Caderno de Exercícios - Economia - Microeconomia - Parte 6

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50 
 
1
P
5,0
Pm5,0
m
dm
dy
y
m
yy
y =×==η 
g) Verifique que 0xxyxx =η+ε+ε , onde xxε , xyε e xη representam, 
respectivamente, a elasticidade procura-preço directa do bem X, a 
elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade 
procura-rendimento do bem X. 
0101Xxyxx =++−=η+ε+ε 
 
 51 
 
B. TEORIA DO PRODUTOR 
 
 
B.1. TECNOLOGIA 
B.1.1. Defina os seguintes conceitos: 
a) Factor produtivo 
 
b) Produtividade média 
Produto total por unidade de factor. 
c) Produtividade marginal 
Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro 
constante. 
d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes 
Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos, 
mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do 
produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do 
produto negativos. 
e) Rendimentos crescentes à escala 
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores 
produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%. 
f) Rendimentos constantes à escala 
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores 
produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%. 
g) Rendimentos decrescentes à escala 
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores 
produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%. 
 
 
B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: 32 LKLQ −= , em que K 
e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra-
se a produzir na dimensão 18K = . 
a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e 
produtividade marginal do factor L. 
Produto total: 32 LL18Q −= 
Produtividade média: 2LL18
L
Q −= 
Produtividade marginal: 2L3L36
L
Q −=∂
∂
 
 52 
 
b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do 
respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções. 
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L
PT
PMe
PMg
 
A função produto total apresenta dois zeros, para 0L = e 18L = . É crescente até 
12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente. 
Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( 0L = e 
18L = ). A função é crescente até 12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir 
daí é decrescente. 
A produtividade marginal apresenta dois zeros, para 0L = e 12L = . É crescente 
até 6L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente. 
c) Faça a leitura geométrica da produtividade média e produtividade marginal do 
factor L a partir do gráfico da produção total. 
Os zeros da produtividade média são os mesmos do produto total. Ou seja, 
produto total e produtividade média têm o mesmo sinal. 
O primeiro zero da produtividade marginal coincide com o primeiro zero do 
produto total; o segundo ocorre no ponto em que o produto total é máximo. 
Portanto, a produtividade marginal é positiva enquanto o produto total for 
crescente. 
d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade média e 
produtividade marginal do factor L. 
Os zeros do produto total e da produtividade média coincidem. 
O andamento da função produto total é dado pelo comportamento da sua 
derivada, que corresponde à produtividade marginal. Assim, a função produto 
total tem um máximo quando a produtividade marginal é zero. À esquerda desse 
ponto, a produtividade marginal é positiva, logo a função produto total é 
crescente; à sua direita, a produtividade marginal é negativa, pelo que a função 
produto total é decrescente. 
O máximo da produtividade média ocorre no ponto em que a curva desta 
intersecta a curva da produtividade marginal. À esquerda deste ponto, a 
 53 
 
produtividade marginal é superior à produtividade média, logo esta é crescente; à 
direita, a produtividade marginal é inferior à produtividade média, portanto esta 
é decrescente. 
e) A partir de que nível de utilização do factor L se começa a verificar a lei dos 
rendimentos marginais decrescentes? Justifique. 
A partir de 6L = , o aumento da quantidade de trabalho resulta em acréscimos do 
produto cada vez menores. O que corresponde ao estabelecido pela lei dos 
rendimentos marginais decrescentes. 
f) Qual o volume de produção para o qual é máxima a produtividade média do 
factor fixo? 
KQKPme = . Como K está fixo, a sua produtividade média será máxima quando o 
produto total for máximo, o que ocorre para 12L = . 
 
 
B.1.3. Uma função de produção Cobb-Douglas é dada por ( ) βα= yxAy,xf . O tipo de 
rendimentos à escala desta função vai depender dos valores de α+β. Relacione-os 
com os diferentes tipos de rendimentos à escala. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,xftyAxtytxAttytxAty,txf β+αβαβ+αββααβα ==== 
Se 1<β+α tem-se rendimentos decrescentes à escala (DRS). 
Se 1=β+α tem-se rendimentos constantes à escala (CRS). 
Se 1>β+α tem-se rendimentos crescentes à escala (IRS). 
 
