as resultantes das tensões de cisalhamento distribuídas sobre a área da seção transversal do parafuso. Por exemplo, as tensões de cisalhamento agindo na seção transversal mn são mostradas na Fig. e. 
 Essas tensões agem paralelamente à superfície cortada. A distribuição exata das tensões não é conhecida, mas elas são maiores perto do centro e nulas em certas regiões das bordas.
 Como indicado na Fig. e, as tensões de cisalhamento são geralmente denotadas pela letra grega τ (tau).
 A tensão de cisalhamento média na área de seção transversal de um parafuso é obtida dividindo-se a força de cisalhamento total V pela área A da seção transversal na qual ela age: 
			 τmédia = V
 A
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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Tensão e Deformação de Cisalhamento
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Para obter uma visão mais complexa da ação de tensões de cisalhamento, vamos
 considerar um pequeno elemento material na forma de uma paralelepípedo retangular com lados de comprimento a, b e c nas direções x, y e z, respectivamente. As faces posterior e anterior desse elemento estão livres de tensão.
 Agora assuma que a tensão de cisalhamento τ1 esteja uniformemente distribuída sobre a face direita, que tem área bc. Para que o elemento esteja em equilíbrio na direção y, a força de cisalhamento total τ1bc, agindo na extremidade direita, deve ser balanceada por uma força igual, mas com direção oposta, na face da extremidade esquerda. 
Tensão e Deformação de Cisalhamento
# Igualdade de Tensões de Cisalhamento em Planos Perpendiculares
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 As forças τ1bc, agindo nas faces extremas esquerda e direita, formam um binário, cujo o momento sobre o eixo z tem magnitude τ1abc, agindo no sentido-horário na figura. 
 Para que haja equilíbrio, é necessário que esse momento seja balanceado por momentos criados por tensões de cisalhamento iguais, mas opostas, nas faces superior e inferior do elemento. 
 Denotando as tensões nas faces superior e inferior como τ2, vemos que as forças de cisalhamento horizontal correspondentes são iguais a τ2ac. 
 Essas forças formam um binário de momentos τ2abc no sentido horário. Do equilíbrio de momentos do elemento sobre o eixo z, vemos que τ1abc é igual a τ2abc ou: 
				τ1 = τ2
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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 Dessa forma, as magnitudes das quatro tensões de cisalhamento atuando no elemento são iguais, como mostrado na Figura.
 Chegamos às seguinte observações gerais a respeito de tensões de cisalhamento agindo um elemento retangular:
 Tensões de cisalhamento em faces opostas (e paralelas) são iguais em magnitude e opostas em direção.
 Tensões de cisalhamento em faces adjacentes ( e perpendiculares) de um elemento são iguais em magnitude e têm direções tais que, ou ambas as tensões convergem para a linha de interseção das faces, ou divergem da aresta de interseção das faces.
 Essas observações foram obtidas para um elemento submetido apenas a tensões de cisalhamento. Este estado de tensão é chamado de cisalhamento puro.
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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Deformações de cisalhamento agindo em um elemento material são acompanhadas
 por deformações de cisalhamento. Para visualizar essas deformações, notamos que as tensões de cisalhamento
não têm tendência de alongar ou encurtar o elemento nas direções x, y e z.
 As tensões de cisalhamento produzem uma mudança na forma do elemento.
 Por causa dessa deformação, os ângulos entre as faces laterais mudam.
 O ângulo γ é uma medida de distorção, ou mudança na forma, do elemento e é chamado de deformação de cisalhamento. Usualmente medida em graus ou radianos.
# Deformação de Cisalhamento
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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As propriedades de um material sob cisalhamento podem ser determinadas
 experimentalmente a partir de ensaios de cisalhamento direto ou ensaios de torção. 
 Os resultados dos testes, podem ser traçados diagramas de tensão-deformação para cisalhamento.
 Esses diagramas são similares em forma aos diagramas de ensaios de tração (σ por ε) para os mesmos materiais, embora sejam diferentes em magnitude.
 Dos diagramas de tensão-deformação, podemos obter propriedades dos materiais como limite de proporcionalidade, módulo de elasticidade, tensão de escoamento e tensão máxima. 
