Fisica - Colisões

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455
Colisões
41.1. Introdução
Colisões estão entre os fenômenos mais frequentes no nosso mundo físico. Não 
estamos falando apenas dos acidentes de trânsito. Sempre que um objeto cai (como uma 
bola que é lançada) em direção à Terra, estaremos assistindo a uma colisão. Ocorrem, só 
no nosso planeta, milhões de colisões ao longo do dia.
Quais são as grandezas físicas relevantes na análise das colisões? 
Qualquer pessoa sabe que um acidente envolvendo dois carros semelhantes 
(de massas iguais, por exemplo) e com velocidades iguais é menos grave do 
que uma trombada envolvendo dois caminhões pesados nas mesmas circuns-
tâncias, em termos de velocidades. Inferimos assim que a velocidade não é 
único fator determinante no resultado de uma colisão. A velocidade e a massa 
devem ser consideradas ao analisarmos um choque. No entanto, essas gran-
dezas físicas têm um papel relevante, mas por intermédio de duas outras 
grandezas físicas delas derivadas.
A análise das colisões entre partículas fica, muitas vezes, enorme-
mente facilitada pela análise das grandezas físicas que são conservadas du-
rante uma colisão. Essas grandezas são: o momento angular, a energia e o 
momento linear. Todas elas dependem da massa e da velocidade dos objetos 
que colidem.
Alguns choques têm características próprias e por isso recebem no-
mes que os distinguem dos demais. Por exemplo, dizemos que um choque 
é frontal se após a colisão os objetos tomam a mesma direção daquele que 
provocou a colisão. Num jogo de bilhar ele é reconhecido como aquele no 
qual a bola que colide fica em repouso no lugar daquela que ali se encon-
trava e aquela que estava em repouso sai em disparada na mesma direção 
(e sentido) daquela que colidiu. Essa é uma característica dos choques fron-
tais de partículas de massas iguais.
41
Fig. 41.1. Colisões no cotidiano e a forma 
científica de analisá-las levando em conta as 
leis físicas.
456
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Na Mecânica clássica defi nimos um choque como sendo elástico se a energia ciné-
tica se conserva durante o choque (a energia total sempre se conserva).
41.2. Colisões entre Partículas
As colisões além de presentes no cotidiano, como em jogos de boliche e sinuca, 
tiveram e ainda têm muita importância no que diz respeito à compreensão da constituição 
da matéria. De fato, desde os trabalhos de Rutherford, e até hoje, a construção de ace-
leradores de partículas têm levado a um melhor entendimento sobre os constituinte da 
matéria. Todas essas grandes máquinas são voltadas para acelerar partículas e promover 
a colisão entre elas. Uma análise criteriosa dos resultados dessas colisões permite-nos 
avançar no entendimento da estrutura do átomo, do núcleo e das partículas elementares.
Fig. 41.2. Exemplo de um choque frontal envolvendo bolas de bilhar.
Fig. 41.3. Ilustrações do processo de colisão de duas partículas, produzindo, no estado fi nal, 
centenas de outras.
No início do século XX, o físico Ernest Rutherford observando e analisando colisões de partí-
culas α em folhas muito fi nas de ouro evidenciou a base do que hoje se aceita como o modelo 
atômico. O aceito na época era o modelo de Thomson, o do pudim de passas, segundo o qual 
o átomo seria constituído de um aglomerado de prótons, como se fosse a massa do pudim, e 
dentro do aglomerado fi cavam os elétrons, como se fossem as passas (talvez, no Brasil, fosse 
melhor associar a um panetone com passas). O átomo seria, assim, neutro como o esperado, 
mas teria uma distribuição contínua de matéria. Rutherford fazia incidir partículas de uma 
fonte radioativa sobre uma película muito fi na de ouro, dentro de uma câmara mantida em 
vácuo. As partículas α perdem energia muito facilmente e só percorrem da ordem de 4cm no 
ar em pressão atmosférica normal, daí a necessidade do vácuo. Assim, dentro da câmara, algu-
