Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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com grupo de gauge
G. Como U0 e U1 sa\u2dco contra´cteis (sa\u2dco homeomorfos a IR
n), a restric¸a\u2dco de P a U0 (resp.,
a U1) e´ necessa`riamente trivial:
pi\u22121(U0)
\u3c60\u2212\u2192 U0 ×G
pi \u2198 \u2199 pi1
U0
pi\u22121(U1)
\u3c61\u2212\u2192 U1 ×G
pi \u2198 \u2199 pi1
U1
Consideremos a func¸a\u2dco de transic¸a\u2dco g = g10 : U0\u2229U1 \u2192 G, definida por g(v) = \u3c61,v \u25e6\u3c6\u221210,v:
(U0 \u2229 U1)×G 3 (v, h)
\u3c60 \u2197
pi\u22121(U0 \u2229 U1) \u2193 \u3c61 \u25e6 \u3c6\u221210 \u2193
\u3c61 \u2198
(U0 \u2229 U1)×G 3 (v, g(v)h)
Como foi discutido na secc¸a\u2dco 1.3.2, qualquer outro fibrado pricipal P\u2dc (M,G) equivalente
a P (M,G) e´ definido por um cociclo cohomo´logo ao cociclo {g10, g01 = g\u2212110 }, isto e´ um
cociclo g\u2dc = g\u2dc10 : U0 \u2229 U1 \u2192 G tal que:
g\u2dc = \u3bb\u221211 g \u3bb0
onde \u3bb0 : U0 \u2192 G e \u3bb1 : U1 \u2192 G sa\u2dco duas aplicac¸o\u2dces diferencia´veis.
Em particular, se fixarmos um ponto v0 \u2208 SSn\u22121 = SSn \u2229 E , e se considerarmos as
aplicac¸o\u2dces constantes \u3bb0(v) \u2261 e, v \u2208 U0 e \u3bb1(v) \u2261 g(v0), v \u2208 U1, onde e e´ o elemento
neutro de G, o fibrado definido pelo cociclo g\u2dc = \u3bb\u221211 g \u3bb0 e´ equivalente a P (M,G), e
satisfaz a propriedade g\u2dc(v0) = e. Um tal fibrado diz-se que esta´ na \u201cforma normal\u201d
relativamente ao ponto v0.
Suponhamos enta\u2dco que P (SSn, G) e´ um fibrado principal sobre SSn, com grupo de
gauge G, e na forma normal relativamente ao ponto v0 \u2208 SSn\u22121 = SSn \u2229 E . Define-se
enta\u2dco a correspondente \u201cfunc¸a\u2dco caracter´\u131stica\u201d, T : SSn\u22121 \u2192 G, atrave´s de:
T = TP
def
= g|SSn\u22121 (1.6.13)
1.6. Mais Exemplos 60
Note que T (v0) = e e por isso devemos encarar T como uma aplicac¸a\u2dco pontuada:
T : (SSn\u22121;v0)\u2192 (G; e)
E´ fa´cil ver que toda a aplicac¸a\u2dco C\u221e, T : (SSn\u22121;v0)\u2192 (G; e), e´ a func¸a\u2dco caracter´\u131stica de
algum fibrado principal P (SSn, G) em forma normal relativamente ao ponto v0. De facto
basta construir o fibrado cujo cociclo de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco e´ constitu´\u131do pela aplicac¸a\u2dco
g : U0 \u2229 U1 \u2192 G, definida por:
g(v)
def
= T (\u3c1(v)) v \u2208 U0 \u2229 U1
onde:
\u3c1 : U0 \u2229 U1 \u2212\u2192 SSn\u22121 e´ definida por \u3c1(v) = \u3d51(v)\u2016\u3d51(v)\u2016
Note que \u3c1|SSn\u22121 = Id.
O nosso objectivo agora e´ provar um teorema de classificac¸a\u2dco de fibrados principais
P (SSn, G), em forma normal relativamente a um ponto fixo v0, em termos da respectiva
func¸a\u2dco caracter´\u131stica:
\u2663 Teorema 1.9 ... Sejam P = P (SSn, G) e P\u2dc = P\u2dc (SSn, G), dois fibrados principais
com grupo de gauge G, e em forma normal relativamente a um ponto fixo v0 \u2208 SSn\u22121.
