Aula 8

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3.4- Tensões e Deformações em Cisalhamento Puro
 Quando uma barra circular, sólida ou vazada, é submetida a torção, tensões de cisalhamento agem sobre as seções transversais e em planos longitudinais, como ilustrado na Figura 3.11.
 Consideremos um elemento de tensão abcd cortado entre duas seções transversais de uma barra em torção (Figura 3.12)
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Figura 3.11
 Esse elemento está em estado de cisalhamento puro, porque as únicas tensões agindo nele são as tensões de cisalhamento τ nas quatro faces laterais. 
Figura 3.12
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 Nessa discussão, assumimos que os torques rotacionam a extremidade direita da barra no sentido horário quando visto da direita (3.12), dessa forma, as tensões de cisalhamento agindo no elemento têm as direções ilustradas na figura.
 Uma tensão de cisalhamento agindo em uma face positiva de um elemento é positiva se age na direção positiva de um dos eixos coordenados e negativa se age na direção negativa de um eixo. 
 Por outro lado, uma tensão de cisalhamento agindo em uma face negativa de um elemento é positiva se age na direção negativa de um dos eixos coordenados e negativa se age na direção positiva do eixo.
 Na Figura 3.12b, todas as quatro tensões de cisalhamento são positivas.
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 Tensões em Planos Inclinados
 Uma vista bidimensional do elemento de tensão é ilustrada na Figura 3.13a.
 Vamos cortar um elemento de tensão em forma de cunha (ou ´´triangular´´) do elemento, tendo uma face orientada em um ângulo θ em relação ao eixo x (Figura 3.13b).
 Tensões normais σθ são positivas em tração e tensões de cisalhamento τθ são positivas quando tendem a produzir uma rotação no sentido anti-horário do material.
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Figura 3.13
 As faces verticais e horizontais de um elemento triangular (Figura 3.13b) têm tensões de cisalhamento positivas agindo nelas, e as faces frontais e posteriores do elemento estão livres de tensão. Por isso, todas as tensões agindo no elemento são visíveis nessa figura.
 As tensões τθ e σθ agora podem ser determinadas a partir do equilíbrio do elemento triangular. As forças agindo nessas três faces laterais podem ser obtidas multiplicando-se as tensões pelas áreas sobre as quais elas agem.
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 Por exemplo, a força na face esquerda é igual a τA0, em que A0 é a área da face vertical. Essa força age na direção negativa de y e é ilustrada no diagrama de corpo livre da Figura 3.13c.
Figura 3.13
 Agora vamos escrever duas equações de equilíbrio para o elemento triangular, uma na direção de σθ e outra na direção τθ . 
 Ao escrever essas equações, as forças agindo nas faces esquerda e inferior devem ser desmembradas em componentes nas direções σθ e τθ. Dessa forma, a primeira equação, obtida somando as forças na direção de σθ, é:
		 σθ A0 sec θ = τ A0 sen θ + τ A0 tg θ cos θ
ou
				 σθ = 2 τ sen θ cos θ
A segunda equação é obtida com a soma das forças na direção τ0 
		 τθ A0 sec θ = τ A0 sen θ - τ A0 tg θ sen θ
ou 
				 τθ = τ (cos2 θ – sen2 θ)
				
			
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 Essas equações podem ser expressas em formas mais simples introduzindo-se as seguintes identidades trigonométricas.
	 sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos 2θ = cos2 θ + sen2 θ
Então: 
		 σθ = τ sen 2θ 		 τθ = τ cos 2θ 	
 As equações acima fornecem as tensões normal e de cisalhamento agindo em qualquer plano inclinado em termos das tensões de cisalhamento τ agindo nos planos x e y e do ângulo θ definido a orientação de plano inclinado. 
 A maneira como as tensões σθ e τθ variam conforme a orientação do plano inclinado é ilustrado pelo gráfico na Figura 3.14, que é representação das equações.
			
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Equação 1
 Similarmente, σθ tem seu valor mínimo (que é compressão) em θ = - 45º. Em ambos os ângulos de 45º, a tensão de cisalhamento τθ é igual a zero. 
 Essas condições estão representadas na Figura 3.15 que mostra elementos de tensão orientados a θ = 0º e θ = 45º. 
 O elemento a 45º está solicitado por tensões de tração e compressão iguais em direções perpendiculares, sem tensões de cisalhamento.
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Figura 3.14
 Do gráfico, vemos que a tensão normal σθ atinge um valor máximo em θ = 45º. Neste ângulo, a tensão é positiva (tração) e igual numericamente à tensão de cisalhamento τ. 
Figura 3.14
 Observe que as tensões normais agindo no elemento a 45º (Figura 3.15b) correspondem a um elemento submetido a tensões de cisalhamento τ agindo nas direções ilustradas na Figura 3.15a.
 Se as tensões de cisalhamento agindo no elemento da Figura 3.15a tiverem suas direções invertidas, as tensões normais agindo nos planos de 45º também irão variar as direções.
 As equações deduzidas nesta seção são válidas para um elemento de tensão em cisalhamento puro independentemente se o elemento é cortado de uma barra em torção ou qualquer outro elemento estrutural.
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Figura 3.15
 Um vez que as equações 1 foram deduzidas apenas do equilíbrio, são válidas para qualquer material, independentemente se eles se comportam de maneira elástica linear ou não.
 A existência de tensões de cisalhamento máximas nos planos a 45º do eixo x da Figura 3.15b explica por que barras em torção feitas de materiais frágeis e fracos em tração falham, quebrando ao longo de uma superfície helicoidal a 45º (Figura 3.16).
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Figura 3.16
 Deformações em Cisalhamento Puro
 Considerar um elemento em cisalhamento puro ilustrado na Figura 3.15a, em que as deformações estão bem exageradas. 
 A deformação de cisalhamento γ é a variação no ângulo entre duas linhas que eram originalmente perpendiculares uma à outra.
 A forma do elemento varia de um paralelepípedo retangular (Figura 3.15a) para um paralelepípedo oblíquo (Figura 3.17b). Essa variação na forma é chamada de uma distorção de cisalhamento.
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Figura 3.17
 Se o material é elástico linear, a deformação de cisalhamento para o elemento orientado θ = 0º (Figura 3.17a) está relacionada à tensão de cisalhamento pela lei de Hooke em cisalhamento:
 Considere agora as deformações que ocorrem em um elemento orientado θ = 45º (Figura 3.17b). As tensões de tração agindo a 45º tendem a alongar o elemento nessa direção. 
 Por causa do coeficiente de Poisson, elas também tendem a encurtar o na direção perpendicular (direção onde θ =135º ou - 45º). De forma similar, as tensões de compressão agindo a 135º tendem a encurtar o elemento nessa direção e alongá-las na direção de 45º.
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 Uma vez que não há distorções de cisalhamento, o elemento permanece um paralelepípedo retangular, mesmo que as dimensões tenham mudado.
 Deformação de cisalhamento máximas: 
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