 Essas propriedades no cisalhamento ficam geralmente em torno da metade dos valores obtidos para as mesmas propriedades na tração. 
Tensão e Deformação de Cisalhamento
# Lei de Hooke em Cisalhamento
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 Para muitos materiais, a parte inicial do diagrama de tensão deformação para cisalhamento é uma reta através da origem, exatamente como na tração. Para essa região elástica linear, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento são proporcionais e, por isso, temos a seguinte equação para a Lei de Hooke em cisalhamento:
τ = Gγ
onde G é o módulo de elasticidade para cisalhamento (módulo de rigidez).
 O módulo de elasticidade para tração e cisalhamento está relacionado da seguinte maneira: 
				 E
				 2(1 + ν)	
em que ν é o coeficiente de Poisson. 
 
G =
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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 Exercício de Aula 4: Um prensa usada para fazer furos em placas de aço é mostrada na Figura. Assuma que uma prensa com diâmetro d = 20 mm é usada para fazer um furo em uma placa de 8 mm, como mostrado na vista transversal.
Se uma força P = 110 kN é necessária para criar o furo, qual é a tensão de cisalhamento média na placa e a tensão de compressão média na prensa ?
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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Exercício de Aula 5: A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd. 
Tensão e Deformação de Cisalhamento
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1.7.Tensão e Cargas Admissíveis
 Fatores a serem considerados no projeto incluem funcionalidade, resistência, aparência, economia e efeitos ambientais. 
 Ao se estudar a mecânica dos materiais, nosso principal interesse no projeto é a Resistência, ou seja, a capacidade do objeto de suportar ou transmitir cargas. 
 Objetos que devem sustentar cargas incluem prédios, máquina, caminhões, aviões. 
 Por simplicidade, vamos nos referir a todos esses objetos como estruturas; dessa forma, uma estrutura é qualquer objeto que deve suportar ou transmitir cargas.
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Se a falha estrutural deve ser evitada, as cargas que a estrutura é capaz de suportar
 devem ser maiores que as cargas às quais a estrutura será submetida quando utilizada. 
 A resistência real de uma estrutura deve exceder a resistência exigida. A razão da resistência real em relação à resistência exigida é chamada de fator de segurança n:
Fator de segurança n = Resistência real
 Resistência exigida
Naturalmente o fator de segurança deve ser maior que 1, a fim de evitar falhas.
 A incorporação de fatores de segurança no projeto não é procedimento simples, porque tanto a resistência como a falha têm muitos significados diferentes. 
 A resistência pode ser medida pela capacidade de se carregar carga de uma estrutura, ou pode ser medida como a tensão no material. 
Tensão e Cargas Admissíveis
# Fatores de Segurança
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 A falha pode significar fratura ou colapso total de um estrutura ou pode indicar que as deformações tornaram-se tão grandes que a estrutura não é mais capaz de cumprir sua função. 
 A determinação do fator de segurança deve levar em consideração os seguintes problemas:
- Probabilidade de sobrecarregamento acidental da estrutura por cargas que excedem as cargas de projeto;
- Tipos de cargas ( estática ou dinâmica):
- Se as cargas são aplicadas apenas uma vez ou repetidamente; 
- O quão exatamente as cargas são conhecidas; 
- Possibilidades por fadigas; 
- Imprecisões na construção;
Tensão e Cargas Admissíveis
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- Variabilidade na qualidade do trabalho humano;
- Variação nas propriedades dos materiais; 
- Deterioração devido à corrosão ou outros efeitos ambientais;
 Se o fator de segurança é muito baixo, a probabilidade de falha será alta e a estrutura será inaceitável. 
 Se o fator é muito grande, a estrutura apresentará um desperdício de material de material e talvez seja inaplicável para suas funções. 
 No projeto de aviões, é comum falar em margem de segurança em vez de fator de segurança. A margem se segurança é definida como o fator de segurança menos um:
Margem de segurança = n -1
Margem de segurança é geralmente expressa como porcentagem, de forma que o valor dado acima é multiplicado por 100. 