457
CAPÍTULO 41: COLISÕES
41.3. Etapas do Processo de Colisão
Como regra geral, o processo de colisão pode ser pensado como ocorrendo em 
três etapas. Na primeira, temos um conjunto de partículas, ou objetos extensos, com mas-
sas mi , momentos ip
 e energias Ei . As duas últimas grandezas geralmente são utilizadas 
para caracterizar o estado inicial do sistema de partículas.
mas partículas α, que conseguiam atravessar a película 
de ouro, eram desviadas da direção do feixe incidente. 
Para efetuar medidas em função do ângulo de des-
vio, denominado ângulo de espalhamento, Rutherford 
utilizou uma luneta acoplada à câmara (sem quebrar 
o vácuo). Dessa forma era possível ver, em diferentes 
ângulos, as luminescências causadas pelas partículas α 
no sulfeto de zinco colocado em frente à luneta, como 
mostra a fi gura 41.5. Foi observada uma distribuição de 
luminescências muito diferente da esperada, pois muito 
poucas luminescências eram vistas em ângulos frontais 
em relação à direção de incidência das partículas. Muitas não sofriam desvio algum, e, o que 
era mais surpreendente, foram vistas luminescências até em ângulos maiores que 90°, isto é, 
algumas partículas eram espalhadas para ângulos traseiros, o que não podia ser explicado nem 
que se admitisse várias colisões sucessivas. 
Percebeu que o núcleo é muito pequeno e concentrado, uma vez que poucas partículas se choca-
vam com eles. Daí poucos eventos de ângulos dianteiros, mas algumas que se chocavam pode-
riam ser ricocheteadas para trás, já que a massa do núcleo de ouro é muito grande comparada 
à massa da partícula α. É como se as partículas α atravessassem uma “peneira”, mas quando 
uma delas se choca diretamente sobre o núcleo de ouro pode haver um espalhamento em ângulo 
muito grande. Na verdade, no choque de uma partícula com o núcleo de ouro, tem que se levar 
em consideração a interação entre as cargas envolvidas.
Fig. 41.5. Rutherford contava o número de partículas em função da direção. Deduziu, assim, que o 
átomo era oco.
Fig. 41.4. Espalhamento de partícu-
las α por um núcleo.
Nobuko Ueta
458
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Na etapa fi nal, nos defrontamos com a situação na qual temos outro conjunto de 
partículas (ou eventualmente o mesmo conjunto) com massas mi’ , momentos ip
 ’ , e ener-
gias Ei ’. Em geral, caracterizamos o estado fi nal do sistema a partir dos valores das energias 
e momentos lineares das partículas nesse estágio. O sistema se encontra, portanto, num 
outro estado, dito estado fi nal. Nem sempre os constituintes no estado inicial e no estado 
fi nal são os mesmos. A etapa, ou estágio, fi nal é, usualmente, identifi cada como aquela para 
a qual o tempo decorrido, desde o início do processo de colisão, é muito grande. Utilizamos 
formalmente o limite quando o tempo tende a infi nito. 
Entre as etapas inicial e fi nal ocorrem as interações entre as várias partículas. É 
sempre assumido que no início e no fi m as interações sejam desprezíveis. A etapa inter-
mediária é a mais complexa do ponto de vista do entendimento das colisões, pois agora 
devemos levar em conta a dinâmica das interações. Ilustraremos, na última parte deste 
capítulo, como isso pode ser feito a partir do conceito de secção de choque.
41.4. A Cinemática das Colisões
Alguns problemas envolvendo colisões são resolvidos a partir da análise do que 
defi nimos como a cinemática das colisões. Muitos problemas da Mecânica são baseados 
estritamente nessa análise. Nesses problemas são dados os momentos lineares iniciais das 
partículas bem como suas energias. São fornecidos ainda alguns dados relativos aos mo-
mentos lineares das partículas no estado fi nal, ou suas energias. O problema reside, assim, 
em determinar as incógnitas do problema (os dados não fornecidos).
Especifi camos assim os momentos ip

 e energias Ei , as quais, no caso relativístico, 
são dadas por
2 2 2 4 .i i iE p c m c= +