 
B.1.4. Considere a expressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas com 
dois factores, trabalho (L) e capital (K): βα= KALy . 
a) Determine as expressões algébricas da produtividade média e da 
produtividade marginal de ambos os factores. 
β−α== KALLyLPme 1 
β−αα=∂∂= KALLyLPmg 1 
1KALKyKPme −βα== 
1KALKyKPmg −βαβ=∂∂= 
b) Verifique se se trata de uma função homogénea. Quais as condições que se 
têm de verificar para que o processo de produção que ela traduz admita 
rendimentos constantes, decrescentes ou crescentes à escala? 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →=== β+αβαβ+αβα K,LytKALttKtLAtK,tLy fç homogénea de grau α+β 
1<β+α → função homogénea de grau inferior a 1 → DRS 
1=β+α → função homogénea de garu 1 → CRS 
1>β+α → função homogénea de grau superior a 1 → IRS 
 54 
 
B.1.5. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendimentos à escala e 
produtividades marginais: 
a) 5,05,0 LK4y = 
( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtK4tL,tKy 5,05,0 CRS 
( ) 5,05,05,0 KL2KL45,0KyKPmg =×=∂∂= − 
( ) 5,05,05,0 LK2KL45,0LyLPmg =×=∂∂= − 
Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD. 
b) 22 LKy β+α= 
( ) ( ) ( ) →=β+α= yttLtKtL,tKy 222 IRS 
K2KyKPmg α=∂∂= 
L2LyLPmg β=∂∂= 
Ambas as produtividades marginais não obedecem à LRMD. O seu sinal depende 
dos parâmetros α e β. 
c) { }bL,aKminy = 
( ) { } →== tybtL,atKmintL,tKy CRS 
0KPmg = 
0LPmg = 
Ambas as produtividades marginais são nulas, não obedecendo à LRMD. 
d) L2K4y += 
( ) →=+= tytL2tK4tL,tKy CRS 
4KyKPmg =∂∂= 
2LyLPmg =∂∂= 
Ambas as produtividades marginais são positivas e não obedecem à LRMD. 
e) 6,05,0 LKy = 
( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtKtL,tKy 1,16,05,0 IRS 
( ) 1,05,05,06,0 LKL5,0KL5,0KyKPmg ==∂∂= − 
( ) 1,04,05,04,0 KLK6,0KL6,0LyLPmg ==∂∂= − 
Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD. 
 
 
B.1.6. Comente as seguintes afirmações: 
a) Desde que seja usado um só factor na produção de um bem e que a tecnologia 
apresente rendimentos decrescentes à escala, a produtividade marginal do 
factor é decrescente. 
Consideremos a seguinte função de produção ( )LfQ = . 
O Teorema de Euler estabelece que se ( )n21 x,,x,xfy K= é uma função 
homogénea de grau α , então y
x
y
x
n
1i i
i α=∂
∂∑
=
. No caso da função de produção 
considerada vem Q
L
Q
L α=∂
∂
. Como a tecnologia é DRS, 10 <α< pelo que 
Q
L
Q
L <∂
∂
. Dividindo tudo por L fica 
L
Q
L
Q <∂
∂
ou seja LPmeLPmg < . 
 55 
 
Mas se LPmeLPmg < , então a produtividade marginal é decrescente. Portanto, a 
frase é verdadeira.b) Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala então duplicar a 
quantidade usada de um factor de produção duplica a quantidade produzida. 
Falso, como se comprova pelo seguinte contra-exemplo. 5,05,0 LKQ = é uma função 
de produção que exibe CRS. Se 4K = e 9L = , então 6Q = . Duplicando apenas a 
quantidade de K, vem 485,8Q ≈ que não é, obviamente, o dobro da quantidade 
produzida inicial. 
c) Se a tecnologia apresenta rendimentos decrescentes à escala, então ao 
duplicar a produção, passamos para uma isoquanta inferior. 
Falso. As isoquantas são lugar geométrico das várias combinações de factores que 
permitem produzir uma mesma quantidade. Se a tecnologia é DRS, para se 
duplicar a produção, ter-se-á de mais que duplicar as quantidades utilizadas de 
factores. Se se está a aumentar as quantidades de factores, então está-se numa 
isoquanta superior. 
d) Se a tecnologia exibir rendimentos constantes à escala, então a produtividade 
marginal dos factores é constante. 
Falso. Basta tomar como contra-exemplo a alínea a) do exercício B.1.5. 
 
