Curso de cálculo avançado
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func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco sa\u2dco dadas por:
g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2192 G`(n, IR) g\u3b2\u3b1(x) = J\u3d5\u3b2\u3b1(x) (1.5.15)
isto e´, exactamente as mesmas func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco que surgiram na construc¸a\u2dco do fibrado
tangente! (ver (1.4.11)). So´ que aqui, a fibra tipo e´ o grupo de Lie G = G`(n, IR) e o
grupo de estrutura, tambe´m igual a G`(n, IR), actua na fibra tipo por multiplicac¸a\u2dco a`
esquerda, como mostra a fo´rmula (1.5.14).
Existe ainda uma acc¸a\u2dco natural de G`(n, IR) a` direita de F(M), definida por (ver
1.5.1):
(ex, g) 7\u2192 ex · g (1.5.16)
que e´ diferencia´vel e livre. A fibra pi\u22121(x) e´ igual a` o´rbita que passa em ex, desta acc¸a\u2dco:
ex ·G`(n, IR) = pi\u22121(x).
Uma secc¸a\u2dco (local) do fibrado F(M)\u2192 M diz-se um \u201creferencial mo´vel (local)\u201d,
ou um \u201ccampo (local) de referenciais\u201d em M . Referenciais mo´veis locais existem
sempre. No entanto referenciais mo´veis globais so´ existem em certos casos, exactamente
naqueles em que F(M) e´ trivial. Neste caso M diz-se \u201cparaleliza´vel\u201d. Um exemplo
importante e´ o dos grupos de Lie, como veremos futuramente.
Muitas \u201cestruturas geome´tricas\u201d em variedades definem (e podem ser definidas por)
uma classe especial de referenciais. Por exemplo, uma me´trica riemanniana g numa
variedade M , define a classe especial dos referenciais ortonormados, e rec`\u131procamente,
se soubermos quais os referenciais ortonormados podemos reconstruir a me´trica. Mais
concretamente, se escolhemos um campo (local) de referenciais \u3c3, num aberto U \u2286M :
\u3c3 : x 7\u2192 \u3c3(x) = [X1x · · ·Xnx] \u2208 B(TxM)
enta\u2dco existe uma u´nica metrica riemanniana g em U para a qual estes referenciais sa\u2dco
ortonormados. De facto se interpretarmos cada \u3c3(x) \u2208 B(TxM) como um isomorfismo:
\u3c3(x) : IRn \u2192 TxM
a me´trica g fica determinada pela condic¸a\u2dco:
gx(Vx,Wx)
def
= \u3c3(x)\u22121(Vx) \u2022 \u3c3(x)\u22121(Wx) \u2200Vx,Wx \u2208 TxM (1.5.17)
onde \u2022 representa o produto interno usual em IRn. Mas existe uma \u201cliberdade ou in-
varia\u2c6ncia de gauge\u201d na escolha do campo de referenciais \u3c3. De facto qualquer outra
secc¸a\u2dco que seja da forma:
\u3c3g(x)
def
= \u3c3(x) · g(x), x \u2208 U
1.5. Fibrado de Referenciais. Fibrados Principais 44
onde g : U \u2192 O(n, IR) \u2282 G`(n, IR) e´ uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel com valores no grupo
ortogonal O(n, IR), e · representa a acc¸a\u2dco direita (1.5.19):
IRn
g(x)\u2212\u2192 IRn \u3c3(x)\u2212\u2192 TxM
define a mesma me´trica g, dada por (1.5.17).
De facto, esta discussa\u2dco pode ser posta em termos mais formais, invocando o conceito
de \u201creduc¸a\u2dco\u201d do fibrado F(M), determinada por um subgrupo G do seu grupo de
estrutura G`(n, IR) (no exemplo anterior G = O(n, IR)). Formalmente, uma \u201creduc¸a\u2dco\u201d
do fibrado de referenciais F(M) por um subgrupo de Lie G em G`(n, IR), ou uma \u201cG-
estrutura\u201d na variedade M , e´ um subfibrado de F(M) em que o grupo de estrutura e
a fibra tipo sa\u2dco ambos G (em particular, existe um cociclo de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco que
tomam valores em G).
