Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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e´ tambe´m um home-
omorfismo sobre a imagem F (N) \u2282 M , quando nesta se considera a topologia in-
duzida pela topologia de M .
\u2022 Um ponto x \u2208 N diz-se um \u201cponto cr´\u131tico\u201d de F se dFx : TxN \u2212\u2192 TF (x)M tem
caracter´\u131stica < m = dimM . Um \u201cvalor cr´\u131tico\u201d de F e´ imagem de um ponto
cr´\u131tico de F .
\u2022 Um ponto y \u2208M diz-se um \u201cvalor regular\u201d de F se y 6\u2208 F (N) ou se y \u2208 F (N) e
dFx : TxN \u2212\u2192 TF (x)M e´ sobrejectiva em todos os pontos x \u2208 F\u22121({y}).
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.26 ... Seja M uma variedade diferencia´vel, e S um subconjunto de
M .
\u2022 S \u2282 M diz-se uma \u201csubvariedade imersa\u201d em M se S e´ imagem de alguma
imersa\u2dco injectiva: S = F (N) onde F : N \u2192M e´ uma imersa\u2dco injectiva.
\u2022 S \u2282M diz-se uma \u201csubvariedade mergulhada\u201d em M , se S e´ imagem de algum
mergulho: S = F (N) onde F : N \u2192M e´ um mergulho.
Quando F : N \u21aa\u2192M e´ um mergulho (ou apenas uma imersa\u2dco) e´ usual identificar TxN
com o subespac¸o dFx(TxN) \u2282 TF (x)M .
O nosso objectivo agora e´ analisar a forma local das imerso\u2dces e submerso\u2dces.
\u2663 Teorema 1.10 (\u201c Forma local das imerso\u2dces\u201d)... Seja F : Nn \u2192 Mm uma
aplicac¸a\u2dco diferencia´vel, e suponhamos que dFx : TxN \u2212\u2192 TF (x)M e´ injectiva em x (e
portanto injectiva numa certa vizinhanc¸a de x, isto e´, F e´ uma imersa\u2dco numa certa
vizinhanc¸a de x).
Enta\u2dco existem cartas locais (U,\u3d5) em N , e (V, \u3c8) em M , com x \u2208 U , F (x) \u2208 V tais
que o diagrama seguinte e´ comutativo:
U \u2282 N F\u2212\u2192 V \u2282M
\u3d5 \u2193 \u2193 \u3c8
IRn
\u3b9\u2212\u2192 IRm
onde \u3b9 : IRn \u21aa\u2192 IRm e´ a inclusa\u2dco usual:
\u3b9 : (x1, · · · , xn) 7\u2192 (x1, · · · , xn, 0, · · · , 0)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Consideremos cartas locais \u3d5 em N , e \u3c8 em M , em torno de x e F (x)
respectivamente, e tais que \u3d5(x) = 0 \u2208 IRn e \u3c8(F (x)) = 0 \u2208 IRm. Enta\u2dco a representac¸a\u2dco
local de F nestas cartas e´ a aplicac¸a\u2dco F = \u3c8 \u25e6F \u25e6\u3d5\u22121, definida numa certa vizinhanc¸a de
1.7. Subvariedades. Imerso\u2dces, Submerso\u2dces, Mergulhos. 64
0 \u2208 IRn e com valores em IRm, e cuja diferencial dF0 : IRn \u2192 IRm e´ injectiva. Podemos
ainda supo\u2c6r (mudando coordenadas se necessa´rio em IRm) que a imagem dF0(IRn) \u2282 IRm
e´ o primeiro factor em IRn× IRm\u2212n. Portanto, durante a prova IRm sera´ considerado como
IRm = IRn × IRm\u2212n e a inclusa\u2dco \u3b9 sera´ \u3b9(x) = (x,0), com x \u2208 IRn.
Consideremos agora a aplicac¸a\u2dco, definida numa certa vizinhanc¸a de (0,0) \u2208 IRn× IRm\u2212n,
atrave´s de:
G(x,y) def= F(x) + (0,y) (x,y) \u2208 IRn × IRm\u2212n
Enta\u2dco G(x,0) = F(x) e dG0 : IRm \u2192 IRm e´ a identidade, o que implica pelo teorema da
inversa\u2dco local, que G e´ um difeomorfismo local numa certa vizinhanc¸a de 0 \u2208 IRm. Seja
H = G\u22121, o difeomorfismo inverso. Enta\u2dco, numa certa vizinhanc¸a de 0 \u2208 IRm temos que:
HF(x) = HG(x,0) = (x,0)
Resta substituir a carta \u3c8 porH\u25e6\u3c8 (poss`\u131velmente restringindo o dom\u131´nio), para concluir.