No caso não relativístico, a energiafi ca restrita à energia cinética, a qual é expressa 
em termos do momento e da massa como
 2 .
2
i
i
i
pE
m
=

Os momentos e energia são defi nidos a partir de um determinado referencial. Dois 
muito utilizados são: o referencial do laboratório e o referencial do centro de massa. O refe-
rencial do centro de massa é aquele para o qual: 
0.cmcmi i
i i
p p′= =∑ ∑ 
Num curso de Mecânica do ensino médio, não mencionamos o referencial do centro 
de massa.
(41.3)
(41.1)
(41.2)
459
CAPÍTULO 41: COLISÕES
Num problema típico de Mecânica admitimos conhecer apenas alguns componentes 
do momento linear e da energia. As demais componentes são determinadas a partir dessas 
por meio do uso das leis de conservação.
41.5. Conservação da Energia e do Momento Linear
Os problemas propostos num curso de Mecânica envolvem soluções que podem 
ser obtidas a partir da conservação do momento linear, da energia, e no caso de corpos 
rígidos, da conservação do momento angular.
Veremos no capítulo 50 que a homogeneidade do espaço implica a terceira lei de 
Newton e, consequentemente, como vimos no capítulo 38, na conservação do momento 
linear. Escrevemos assim que a soma dos momentos na etapa inicial é igual à soma dos 
momentos na etapa fi nal:
i i
i i
p p′=∑ ∑ 
A equação acima resulta, na realidade, num conjunto de três equações, uma vez 
que a igualdade vale para cada uma das componentes:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 .
x x Nx x x Nx
y y Ny y y Ny
z z Nz z z Nz
p p p p p p
p p p p p p
p p p p p p
′ ′ ′+ + ⋅⋅ ⋅ + = + + ⋅⋅⋅ +
′ ′ ′+ + ⋅⋅ ⋅ + = + + ⋅⋅⋅ +
′ ′ ′+ + ⋅⋅ ⋅ + = + + ⋅⋅⋅ +
Para choques frontais, devemos analisar apenas 
uma das equações acima. A conservação do momento 
linear é o ingrediente mais útil na análise das colisões.
Quando as únicas interações entre as várias par-
tículas resultam apenas de interações entre si, pode-se 
mostrar, com base na homogeneidade do tempo, a ser 
discutida no capítulo 50, que energia total se conserva:
,i j
i j
E E′=∑ ∑
onde Ei é a energia inicial de cada uma das partículas, en-
quanto Ei’ é a energia de cada uma das partículas na etapa 
fi nal.
De uma forma geral, o uso da conservação da energia é muito mais complexo 
do que o uso do princípio da conservação do momento linear. Isso ocorre porque numa 
Fig. 41.6. Em muitos casos devemos analisar colisões de objetos de 
massa zero, como é o caso do fóton no efeito foto Compton.
(41.6)
(41.4)
(41.5)
460
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
colisão, salvo algumas exceções, a energia mecânica é dissipada e, consequentemente, 
transformada em outras formas de energia. Por exemplo, num acidente entre dois veículos 
a energia cinética pode ser convertida em calor (mediante o atrito) e em energia elástica 
(no processo de deformação da lataria dos veículos).
Nas colisões elásticas, admitimos que a energia 
cinética é conservada. Para um sistema contento N partí-
culas, a equação 41.6 implica a seguinte equação para as 
velocidades:
( ) ( )22
1 1
.
2 2
n n
i i
i i
i i
m m
v v
= =
′=∑ ∑ 
Isso faz com que, numa colisão elástica, temos 
como fazer previsões mais facilmente do que numa co-
lisão inelástica. Colisões entre bolas de bilhar são essen-
cialmente elásticas, como é ilustrado pelo equipamento 
conhecido como berço de Newton.
A título de ilustração consideremos o caso em que uma massa M bate numa parede 
dura de massa infi nita, como numa mesa de bilhar. Vejamos como podemos determinar o 
momento da bola de bilhar a partir da colisão. Adotando os eixos como aqueles da fi gura 
e admitindo a conservação de energia cinética, temos que 
( ) ( )2 2 .
2 2
M M
v v′=
 