Neste contexto, uma me´trica riemanniana g determina uma O(n, IR)-estrutura dada
pelo fibrado O(M) dos referenciais ortonormados em M . Rec`\u131procamente, uma O(n, IR)-
estrutura em M , isto e´, uma reduc¸a\u2dco de F(M) pelo subgrupo ortogonal O(n, IR) \u2282
G`(n, IR), determina uma u´nica me´trica riemanniana g em M : se ex \u2208 O(M), interpre-
tado como um isomorfismo ex : IR
n \u2192 TxM , enta\u2dco:
gx(Vx,Wx)
def
= e\u22121x (Vx) \u2022 e\u22121x (Wx) \u2200Vx,Wx \u2208 TxM (1.5.18)
e esta definic¸a\u2dco e´ independente de qual o referencial ex escolhido na fibra O(M)x, por
cima de x (mais uma vez, esta e´ a manifestac¸a\u2dco da ja´ referida \u201cinvaria\u2c6ncia de gauge\u201d - o
\u201cgrupo de gauge\u201d da geometria riemanniana e´ O(n, IR).)
Vamos apenas referir mais alguns exemplos de G-estruturas. Assim uma G`+(n, IR)-
estrutura e´ equivalente a uma orientac¸a\u2dco em M , uma {e}-estrutura e´ equivalente a um
\u201cparalelismo absoluto\u201d deM , umaG`(n,C)-estrutura e´ equivalente a uma estrutura quasi-
complexa em M .
Para terminar e´ de referir o facto de que dado um subgrupo de Lie G \u2282 G`(n, IR),
pode na\u2dco existir uma G-estrutura associada, em M . Por exemplo, uma variedade pode
na\u2dco ser orienta´vel, ou pode na\u2dco ser paraleliza´vel, ... Estas e outras questo\u2dces podem ser
vistas em [St], por exemplo.
Da mesma forma que um espac¸o vectorial V pode ser constru´\u131do a partir do conjunto
das suas bases (ou referenciais), conforme se viu na secc¸a\u2dco 1.6.1, podemos construir \u201cfi-
brados associados\u201d ao fibrado de referenciais F(M). Assim por exemplo, o fibrado
tangente pode ser constru´\u131do a partir de F(M), de seguinte forma: em F(M) × IRn
consideramos a acc¸a\u2dco direita de G`(n, IR) definida por:
(ex, \u3be).g
def
= (ex · g, g\u22121\u3be)
(onde (ex, \u3be) \u2208 F(M) × IRn e g \u2208 G`(n, IR)), enta\u2dco TM e´ igual ao espac¸o de o´rbitas
desta acc¸a\u2dco. Ana`logamente, se defirmos agora uma outra acc¸a\u2dco direita de G`(n, IR) em
F(M)× IRn, atrave´s de:
(ex, \u3be).g
def
= (ex · g, gt\u3be)
1.5. Fibrado de Referenciais. Fibrados Principais 45
(onde (ex, \u3be) \u2208 F(M)× IRn e g \u2208 G`(n, IR)), enta\u2dco o correspondente espac¸o de o´rbitas e´
T \u2217M . De facto, como veremos num pro´ximo cap´\u131tulo, todos os fibrados tensoriais podem
ser obtidos a partir de F(M) por um processo ana´logo ao acima descrito.
1.5.3 Fibrados principais. Fibrados associados
(4) O fibrado de referenciais F(M) e as respectivas reduc¸o\u2dces sa\u2dco exemplos t´\u131picos de uma
classe mais geral de G-fibrados - os chamados fibrados principais.
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.22 ... Um \u201cfibrado principal\u201d P (M,G), e´ um G-fibrado sobre uma
variedade M , em que o grupo de estrutura e a fibra tipo sa\u2dco ambos iguais a um grupo de
Lie G, e a acc¸a\u2dco de G, como grupo de estrutura, na fibra tipo G, e´ dada pela multiplicac¸a\u2dco
a` esquerda.
