Prova de algebra linear

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UFVJM

0

Máyra Leal Rodrigues

14.12.2017

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Sumário
1 Terceira Prova–P3 3
1.1 Espaço com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Norma e Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Diagonalização de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Diagonalização de Operadores . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos(ou Ma-
trizes Simétricas Reais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
2 SUMÁRIO
Livro texto: Álgebra Linear e Aplicações.
Autores: Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa.
Edição: 6a Edição reformulada.
CTT112-A,B e C
Prova Conteúdo Valor
P1 Capítulos 1 e 2 da parte 1 30
P2 Capítulos 3, 4 e 5 da parte 1 35
P3 Capítulos 6 e 7 da parte 1 e Capítulo 1 da parte 2. 35
PF Capítulos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 da parte 1 e Capítulo 1 da parte 2. 100
CTT112-A,B
Prova Data
P1 03/07/2017
P2 07/08/2017
P3 14/09/2017
PF 25-27/09/2017
CTT112-C
Prova Data
P1 28/06/2017
P2 09/08/2017
P3 06/09/2017
PF 25-27/09/2017
Capítulo 1
Terceira Prova–P3
1.1 Espaço com Produto Interno
1.1.1 Produto Interno
1. Prove que valem as seguintes propriedades para o produto interno:
P1. 〈0, u〉 = 0, ∀u ∈ V.
P2. 〈u, αv〉 = α〈u, v〉, ∀u, v ∈ V.
P3. 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉, ∀u, v, w ∈ V.
1.1.2 Norma e Distância
2. Prove que num espaço vetorial E com produto interno, todo conjunto
ortogonal X de vetores não-nulos é L.I..
3. Demonstre o Teorema de Pitágoras. Sejam E um espaço vetorial com
produto interno e u, v ∈ E tais que u ⊥ v. Então
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2
3
4 CAPÍTULO 1. TERCEIRA PROVA–P3
4. Mostre que se w =
1
‖v‖v então ‖w‖ = 1.
Resolução:
‖w‖ =√〈w,w〉 =√〈 1‖v‖v, 1‖v‖v
〉
=
√
1
‖v‖
〈
v,
1
‖v‖v
〉
=
√
1
‖v‖ ·
1
‖v‖ 〈v, v〉 =√(
1
‖v‖
)2
· 〈v, v〉 =
√(
1
‖v‖
)2
·√〈v, v〉 = 1‖v‖√〈v, v〉 = 1���‖v‖���‖v‖ = 1.
1.1.3 Processo de Gram-Schmidt
5. Aplique o processo de Gram-Schmidt à baseB = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}
do R3, considerando o produto interno usual nesse espaço para obter
uma base ortogonal C de R3.
Resolução:
C = {v1, v2, v3} =

 12
3
 ,
 01
2
 ,
 00
1

u1 =
 12
3
,
1.1. ESPAÇO COM PRODUTO INTERNO 5
w2 =
 01
2
− 〈(1, 2, 3), (0, 1, 2)〉〈(1, 2, 3), (1, 2, 3)〉
 12
3

=
 01
2
− 8
14
 12
3

=
 01
2
− 4
7
 12
3

=
1
7
 07
14
− 1
7
 48
12

= −1
7
−
 07
14
+
 48
12

= −1
7
 41
−2

u2 =
 41
−2

6 CAPÍTULO 1. TERCEIRA PROVA–P3
w3 =
 00
1
− 〈(1, 2, 3), (0, 0, 1)〉〈(1, 2, 3), (1, 2, 3)〉
 12
3
− 〈(4, 1,−2), (0, 0, 1)〉〈(4, 1,−2), (4, 1,−2)〉
 41
−2