O que implica que a velocidade de uma bola de bilhar é a mesma, em módulo, 
antes e depois de bater na parede:
v = v’ (41.9)
(41.8)
(41.7)
Fig. 41.7. O berço de Newton. Utilizando-o podemos constatar a 
conservação do momento linear e da energia.
Fig. 41.8. Uma bola de bilhar, ao bater em algum ponto de uma mesa, se refl ete de tal maneira que o ângulo 
de incidência é igual ao ângulo de refl exão, como no caso da óptica.
461
CAPÍTULO 41: COLISÕES
Para o eixo x podemos escrever:
'
1 1 .x xMv Mv=
Consequentemente, das duas equações anteriores segue que
1 1' .y yv v= ±
A solução com sinal negativo é aquela que, como sabemos, ocorre na prática. Isto 
é, a bola de bilhar volta para a mesa com uma velocidade invertida ao longo do eixo y.
41.6. Exemplos Simples do Uso da Cinemática
Considere o caso do decaimento de uma partícula de massa M em outras duas de 
massas m1 e m2. Um exemplo dessa situação é o decaimento do méson π. Consideremos o 
caso em que o decaimento é descrito de uma maneira mais simples no sistema do centro 
de massa, o qual, nesse caso, é o sistema que se move junto com a partícula. No sistema 
da partícula temos as seguintes equações:
1 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
1 2
.
.
cm cm cm
cm cm
p p p
Mc p c m c p c m c
′ ′ ′= − =
′ ′= + + +
 
 Igualando as energias inicial e fi nal obtemos:1 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
1 2
.
.
cm cm cm
cm cm
p p p
Mc p c m c p c m c
′ ′ ′= − =
′ ′= + + +
 
 
Assim, o módulo do momento e a energia das duas partículas no estado fi nal fi cam 
completamente determinados em função das massas das partículas. 
No sistema do laboratório, a partícula que decai tem um 
momento P

. Assim, no sistema do laboratório, temos as equações:
1 2
2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4
1 1 2 2 .
P p p
P c M c p c m c p c m c
= +
′ ′+ = + + +

 
 
Da equação 41.14 podemos determinar, utilizando a 
41.13, o momento de uma delas em função do momento da partí-
cula que decai e das massas.
Outro exemplo a ser considerado é aquele da colisão entre 
duas partículas.
Fig. 41.9. Decaimento 
do méson π.
(41.13)
(41.12)
(41.10)
(41.11)
(41.14)
462
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
41.7. Colisão entre Duas Partículas 
Considere duas partículas de massa M1 e M2, com velocidades, respectivamente, 
v1 e v2 sobre um plano. Vamos também supor que a massa M2 esteja inicialmente parada. 
Nesse caso, estudaremos as colisões partindo da hipótese de que o choque é elástico. 
Assim, aplicaremos as regras de conservação de energia cinética e da quantidade de 
movimento. Vamos representar as velocidades após o choque por v’1 e v’2. Por conve-
niência, escolheremos eixo x do sistema de coordenadas cartesianas como aquele da 
direção de v1. 
 A conservação da energia cinética, lembrando que v2 é nula, implica a seguinte 
igualdade entre as velocidades: 
( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 21 1 1 1 2 2' ' ,M v M v M v= +
e na seguinte relação entre as componentes: 
1 1 2 1 1 1 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2
' ' ' cos ' cos
' ' 0 ' sen ' sen .
x x
y y
p x p p M v M v M v
p y p p M v M v
= + → = θ + Φ
= + → = θ + Φ
O problema das colisões de duas partículas pode ser resolvido 
mediante o uso das três equações acima. Temos quatro incógnitas (o 
módulo das velocidades fi nais das duas partículas e os dois ângulos em 
relação à direção da partícula incidente), no entanto, são apenas três 
equações. Admitimos que sabemos M1, M2 e a velocidade da partícula 
incidente v1. Podemos encontrar relações entre v’1 , v’2, θ e Φ utilizando 
as relações 41.15 e 41.16 e os dados conhecidos.
Em alguns caso especiais, por exemplo, M1 = M2, pode-se 
constatar algumas peculiaridades no choque. No caso de duas massas 
iguais, elas sairão formando um ângulo de 90 º, como pode ser visto na 
fi gura 41.12.
Isso ocorre porque a partir da conservação da quantidade de movimento, teremos 
1 1 2´ ´ ,p p p= +
  