Num fibrado principal P (M,G) existe sempre uma acc¸a\u2dco natural de G a` direita do
espac¸o total P :
(p, g) 7\u2192 Rg(p) = pg
que se define transportando para P a multiplicac¸a\u2dco de G a` direita de si pro´prio, atrave´s
de trivializac¸o\u2dces locais. Como as func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco actuam na fibra por multiplicac¸a\u2dco
a` esquerda, esta acc¸a\u2dco na\u2dco interfere com a multiplicac¸a\u2dco a` direita, o que torna poss´\u131vel a
definic¸a\u2dco de Rg.
Mais precisamente, seja \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)}\u3b1\u2208A um atlas de trivializac¸o\u2dces locais para
P (M,G). Enta\u2dco se x \u2208 U\u3b1, a fibra Px pode ser identificada com G atrave´s de:
\u3c6\u3b1,x : Px \u2192 G
Definimos enta\u2dco a acc¸a\u2dco direita de G em P , atrave´s da fo´rmula:
pg = Rg(p)
def
= \u3c6\u22121\u3b1,x
(
\u3c6\u3b1,x(p) g
)
(1.5.19)
Para ver que esta definic¸a\u2dco na\u2dco depende da trivializac¸a\u2dco escolhida, consideremos o cociclo
de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2212\u2192 Diff(G):
g\u3b2\u3b1(x) = \u3c6\u3b2,x \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1,x : G \u2212\u2192 G (1.5.20)
associada ao atlas \u3a6:
(U\u3b1 \u2229 U\u3b2)×G 3 (x, h)
\u3c6\u3b1 \u2197
pi\u22121(U\u3b1 \u2229 U\u3b2) \u2193 \u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1 \u2193
\u3c6\u3b2 \u2198
(U\u3b1 \u2229 U\u3b2)×G 3 (x, g\u3b2\u3b1(x)h)
4Secc¸a\u2dco facultativa.
1.5. Fibrado de Referenciais. Fibrados Principais 46
A fo´rmula (1.5.20) pode ser escrita:
\u3c6\u3b2,x(p) = g\u3b2\u3b1(x)\u3c6\u3b1,x(p) \u2200p \u2208 pi\u22121(x)
(no membro da direita a operac¸a\u2dco e´ a multiplicac¸a\u2dco no grupo G), e portanto \u2200g \u2208 G e
\u2200p \u2208 pi\u22121(U\u3b1 \u2229 U\u3b2) \u2282 P , temos que:
\u3c6\u22121\u3b2,x
(
\u3c6\u3b2,x(p) g
)
= \u3c6\u22121\u3b2,x
(
g\u3b2\u3b1(x)\u3c6\u3b1,x(p) g) = \u3c6
\u22121
\u3b1,x
(
\u3c6\u3b1,x(p) g
)
o que mostra que Rg(p) = pg esta´ bem definida. Vejamos algumas propriedades desta
acc¸a\u2dco direita:
\u2022 pi \u25e6Rg = pi, isto e´ Rg preserva as fibras de pi : P \u2192M .
\u2022 e´ livre: se Rg(p) = pg = p, enta\u2dco \u3c6\u3b1,x(p) g = \u3c6\u3b1,x(p) em G, e portanto g = e.
\u2022 e´ transitiva em cada fibra: se p, q \u2208 pi\u22121(x), existe um u´nico g \u2208 G tal que q = pg,
nomeadamente g = \u3c6\u3b1,x(p)
\u22121\u3c6\u3b1,x(q) \u2208 G.
Em particular, fica ainda provado que M e´ o espac¸o de o´rbitas da acc¸a\u2dco direita de G em
P .
E´ alia´s frequente encontrar a seguinte definic¸a\u2dco equivalente de fibrado principal (por
exemplo, em [KN], [PQ] ou [Sp]):
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.23 ... Seja \u3be = (P,M,G, pi) um fibrado diferencia´vel (definic¸a\u2dco 8),
cuja fibra tipo e´ um grupo de Lie G. Enta\u2dco \u3be diz-se um \u201cfibrado principal\u201d com \u201cgrupo
de gauge\u201d G, e nota-se por P (M,G), se G actua livremente a` direita de P (acc¸a\u2dco C\u221e),