Sejam T e T\u2dc as respectivas func¸o\u2dces caracter´\u131sticas. Enta\u2dco:
\u2022 P e P\u2dc sa\u2dco equivalentes se e so´ se existe um elemento a \u2208 G, tal que T\u2dc e´ homoto´pica
a (a\u22121 T a):
T\u2dc ' a\u22121 T a
\u2022 Se G e´ conexo por arcos, P e P\u2dc sa\u2dco equivalentes se e so´ se T\u2dc e´ homoto´pica a T :
T\u2dc ' T , isto e´, se e so´ se:
[T\u2dc ] = [T ] em [(SSn\u22121,v0), (G, e)] = pin\u22121(G) (1.6.14)
Por outras palavras, quando G e´ conexo por arcos, o conjunto das classes de equivale\u2c6ncia
de fibrados principais com grupo de gauge G, sobre SSn (n \u2265 2), esta´ em corre-
sponde\u2c6ncia bijectiva com as classes de homotopia em pin\u22121(G).
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco...
\u2022 Suponhamos que P e P\u2dc sa\u2dco equivalentes. Enta\u2dco como se referiu anteriormente, existem
aplicac¸o\u2dces \u3bb0 : U0 \u2192 G e \u3bb1 : U1 \u2192 G tais que g\u2dc = \u3bb\u221211 g \u3bb0 e portanto:
T\u2dc (v) = \u3bb\u221211 (v)T (v)\u3bb0(v) \u2200v \u2208 SSn\u22121
Como T (v0) = T\u2dc (v0) = e, \u3bb0(v0) = \u3bb1(v0) = a \u2208 G, para algum a \u2208 G. Por outro lado
SSn\u22121 e´ contract´\u131vel sobre v0, em Di = \u3d5\u22121i (B(0, 1)) \u2282 E (i = 0, 1), por uma homotopia
Hi que deixa v0 fixo, nomeadamente:
Hi : (SSn\u22121 × I, {v0} × I) \u2212\u2192 Di Hi(v, t) = \u3d5\u22121i (v + t(v0 \u2212 v))
1.6. Mais Exemplos 61
As aplicac¸o\u2dces (i = 0, 1):
hi
def= (\u3bbi \u25e6Hi) : SSn\u22121 × I \u2212\u2192 G
sa\u2dco homotopias entre \u3bbi|SSn\u22121 e a aplicac¸a\u2dco constante SSn\u22121 \u2192 G, que envia v em a, e
portanto:
H\u2dc : SSn\u22121 × I \u2212\u2192 G H\u2dc(v, t) = h\u221211 (v, t)T (v)h0(v, t)
e´ uma homotopia entre T\u2dc e (a\u22121 T a), enviando sempre v0 em e, i.e., H\u2dc(v0, t) \u2261 e, \u2200t.
\u2022 Rec`\u131procamente, suponhamos que T\u2dc ' a\u22121 T a, para algum a \u2208 G. Em primeiro lugar
notemos que podemos supo\u2c6r que a = e e que portanto T\u2dc ' T . De facto, definindo:
\u3bb0(v) = a \u2200v \u2208 U0 \u3bb1(v) = a \u2200v \u2208 U1
enta\u2dco o cociclo g\u2032 = \u3bb\u221211 g\u3bb0 : U0 \u2229 U1 \u2192 G define um fibrado principal P \u2032(M,G) equiva-
lente a P (M,G), e com aplicac¸a\u2dco caracter´\u131stica T \u2032 = a\u22121Ta, o que permite substituir se
necessa´rio, P por P \u2032 no enunciado.
Agora T\u2dc ' T , implica que T\u2dc T\u22121 e´ homoto´pica a alguma aplicac¸a\u2dco constante de (SSn\u22121;v0)
em (G; e) e portanto T\u2dc T\u22121 (6), prolonga-se a uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel:
\u3bd : D0 \u2192 G
nomeadamente:
\u3bd(\u3d5\u221210 (tv)) = F (v, 1\u2212 t) \u2200v \u2208 SSn\u22121 \u2200t \u2208 I
onde SSn\u22121× I F\u2192 SSn\u22121 e´ uma homotopia diferencia´vel entre T\u2dc T\u22121 e uma tal aplicac¸a\u2dco
constante.
Definamos agora:
\u3bb0(v) =
{
g(v)\u22121g\u2dc(v) se v \u2208 D1 \u2229 U0
\u3bd(v) se v \u2208 D0
Como \u3bd(v) = g\u2dc(v)g(v)\u22121, em (D1 \u2229U0)\u2229D0 = SSn\u22121, \u3bb0 : U0 \u2192 G e´ uma aplicac¸a\u2dco C\u221e
bem definida em U0. Seja V1 o interior de D1. Se em vez do cociclo g : U0 \u2229 U1 \u2192 G que
define P , usamos o cociclo g\u2032 = g|U0\u2229V1 : U0\u2229V1 \u2192 G, obtemos um fibrado P \u2032 equivalente
a P , uma vez que os respectivos cociclos sa\u2dco cohomo´logos. Ana`logamente, P\u2dc e´ equivalente
a um fibrado P\u2dc \u2032 obtido pelo mesmo processo. Consideremos agora:
\u3bb1(v) \u2261 e \u2200v \u2208 V1
Temos enta\u2dco que:
g\u2dc(v) = \u3bb\u221211 (v)g(v)\u3bb0(v) \u2200v \u2208 U0 \u2229 V1
o que implica que P \u2032 e P\u2dc \u2032 sa\u2dco equivalentes e portanto P e P\u2dc tambem o sa\u2dco.