Fig. 41.10. Estado inicial.
Fig. 41.11. Estado fi nal.
Fig. 41.12.Cinemática da colisão entre duas 
partículas.
Fig. 41.13. Esboço dos momentos inicial e fi nal para o caso em que uma das partículas 
está em repouso.
(41.17)
(41.16)
(41.15)
463
CAPÍTULO 41: COLISÕES
enquanto a conservação da energia cinética implica:
2 2 2
1 1 2' ' .p p p= +
A partir das duas equações podemos concluir que p1 só pode ser a hipotenusa do 
triângulo retângulo formado por p’1 e p’2. Por exemplo, tomando o quadrado da primeira, 
temos:
1 1 2 1 2² ' ² ' ² 2 ' ' .p p p p p= + + ⋅
 
41.8. Choque Frontal 
Consideremos o conjunto de equações anteriores para o caso de uma colisão frontal. 
Suponhamos uma colisão frontal entre uma bola de massa M1 com velocidade v1 e outra bola 
de massa M2 com velocidade nula. Isto é, a velocidade v1 tem a direção da reta que une os 
centros das duas bolas. Nesse caso, basta considerarmos o movimento na direção dessa reta, 
que podemos chamar de eixo x. Vamos convencionar que os índices 1 se referem à bola (a 
da esquerda na fi gura) que incide sobre a outra bola, inicialmente em repouso (a da direita na 
fi gura) e à qual atribuímos o índice 2. Depois da colisão, as velocidades serão alteradas e as 
chamaremos de v e v’. 
Por conservação da quantidade de movimento 41.4 e da energia cinética 41.7, 
poderemos calcular as relações entre as velocidades fi nais, em casos particulares, como 
mostramos a seguir. As quantidades de movimento serão consideradas em módulo, uma 
vez que a direção da colisão é a da reta que une os centros das duas bolas consideradas. 
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2
' '
1 2 0 1 2 ' 1 2 ' .
M v M v M v
M v M v M v
= +
+ = +
Fig. 41.14. Representação da colisão elástica e frontal quando a bola M2 é mais pesada que a bola M1.
(41.19)
(41.20)
(41.18)
464
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Vejamos primeiramente o que ocorre quando a bola M2 é mais pesada do que a 
bola que incide sobre ela. Consideremos o caso particular em que M2 = 5M1. Resolvendo 
as equações 41.19 para esse caso, teremos:
( )2 1' 1 2 ' ,v v= −
onde o sinal negativo signifi ca que a direção de v’1 é a oposta a de v1 e de v’2. Assim, após 
a colisão, a bola 1 recua, e a bola 2 segue em frente lentamente. Essa situação é ilustrada 
pela fi gura 41.14, e essa análise vale para o caso geral.
Agora invertendo a situação, tomamos a bola de massa M2 como tendo massa me-
nor do que aquela que incide sobre ela. Tomemos como ilustração o caso em que M1 = 5M2. 
Resolvendo as equações 41.19, chegaremos à relação v’1 = 2/5 v’2. Assim, as duas bolas 