=
 00
1
− 3
14
 12
3
− −2
21
 41
−2

=
1
42
 00
42
− 9
42
 12
3
+ 4
42
 41
−2

=
1
42
 00
42
− 1
42
 918
27
+ 1
42
 164
−8

=
1
42
 00
42
−
 918
27
+
 164
−8

=
1
42
 7−14
7

=
1
6
 1−2
1

u3 =
 1−2
1

C = {u1, u2, u3} =

 12
3
 ,
 41
−2
 ,
 1−2
1
.
Note que u1 ⊥ u2, u1 ⊥ u3, u2 ⊥ u3.
6. Aplique o processo de Gram-Schmidt à baseB = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}
1.2. DETERMINANTES 7
do R3, considerando o produto interno usual nesse espaço para obter
uma base ortogonal C de R3.
7. Aplique o processo de Gram-Schmidt à baseB = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}
do R3, considerando o produto interno usual nesse espaço para obter
uma base ortogonal C de R3.
8. Aplique o processo de Gram-Schmidt à baseB = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}
do R3, considerando o produto interno usual nesse espaço para obter
uma base ortogonal C de R3.
9. 1.2 Determinantes
1.2.1 Permutações
10. Calcule o sinal da permutação σ nos seguintes casos:
a) σ =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
b) σ =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
c) σ =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
d) σ =
(
1 2 3 4 5 6
4 5 6 1 2 3
)
1.2.2 Determinantes
11. Sem cálculo, prove que a matriz 3 −6 x1 −2 y
2 −4 z

tem determinante igual a zero quaisquer que sejam x, y, z ∈ R.
8 CAPÍTULO 1. TERCEIRA PROVA–P3
1.2.3 Cofatores
12. Calculo os cofatores de cada uma dos termos da matriz 1 2 10 1 2
2 3 1

1.2.4 Regra de Cramer
13. Resolva o seguinte sistema por escalonamento e pela Regra de Cramer

2x − y − 2z = 5
4x + y + 2z = 1
8x − y + z = 5
A =
 2 −1 −24 1 2
8 −1 1
 B =
 51
5

A1 =
 5 −1 −21 1 2
5 −1 1
 A2 =
 2 5 −24 1 2
8 5 1
 A3 =
 2 −1 54 1 1
8 −1 5

x1 =
detA1
detA
, x2 =
detA2
detA
, x3 =
detA3
detA
.
14. 1.3 Diagonalização de Operadores Lineares
1.3.1 Autovalores e Autovetores
15. Mostre que o polinômio característico da matrizA =
[
cosθ − sen θ
sen θ cosθ
]
só tem raiz real quando θ = 0 ou θ = pi.
16. Encontre os autovalores do operador cuja matriz na base canônica é
A =
 1 0 00 1 0
0 0 0

1.3. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 9
17. Calcule o polinômio característico e os autovalores das seguintes ma-
trizes:
a)
[
2 0
1 1
]
b)
[ −1 −1
−3 1
]
c)
[
2 1
0 1
]
d)
[ −1 −3
−1 1
]
1.3.2 Diagonalização de Operadores
18. Determine, se possível, uma matrizM ∈M2(R) de maneira queM−1AM
seja diagonal, nos seguintes casos:
a)
[
2 4
3 13
]
b)
[
3 −2
2 1
]
19. Determine uma matriz M ∈ M4(R) invertível, tal que M−1AM seja
diagonal, sendo
0 1 5 9
2 1 6 8
0 0 0 3
0 0 1 −2

20. Determine M ∈M3(R) invertível, tal que M−1AM seja diagonal, onde 2 0 43 −4 12
1 −2 5

10 CAPÍTULO 1. TERCEIRA PROVA–P3
1.3.3 Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos(ou
Matrizes Simétricas Reais)
21. Seja A ∈ L(R3) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica
é
(aij) =
 2 2 02 −1 0
0 0 2

a) Achar os autovalores de A.
b) Achar uma matrizM ortogonal
(
M−1 =MT
)
tal queM−1(aij)M =
D é uma matriz diagonal.
22. Seja A ∈ L(R3) definida por
A(x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z, x+ y + z)
a) Achar os autovalores de A.
b) Achar uma base ortonormal B do R3 tal que [A]B é diagonal.
c) Qual a matriz de mudança da base canônica do R3 para B?
	Terceira Prova–P3
	Espaço com Produto Interno
	Produto Interno
	Norma e Distância
	Processo de Gram-Schmidt
	Determinantes
	Permutações
	Determinantes
	Cofatores
	Regra de Cramer
	Diagonalização de Operadores Lineares
	Autovalores e Autovetores
	Diagonalização de Operadores
	Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos(ou Matrizes Simétricas Reais)