 56 
 
B.2. MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS 
B.2.1. Defina os seguintes conceitos: 
a) Custo fixo 
Custo que não varia com o nível de produção e que a empresa tem de suportar 
ainda que nada produza. 
b) Custo variável 
Custo que varia com o nível de produção 
c) Custo total 
Soma dos custos variáveis e custos fixos. 
d) Custo fixo médio 
Custo fixo por unidade produzida. 
e) Custo variável médio 
Custo variável por unidade produzida. 
f) Custo total médio 
Custo total por unidade produzida. 
g) Custo marginal 
Acréscimo no custo total por produzir mais uma unidade. 
 
 
 
B.2.2. Explique porque é que a curva de custo marginal intersecta as curvas de custo 
total médio e custo variável médio nos respectivos pontos mínimos. 
Admita-se que se está a produzir numa zona em que o custo médio é decrescente. 
Então, nesta zona, o custo marginal tem de ser inferior ao custo médio: a única forma 
de baixar uma média é adicionando-lhe números que lhe são inferiores. 
Analogamente, se o custo médio é crescente, o custo marginal tem de lhe ser 
superior. Sabe-se, então, que a curva do custo marginal fica abaixo da do custo médio 
à esquerda do mínimo desta; e acima à direita. O que implica que no ponto mínimo as 
duas curvas se intersectam. Este mesmo argumento se aplica ao caso da curva do 
custo variável médio. 
 
 
B.2.3. Os custos de uma empresa são mostrados parcialmente na tabela abaixo. Complete 
os espaços que estão em branco. 
Q CT CF CV CTMe CFMe CVMe CMg 
0 24 24 0 – – – – 
1 40 24 16 40 24 16 16 
2 74 24 50 37 12 25 34 
3 108 24 84 36 8 28 34 
 57 
 
4 160 24 136 40 6 34 52 
5 220 24 196 44 4,8 39,2 60 
6 282 24 258 47 4 43 62 
 
 
B.2.4. Para cada uma das situações seguintes, determine as estruturas de custos de 
curto e longo prazo. 
a) 5,05,0 LKQ = ; 1r = ; 4w = ; 2K = 
CURTO PRAZO 
225,05,0 Q5,0LL2QL2Q2K =⇔=⇔=⇒= 
2Q2CT21Q5,04CTrKwLCT 22 +=⇔×+×=⇔+= 
2Q2CV = 
2CF = 
Q
2
Q2
Q
2Q2
Q
CT
CTme
2
+=+== 
Q2
Q
Q2
Q
CV
CVme
2
=== 
Q
2
Q
CF
CFme == 
Q4QCTCmg =∂∂= 
LONGO PRAZO 
( )5,05,0
5,05,0
K,L LKQKL4
QLK.a.s
KL4CTmin
−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
QLK
1LK5,0
4LK5,0
0LKQ
0LK5,01
0LK5,04
0
0K
0L
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
 
( ) ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
−
−
QLL4
L4K
QLK
L4K
QLK
4
L
K
QLK
1
4
LK5,0
LK5,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
5,05,0
5,05,0
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=
Q5,0L
Q2K
Q5,0L
L4K
QL2
L4K
 
Q4CVCTQ21Q5,04CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+== 
4QQ4CVmeCTme === 
4QCTCmg =∂∂= 
b) 2,03,0 LKQ = ; 5r = ; 5w = ; 4K = 
CURTO PRAZO 
55,15,152,03,0 Q4LL4QL4Q4K −=⇔=⇔=⇒= 
20Q45CT45Q45CTrKwLCT 55,155,1 +×=⇔×+×=⇔+= −− 
55,1 Q45CV −×= 
20CF = 
Q
20
Q45
Q
20Q45
Q
CT
CTme 45,1
55,1
+×=+×== −
−
 