 
Tensão e Cargas Admissíveis
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 Fatores de segurança são definidos e implementados de várias formas. Para muitas estruturas, é importante que o material permaneça dentro do intervalo elástico linear, para evitar deformações permanentes quando as carga são removidas.
 Sob essas condições, o fator de segurança é estabelecido em relação ao escoamento da estrutura. 
 Por isso, aplicando um fator de segurança em relação à tensão de escoamento ( ou resistência ao escoamento), obtemos um tensão admissível ( ou tensão de trabalho) que não deve ser excedida em nenhum ponto na estrutura. Dessa forma: 
Tensão admissível =
Tensão e Cargas Admissíveis
# Tensões Admissíveis
Tensão de escoamento
 Fator de segurança
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 σY τY 
 n1 n2
Em que σY e τY são as tensões de escoamento e n1 e n2 são os fatores de segurança.
 Algumas vezes o fator de segurança é aplicado à tensão máxima em vez de tensão de escoamento. Esse método é aplicável para materiais frágeis, como concreto e alguns plásticos, e para materiais se uma tensão de escoamento claramente definida, como madeira e aços de alta resistência. Nesses casos as tensões admissíveis em tração e cisalhamento são:
 σU τU 
 n3 n4
em que σU e τY são as tensões máximas (ou resistência máxima).
 
σ adm =
τ adm =
σ adm =
τ adm =
Tensão e Cargas Admissíveis
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Depois que a tensão admissível foi estabelecida para um material em uma estrutura
 em particular, a carga admissível nessa estrutura pode ser determinada. 
 Nesses tipos de estruturas, as tensões são uniformemente distribuídas ( ou pelo menos assumimos que o são) sobre uma área.
 Por isso, nos quatro casos anteriores a carga admissível (também chamada de carga permitida ou carga de segurança) é igual à tensão admissível multiplicada pela área sobre a qual ela age: 
			Carga admissível = (tensão admissível) (Área)
 Para barras em tração e compressão puras (sem flambagem), essa equação se torna:
Padm = σadm A
em que σadm é a tensão normal permitida e A é a área de seção transversal da barra.
Tensão e Cargas Admissíveis
# Cargas Admissíveis
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 Para pinos em cisalhamento puro::
			 Padm = τadm A
em que τadm é a tensão de cisalhamento permitida e A é a área sobre a qual as tensões de cisalhamento agem. 
 A carga permitida baseada na cortante é:
Padm = σb A b
Em que σb é a tensão cortante admissível e A b é a área projetada do pino ou outra sobre a qual as tensões cortantes agem.
Tensão e Cargas Admissíveis
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1.8. Dimensionamento para cargas axiais e cisalhamento puro
 No contexto de mecânica dos materiais, a análise consiste em determinar a resposta de estruturas a cargas, mudanças de temperaturas e outras ações físicas. Por resposta de uma estrutura queremos dizer tensões, deslocamentos e deformações produzidas pelas cargas.
 A resposta também se refere à capacidade de uma estrutura de suportar cargas; por exemplo, a carga admissíveis em uma estrutura é uma forma de resposta.
 Uma estrutura é dita conhecida (dada) quando temos uma descrição física completa dela, isto é, quando conhecemos todas as suas propriedades. Dessa forma, ao analisar uma estrutura, as propriedades são dadas e as respostas devem ser determinadas.
 O processo inverso é chamado dimensionamento. Ao dimensionar uma estrutura, devemos determinar as suas propriedades para que ela suporte as cargas e realize suas devidas funções.
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 Nesta seção, trataremos do dimensionamento em sua forma mais elementar, calculando os tamanhos exigidos de membros de tração simples e de compressão, bem como pinos e parafusos carregados em cisalhamento.
 Nesses casos o processo de dimensionamento é bem simples. Conhecendo as cargas a serem transmitidas e as tensões admissíveis nos materiais, podemos calcular as áreas exigidas de membros através da seguinte relação geral:
				Carga a ser transmitida
		 Tensão admissível
 Essa equação pode ser aplicada a qualquer estrutura em que as tensões estejam uniformemente distribuídas sobre a área.
Área exigida =
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