avançarão e a velocidade da bola 1 será menor do que a velocidade da outra bola. 
No caso em que as duas massas são iguais, concluiremos que: 
v’1 = 0 e v’2 = v1 .
Essa situação é aquela descrita antes. A bola que incide fi ca imóvel no lugar da 
outra a qual sai com a mesma velocidade da bola que colidiu com essa.
41.9. O que é Espalhamento
Num acelerador de partículas produzimos não uma ou duas partículas, mas um 
feixe de partículas. O que caracteriza um tal feixe é a sua intensidade I.
A intensidade do feixe é defi nida como o número de partículas por unidade de área 
e por unidade de tempo. 
Muitas vezes temos interesse no estudo de uma situação física que pode ser resu-
mida da seguinte forma:
Um feixe de partículas é produzido e direcionado para colidir com um alvo. Em 
muitos casos, o alvo é fi xo. Em outros casos, ele é móvel. Essa questão não é muito rele-
vante na medida em que o conceito de fi xo e móvel é uma questão apenas de referencial.
(41.22)
(41.21)
Fig. 41.15. Choques frontais.
465
CAPÍTULO 41: COLISÕES
O alvo pode ser um núcleo, como no caso de experiências em Física nuclear, ou 
outra partícula em movimento. Este último caso é aquele de interesse na área da Física 
das partículas elementares, em que partículas colidem umas com as outras.
O resultado das colisões das partículas com o alvo leva a informações sobre a 
dinâmica dos constituintes. Assim, a forma mais importante que temos para inferir a res-
peito das interações é através de colisões.
Preparar um feixe de partículas, dependendo do caso, não é muito difícil. O que 
é mais difícil é acelerá-las a velocidades muito, muito, próximas da velocidade da luz. 
Quanto maior a energia das partículas, melhores condições teremos de explorar a Física 
a partir de escalas de distâncias cada vez menores. Quanto maior a energia, maior será a 
proximidade entre elas.
Propiciadas as condições para que haja 
colisões, surge outro problema, o qual diz res-
peito à observação da colisão. Como não se tra-
ta de colisões análogas àquelas envolvendo bo-
las de bilhar, nas quais podemos olhar cada bola 
e acompanhar o que se sucede a cada instante de 
tempo da colisão, existe uma questão de funda-
mental importância que é a de “observar” coli-
sões envolvendo partículas tão diminutas.
Procura-se restringir a colisão a uma 
área restrita do acelerador. Nela, construída es-
pecialmente para esse fi m, as partículas efeti-
vamente colidem, e são instalados os detetores, 
dos quais existem muitos tipos. 
Nos casos mais simples, o que se observa é o número de partículas que saem.
41.10. Seção de Choque
Sendo ρ a densidade de partículas e 