¤.
\u2663 Teorema 1.11 (\u201cForma local das submerso\u2dces\u201d)... Seja F : Nn \u2192Mm uma
aplicac¸a\u2dco diferencia´vel, e suponhamos que dFx : TxN \u2212\u2192 TF (x)M e´ sobrejectiva em x (e
portanto sobrejectiva numa certa vizinhanc¸a de x, isto e´, F e´ uma submersa\u2dco numa certa
vizinhanc¸a de x).
Enta\u2dco existem cartas locais (U,\u3d5) em N , e (V, \u3c8) em M , com x \u2208 U , F (x) \u2208 V tais
que o diagrama seguinte e´ comutativo:
U \u2282 N F\u2212\u2192 V \u2282M
\u3d5 \u2193 \u2193 \u3c8
IRn
pi\u2212\u2192 IRm
onde pi : IRn \u2192 IRm e´ a projecc¸a\u2dco:
pi : (x1, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) 7\u2192 (x1, · · · , xm)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Consideremos cartas locais \u3d5 em N , e \u3c8 em M , em torno de x e F (x)
respectivamente, e tais que \u3d5(x) = 0 \u2208 IRn e \u3c8(F (x)) = 0 \u2208 IRm. Enta\u2dco a representac¸a\u2dco
local de F nestas cartas e´ a aplicac¸a\u2dco F = \u3c8 \u25e6F \u25e6\u3d5\u22121, definida numa certa vizinhanc¸a de
0 \u2208 IRn e com valores em IRm, e cuja diferencial dF0 : IRn \u2192 IRm e´ sobrejectiva. Podemos
ainda supo\u2c6r (mudando coordenadas se necessa´rio em IRn) que o nu´cleo ker dF0 \u2282 IRn e´ o
segundo factor em IRn = IRm × IRn\u2212m. Portanto, durante a prova IRn sera´ considerado
como IRn = IRm × IRn\u2212m e a projecc¸a\u2dco pi sera´ pi(x,y) = x.
Consideremos agora a aplicac¸a\u2dco, definida numa certa vizinhanc¸a de (0,0) \u2208 IRm × IRn\u2212m
e com valores em IRn, atrave´s de:
G(x,y) def= (F(x,y),y) (x,y) \u2208 IRm × IRn\u2212m
1.7. Subvariedades. Imerso\u2dces, Submerso\u2dces, Mergulhos. 65
Enta\u2dco G(0,0) = 0 e dG0 : IRn \u2192 IRn e´ a sobrejectiva e portanto e´ um isomorfismo.
Pelo teorema da func¸a\u2dco inversa, G e´ um difeomorfismo local numa certa vizinhanc¸a de
0 \u2208 IRn. Seja H = G\u22121, o difeomorfismo inverso. Como G fixa a segunda coordenada y,
a sua inversa tem a mesma propriedade: H(x,y) = (K(x,y),y), e portanto, numa certa
vizinhanc¸a de 0 \u2208 IRn temos que:
(x,y) = (G \u25e6H)(x,y) = G(K(x,y),y)
=
(
F(K(x,y),y),y
)
=
(
(F \u25e6H)(x,y),y) =\u21d2 (F \u25e6H)(x,y) = x
Resta substituir a carta \u3d5 porG\u25e6\u3d5 (poss`\u131velmente restringindo o dom\u131´nio), para concluir.
¤.
\u2663 Teorema 1.12 ... Seja F : N \u2192 F (N) = S \u2282 M um mergulho, (isto e´: F e´ uma
imersa\u2dco injectiva que e´ tambe´m um homeomorfismo sobre a imagem S = F (N) \u2282 M ,
munida da topologia induzida. Portanto S e´ uma subvariedade mergulhada em M).
Enta\u2dco S e´ uma subvariedade de M (definic¸a\u2dco 4) e F : N \u2192 S e´ um difeomorfismo.
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco...
Seja x \u2208 N um qualquer ponto de N . Como F e´ uma imersa\u2dco em x, existem cartas locais
(U,\u3d5) em N , e (V, \u3c8) em M , com x \u2208 U e F (x) \u2208 V , e tais que em \u3d5(U) \u2282 IRn:
F = \u3c8 \u25e6 F \u25e6 \u3d5\u22121 : x 7\u2192 (x,0) \u2208 IRn × {0}
Como F e´ um homeomorfismo sobre S, F (U) e´ um aberto em S, e como S esta´ munida
da topologia induzida, F (U) = W \u2229 S, onde W e´ um aberto em M que contem F (x).