 58 
 
45,1
55,1
Q45
Q
Q45
Q
CV
CVme −
−
×=×== 
Q
20
Q
CF
CFme == 
45,1 Q425QCTCmg −×=∂∂= 
LONGO PRAZO 
( )2,03,0
2,03,0
K,L LKQK5L5
QLK.a.s
K5L5CTmin
−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
QLK
5LK3,0
5LK2,0
0LKQ
0LK3,05
0LK2,05
0
0K
0L
2,03,0
2,07,0
8,03,0
2,03,0
2,07,0
8,03,0
 
( ) ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
−
−
QLL5,1
L5,1K
QLK
L5,1K
QLK
1
L3
K2
QLK
5
5
LK3,0
LK2,0
2,03,02,03,0
2,03,02,03,0
2,07,0
8,03,0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
− 26,0
24,0
26,05,03,0 Q5,1L
Q5,1K
QL5,1
L5,1K
QL5,1
L5,1K
 
⇔×+×==⇔+== − 24,026,0 Q5,15Q5,15CVCTrKwLCVCT ( ) 26,0 Q55,15,1CVCT 4,0+== − ( ) ( ) Q55,15,1QQ55,15,1CVmeCTme 4,04,0 6,026,0 +=+== −− ( ) Q105,15,1QCTCmg 4,06,0 +=∂∂= − 
c) L2K4Q += ; 5r = ; 4w = ; 2K = 
CURTO PRAZO 
4Q5,0LL224Q2K −=⇔+×=⇒= 
( ) 1016Q2CT254Q5,04CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+= 
16Q2CV −= 
10CF = 
Q
6
2
Q
6Q2
Q
CT
CTme −=−== 
Q
16
2
Q
16Q2
Q
CV
CVme −=−== 
Q
10
Q
CF
CFme == 
2QCTCmg =∂∂= 
LONGO PRAZO 
Q25,0KK4Q0L8,0rw5,0TMST L,K =⇔=⇔=⇒=<= 
Q25,1CVCTQ25,0504CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+== 
25,1QQ25,1CVmeCTme === 
25,1QCTCmg =∂∂= 
d) L3KQ += ; 2r = ; 5,1w = ; 6K = 
CURTO PRAZO 
 59 
 
2Q31LL36Q6K −=⇔+=⇒= 
( ) 126Q5,0CT624Q315,1CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+= 
6Q5,0CV −= 
12CF = 
Q
6
5,0
Q
6Q5,0
Q
CT
CTme +=+== 
Q
6
5,0
Q
6Q5,0
Q
CV
CVme −=−== 
Q
12
Q
CF
CFme == 
5,0QCTCmg =∂∂= 
LONGO PRAZO 
Q31LL3Q0K75,0rw3TMST L,K =⇔=⇔=⇒=>= 
Q5,0CVCT02Q315,1CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+== 
5,0QQ5,0CVmeCTme === 
5,0QCTCmg =∂∂= 
e) { }L3,K2minQ = ; 8r = ; 12w = ; 9K = 
CURTO PRAZO 
6LL3189KL3K2 =⇔=⇔=∧= 
CF144CT98612CTrKwLCT ==⇔×+×=⇔+= 
0CV = 
Q
144
CFmeCTme == 
0CVme = 
LONGO PRAZO 
Q31LQ5,0KQL3K2 =∧=⇔== 
Q8CVCTQ5,08Q3112CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+== 
8QQ8CVmeCTme === 
8QCTCmg =∂∂= 
 
 
B.2.5. Considere a seguinte função de produção KL10Q = . 
a) Encontre as quantidades óptimas dos factores produtivos L e K necessários à 
produção de 1024 unidades de produto, tendo em conta que a empresa os 
adquire às taxas de 2 u.m. e 5 u.m., respectivamente. 
( )KL101024K5L2
1024KL10.a.s
K5L2CTmin
K,L −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=