V a sua velocidade, a densidade de corrente 
é defi nida por
= ρ
 
.J V
A taxa com que partículas atravessam uma área 

dA é
= ⋅


.
dN
J dA
dt
Fig. 41.16. Desvio de um feixe como resultado de uma força central.
(41.24)
(41.23)
466
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Para uma superfície perpendicular ao feixe, a intensidade é simplesmente:
I = J.
O número de partículas que atravessa uma superfície de área dA num intervalo de 
tempo infi nitesimal é
= .dN JdAdt
No que segue, consideraremos partículas colidindo com um alvo fi xo localizado 
na origem do sistema de coordenadas. Admitiremos o sistema de referência no alvo fi xo 
e tomamos o eixo z ao longo da direção do feixe. 
Podemos descrever a colisão com o alvo fi xo da seguinte forma: imaginando o 
feixe incidente na direção z, cada partícula contida nele será desviada numa direção bem 
defi nida. O feixe, no entanto, se espalhará nas mais diversas direções. Considerando-o 
com certa intensidade, pode-se medir experimentalmente o número de partículas espalha-
das por unidade de tempo numa determinada direção. Utilizamos as coordenadas (θ, ϕ) 
para caracterizar uma direção no espaço. 
Fig. 41.18. Espalhamento é um problema que envolve a dinâmica da interação.
Fig. 41.17. Ilustração, a partir de diferentes ângulos de visão, do desvio de um feixe de partículas por um centro de forças, nesse caso 
hipoteticamente localizado na origem do sistema de coordenadas. O feixe incide ao longo do eixo y. O ângulo sólido é identifi cado em 
amarelo. Quantas partículas sairão em determinado ângulo sólido?
(41.26)
(41.25)
467
CAPÍTULO 41: COLISÕES
Consideremos as direções delimitadas pelos ângulos
θ e θ + dθ
ϕ e ϕ + dϕ.
Defi nimos o ângulo sólido como uma medida da abertura das direções acima. O 
ângulo sólido dΩ é defi nido como:
dΩ = senθdθdϕ.
É fácil verifi car que o ângulo sólido associado à abertura de todo o espaço é
2
0 0
4 .d d sen d
π π
Ω ≡ θ θ ϕ = π∫∫ ∫ ∫
O número de partículas por unidade de tempo que são espalhadas numa determi-
nada direção (θ, ϕ), por unidade de tempo, será designado por
( , ) .e edN dN
dt dt
θ ϕ
=
É mais viável, no entanto, medir o número de partículas por unidade de tempo 
que são espalhadas num determinado ângulo sólido (dNΩ /dt). Essa é a informação que 
é acessível experimentalmente. Em muitos laboratórios, isso é feito variando o ângulo 
continuamente, deslocando o aparato de medida.
O número de partículas espalhadas ao longo de um determinado ângulo sólido é 
diretamente proporcionalà medida do mesmo. Assim, escrevemos
( , ) .edNdN d
dt dt
Ω θ ϕ= Ω
Fig. 41.19. A seção de choque é determinada por meio de métodos sofi sticados. CERN.
(41.30)
(41.28)
(41.29)
(41.27)
(41.31)
468
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Apesar de a contagem do número de partículas que emergem de um determinado 
ângulo sólido ser viável, experimentalmente, é mais interessante determinar o número 
daquelas espalhadas em relação ao número das que incidiram. A maneira usual de fazê-lo 
é defi nir a seção de choque diferencial, dσ como sendo dada pela relação
1( , ) ,dNd y
I dt
Ωσ θ =
onde I é a intensidade do feixe. Utilizando 41.30, obtemos que a seção de choque dife-
rencial é dada por
 1( , ) ( , ) .edNd y d
I dt
σ θ = θ ϕ Ω
41.11. A Seção de Choque de Espalhamento 
A seção de choque de espalhamento é igual ao número de partículas espalhadas 
por unidade de ângulo sólido e por unidade de tempo na direção θ e ϕ dividido pela in-
tensidade do feixe. Isto é:
1 ( , ).d dNe
d I dt
σ
= θ ϕ
Ω
Em geral a seção de choque depende apenas do ângulo de espalhamento. Nesse 
caso, integramos o ângulo sólido em relação ao ângulo ϕ e obtemos
1 ( )( ) 2 sen .dNd d
I dt
θ
σ θ = π θ θ
Defi nimos a seção de choque total em sendo a integral:
0
1 2( ) ( )s n .e edN dNd e d
I dt I dt
ππ
σ = θ Ω = θ θ θ∫ ∫
Qualquer que seja a seção de choque ela tem a dimensão de área:
[ ] [ ].Aσ =
Nas condições de incidência ao longo do eixo z, as partículas têm, a uma distância 
muito grande do alvo, uma velocidade 0v
 , a qual só tem componente ao longo do eixo z. 
Assim, escrevemos
0 .V v k= −