Temos enta\u2dco que a carta (V \u2229W,\u3c8|V \u2229W ) e´ uma carta de subvariedade, ja´ que:
\u3c8(S \u2229 V \u2229W ) = (IRn × {0}) \u2229 \u3c8(V \u2229W )
e portanto S e´ subvariedade de M . Como F : N \u2192 S = F (N) e´ bijectiva e localmente
invers´\u131vel, F e´ um difeomorfismo.
¤.
\u2663 Teorema 1.13 ... Seja F : Mm \u2192 Nn uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel, e y \u2208 N um
valor regular de F .
Enta\u2dco S = F\u22121({y}) e´ uma subvariedade de M , de codimensa\u2dco n (e portanto de
dimensa\u2dco m\u2212 n). Ale´m disso:
TxS = ker
(
dFx : TxM \u2192 TF (x)N
)
(1.7.2)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Seja x \u2208 S. Enta\u2dco dFx e´ sobrejectiva, e pela forma local das submerso\u2dces,
existem cartas locais (U,\u3d5) em M , e (V, \u3c8) em N , com x \u2208 U e y = F (x) \u2208 V , e tais que
em \u3d5(U) \u2282 IRm:
F = \u3c8 \u25e6 F \u25e6 \u3d5\u22121 : (x,y) 7\u2192 x \u2208 IRn (x,y) \u2208 IRn × IRm\u2212n
1.7. Subvariedades. Imerso\u2dces, Submerso\u2dces, Mergulhos. 66
Portanto os u´nicos pontos de U cuja imagem e´ constante e igual a y, sa\u2dco os pontos cujas
primeiras n \u3d5-coordenadas sa\u2dco nulas:
U \u2229 S = \u3d5(U) \u2229 ({0} × IRm\u2212n)
o que mostra que S e´ subvariedade de dimensa\u2dco m\u2212 n em M .
Seja Xx \u2208 TxS. Enta\u2dco existe uma curva diferencia´vel \u3b1 : I \u2192 S tal que \u3b1(0) = x e
\u3b1\u2032(0) = Xx. Como (F \u25e6 \u3b1)(t) \u2261 y, vem que 0 = (F \u25e6 \u3b1)\u2032(0) = dFx(\u3b1\u2032(0)) = dFx(Xx), o
que mostra que TxS \u2286 ker dFx. Como ambos te\u2c6m a mesma dimensa\u2dco m\u2212 n, conclu´\u131mos
que TxS = ker dFx.
¤.
Exemplos ...
(i)... A esfera SSn \u2282 IRn+1 e´ uma subvariedade de codimensa\u2dco 1 em IRn+1. De facto, se
f : IRn+1 \u2192 IR e´ dada por f(x) = \u2016x\u20162, enta\u2dco SSn = f\u22121({1}), e 1 e´ valor regular de f . Com
efeito, \u2200x \u2208 IRn+1, \u2200v \u2208 TxIRn+1 \u223c= IRn+1, temos que dfx(v) = 2(x · v) que e´ uma aplicac¸a\u2dco
linear sobrejectiva sempre que x 6= 0.
(ii)... O conjunto M def= M (r)k,d(IR) das matrizes (k × d) (com 1 \u2264 k \u2264 d) que te\u2c6m
caracter´\u131stica constante e igual a r (onde 1 \u2264 r \u2264 k) e´ uma subvariedade de codimensa\u2dco
(k \u2212 r)(d\u2212 r) em Mk,d(IR) \u223c= IRkd, e portanto de dimensa\u2dco dimM = r(d+ k \u2212 r).
Com efeito, seja m \u2208 M . m representa uma aplicac¸a\u2dco linear m : IRd \u2192 IRk, e escolhendo
bases apropriadas para IRd e IRk, podemos supo\u2c6r que m tem a forma:
m =
[
a b
c d
]
onde a \u2208 G`(r, IR) e´ uma matriz r × r invers´\u131vel. O conjunto:
U
def= {
[
x y
z w
]
: x matriz r × r invers´\u131vel}
e´ um aberto em Mk,d(IR) \u223c= IRkd que contem m. Por outro lado:
A matriz
[
x y
z w
]
\u2208 U tem caracter´\u131stica r, se e so´ se w \u2212 zx\u22121y = 0
Com efeito, a matriz k × k,
[
1r 0
\u2212zx\u22121 1k\u2212r
]
e´ invers´\u131vel e:
[
1r 0
\u2212zx\u22121 1k\u2212r
] [
x y
z w
]
=
[