¤.
Exemplos ...
6Note que aqui T\u22121 e´ a aplicac¸a\u2dco v 7\u2192 [T(v)]\u22121 \u2208 G
1.7. Subvariedades. Imerso\u2dces, Submerso\u2dces, Mergulhos. 62
(i). O conjunto das classes de equivale\u2c6ncia de fibrados principais com grupo de gauge G =
U(1) \u223c= SS1, sobre SS2, esta´ em corresponde\u2c6ncia bijectiva com as classes de homotopia em
pi1(U(1)) = IZ. Portanto sa\u2dco classificados por um inteiro a que se da´ o nome de \u201cnu´mero de
Chern\u201d (em F´\u131sica, tambe´m chamado \u201cnu´mero de instanta\u2dco\u201d ou \u201ccarga topolo´gica\u201d) do
fibrado. Por exemplo a fibrac¸a\u2dco de Hopf considerada na secc¸a\u2dco 1.3.3., corresponde ao nu´mero
de Chern 1.
(ii). Da mesma forma, o conjunto das classes de equivale\u2c6ncia de fibrados principais com
grupo de gauge G = SU(2) \u223c= SS3, sobre SS4, esta´ em corresponde\u2c6ncia bijectiva com as classes
de homotopia em pi3(SU(2)) = IZ. Portanto sa\u2dco classificados por um inteiro a que se da´ ainda o
nome de \u201cnu´mero de Chern\u201d (em F´\u131sica, tambe´m chamado \u201cnu´mero de instanta\u2dco\u201d ou \u201ccarga
topolo´gica\u201d) do fibrado. Um tal exemplo pode ser obtido atrave´s de uma construc¸a\u2dco em tudo
ide\u2c6ntica a` usada na secc¸a\u2dco 1.3.3., para a fibrac¸a\u2dco de Hopf, substituindo C por IH, o corpo na\u2dco
comutativo dos quaternio\u2dces.
1.7 Subvariedades. Imerso\u2dces, Submerso\u2dces, Mergu-
lhos.
Comecemos por recordar a noc¸a\u2dco de subvariedade, introduzida ja´ na secc¸a\u2dco I.1.1.
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.24 ... Seja (M,F) uma variedade de dimensa\u2dco n. Um subconjunto
S \u2282 M diz-se uma \u201csubvariedade de dimensa\u2dco\u201d k \u2264 n, em M , se cada ponto p \u2208 S
pertence ao dom\u131´nio de alguma carta (U,\u3d5) \u2208 F , e se existe um aberto V \u2282 IRn, tal que:
\u3d5(U \u2229 S) = V \u2229 (IRk × {0})
= {v = (v1, · · · , vn) \u2208 V : vk+1 = · · · = vn = 0} (1.7.1)
Uma tal carta (U,\u3d5) diz-se uma \u201ccarta de subvariedade\u201d para S \u2282M .
E´ evidente que neste caso, FS = {(U \u2229S, \u3d5|U\u2229S} e´ um atlas de classe C\u221e para S, quando
(U,\u3d5) varia sobre todas as cartas de subvariedade poss´\u131veis. Por isso S, munida da
topologia induzida, e´ ela pro´pria uma variedade de dimensa\u2dco k.
Esta\u2dco neste caso as subvariedades de IRn, estudadas no curso de Geometria Diferencial
(ver [Tav]).
Vejamos agora algumas definic¸o\u2dces ba´sicas.
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.25 ... Sejam N,M duas variedades diferencia´veis, F : N \u2192 M uma
aplicac¸a\u2dco diferencia´vel e para cada x \u2208 N , dFx : TxN \u2192 TF (x)M a respectiva diferencial
em x. Enta\u2dco:
\u2022 F diz-se uma \u201cimersa\u2dco em x\u201d, se dFx e´ injectiva. F diz-se uma \u201cimersa\u2dco\u201d se
dFx e´ injectiva \u2200x \u2208 N .
1.7. Subvariedades. Imerso\u2dces, Submerso\u2dces, Mergulhos. 63
\u2022 F diz-se uma \u201csubmersa\u2dco em x\u201d, se dFx e´ sobrejectiva. F diz-se uma \u201csub-
mersa\u2dco\u201d se dFx e´ sobrejectiva \u2200x \u2208 N .
\u2022 F diz-se um \u201cmergulho\u201d se F e´ uma imersa\u2dco injectiva que