(41.34)
(41.35)
(41.36)
(41.37)
(41.38)
(41.32)
(41.33)
469
CAPÍTULO 41: COLISÕES
Cada uma das partículas no feixe incide a uma cer-
ta distância do eixo z (posicionado no centro do alvo). A 
essa distância, da partícula até o eixo z, damos o nome de 
parâmetro de impacto (b).
O módulo do momento angular (que, admitindo 
forças centrais, é conservado) é dado, em função da velo-
cidade inicial e do parâmetro de impacto, por:
L = mv0b,
onde b na equação acima é o parâmetro de impacto da 
colisão.
A taxa com que partículas atravessam uma área 
perpendicular ao feixe compreendida pelos círculos de 
raios b e b + db:
dA = 2πbdb.
Por unidade tempo, é:
2 .dN I bdb
dt
= + π
Dentro do contexto de uma descrição clássica, as partículas que incidirem na área 
41.10 emergirão do processo de colisão numa direção entre os ângulos θ e θ + dθ. Isto é
dNdN
dt dt
Ω=
Donde se conclui que
2 sen 2 ,2 sen ,edN dI bdb d I d
dt d
σ
π = θ π θ = π θ θ
Ω
e, portanto, a seção de choque é dada por
( ) ( ) .
s n
d b db
d e d
σ θ θ
=
Ω θ θ
Dessa forma, o problema da determinação da seção de choque se reduz àquele de de-
terminar a dependência do parâmetro de impacto como função do ângulo de espalhamento.
41.12. Forças Centrais: Espalhamento Rutherford
No caso do espalhamento devido a uma força repulsiva e central, a trajetória da 
partícula é tal que ela atinge um ponto de máxima aproximação do alvo. Esse ponto é 
representado na fi gura como o ponto A da trajetória.
Fig. 41.20. Seção de choque de espelhamento de Rutherford.
(41.39)
(41.40)
(41.41)
(41.42)
(41.43)
(41.44)
470
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Utilizando coordenadas polares esse ponto terá coordenadas (ρm, ϕm).
O ângulo de espalhamento θ se relaciona a esse ângulo através da relação:
θ = |π − 2ϕm|.
O ponto de máxima aproximação, por outro lado, é aquele para o qual a velocidade 
radial é nula. Nesse ponto, podemos escrever
2 2
0
2
² 1 1( ) ( ).
2m mm m
mb vL
E U U
m
= + ρ = + ρ
α ρ ρ
Esse ponto ρm depende, portanto, do parâmetro de impacto e da energia,
ρm = ρm(b, E).
O ângulo ϕm, por outro lado, é dado pela integral
2 2 2
.
2 ( ( ) / )m
m
Ld
m E U L m
∞
ρ
ρ
ϕ =
ρ − ρ − α ρ
∫
Lembrando que nas condições descritas anteriormente, a energia é dada por
2
0 .
2
mvE =
O ângulo ϕm será agora dado pela integral
2
2 2 2
( ) 0
/( ) .
1 / 2 /m
m
b
bd
b
b U mv
∞
ρ
ρ ρ
ϕ =
− ρ −
∫
Para um potencial repulsivo da forma
( ) .kU ρ =
ρ
A integral 41.48 pode ser realizada explicitamente. O resultado é
1/ 222
0arccos 1 .m
mv b
k
−
  
 ϕ = +    
Invertendo a relação acima e lembrando que 0 2
π − θ
ϕ = , obteremos
2
2
0
cotg .
2
k
b
mv
θ =  
 
(41.45)
(41.46)
(41.47)
(41.48)
(41.49)
(41.50)
(41.51)
(41.52)
(41.53)
471
CAPÍTULO 41: COLISÕES
E, utilizando 41.44, obtemos
( )
22
42
0
1 1 .
4 sen 2
d k
d mv
 Ω
=  Ω θ 
Essa expressão para a seção de choque de espalhamento, válida para um potencial 
repulsivo que varia com o inverso da distância, é conhecida como Seção de choque de 
espalhamento Rutherford.
(41.54)