Curso de cálculo avançado
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na origem, em IR3 \u2212 {0}.
(ii). A distribuic¸a\u2dco D de dimensa\u2dco 2 em IR3, onde D(x,y,z) e´ igual ao plano perpendicular
ao vector n(x, y, z) = (y,\u2212x, 1) (com a identificac¸a\u2dco usual TxIR3 \u223c= IR3), na\u2dco admite variedades
integrais (superf´\u131cies) que passem em 0. Se houvesse uma tal superf´\u131cie, ela seria tangente na
origem ao plano xy. No entanto um pequeno lacete nessa superf´\u131cie, envolvendo o eixo dos zz,
na\u2dco poderia existir. De facto, nem sequer poderia fechar, ja´ que a sua z-coordenada cresce,
sempre que se completa uma volta em torno do eixo dos zz.
Uma base para D e´ por exemplo constitu´\u131da pelos campos de vectores:
X1 =
\u2202
\u2202y
+ x
\u2202
\u2202z
X1 =
\u2202
\u2202x
\u2212 y \u2202
\u2202z
Note que [X1, X2] = \u22122 \u2202\u2202z 6\u2208 \u393(D), ja´ que (0, 0,\u22122) nunca e´ perpendicular a n(x, y, z) =
(y,\u2212x, 1). Portanto D na\u2dco e´ involutiva.
(iii). Seja pi : E \u2192 M uma submersa\u2dco e consideremos o subfibrado kerTpi \u2282 TE. A
distribuic¸a\u2dco D = kerTpi e´ involutiva ja´ que se X,Y \u2208 \u393(kerTpi), sa\u2dco campos de vectores em E
que pertencem a kerTpi, enta\u2dco Tpi[X,Y ] = 0. D = kerTpi e´ tambe´m integra´vel, ja´ que \u2200p \u2208 E,
a subvariedade pi\u22121({pi(p)}) e´ variedade integral de D.
(iv). Seja M = SO(3). O espac¸o tangente a` unidade 1 \u2208 SO(3), e´ constitu´\u131do por todas as
matrizes (3× 3) reais anti-sime´tricas:
T1SO(3) = so(3) = {\u3be \u2208M3(IR) : \u3be = \u2212\u3bet}
1.9. Distribuic¸o\u2dces. Teorema de Frobenius 76
Consideremos agora o seguinte subespac¸o de dimensa\u2dco 2 em T1SO(3):
D1 def= {\u3be \u2208 T1SO(3) : \u3be =
\uf8ee\uf8f0 0 0 \u2212y0 0 x
y \u2212x 0
\uf8f9\uf8fb , x, y \u2208 IR}
e a distribuic¸a\u2dco D em M = SO(3) definida por:
A \u2208 SO(3) 7\u2192 DA def= {XA \u2208 TASO(3) : A\u22121XA \u2208 D1 }
D na\u2dco e´ involutiva. O pare\u2c6ntisis de Lie dos campos correspondentes a x = 1, y = 0 e x = 0, y = 1,
na\u2dco pertence a D.
(v). O conceito de distribuic¸a\u2dco surge no contexto dos sistemas de equac¸o\u2dces a`s derivadas
parciais de primeira ordem homoge´neos, do tipo seguinte:
Xj(f) = 0 j = 1, · · · , k (1.9.3)
onde {Xi}i=1,··· ,k e´ um conjunto de k campos de vectores numa variedade Mn, linearmente
independentes em cada ponto. Localmente, num sistema de coordenadas locais (U ;xi) o sistema
escreve-se na forma: \u2211
i
aij(x)
\u2202
\u2202xi
(f) = 0 j = 1, · · · , k (1.9.4)
onde aij \u2208 C\u221e(U). O problema consiste em determinar uma func¸a\u2dco f(x1, · · · , xn) \u2208 C\u221e(U), que
satisfac¸a o sistema de equac¸o\u2dces a`s derivadas parciais de primeira ordem (1.9.4). Uma tal func¸a\u2dco
(se existir) diz-se uma \u201cfunc¸a\u2dco integral\u201d ou um \u201cintegral primeiro\u201d do sistema (1.9.4).
Em termos geome´tricos, o conjunto de k campos de vectores em Mn, {Xi}i=1,··· ,k, definem
uma distribuic¸a\u2dcoD emM , e (1.9.3) traduz-se no problema de encontrar uma func¸a\u2dco f \u2208 C\u221e(M),
tal que:
X(f) = 0 \u2200X \u2208 \u393(D)
ou ainda, tal que:
dfx(Dx) = 0 \u2200x \u2208M
Note que, se D admite variedades integrais (conexas), enta\u2dco f sera´ constante em cada variedade
integral (da´\u131 o nome \u201cintegral primeiro\u201d para f).
Dada uma distribuic¸a\u2dco D de dimensa\u2dco k numa variedade diferencia´vel M , po\u2dce-se natural-
mente o problema de determinar variedades integrais para D a partir de integrais primeiros.
Assim suponhamos que e´ poss´\u131vel encontrar um tal f , tal que dfx 6= 0, \u2200x. As hipersuperf´\u131cies
de n´\u131vel:
Nf (c)
def= {x \u2208M : f(x) \u2261 c} c \u2208 f(M) \u2286 IR
verificam Dx \u2286 Tx(Nf (c)). Portanto, se existir uma variedade integral, ela estara´ contida em
algum Nf (c). Mais geralmente, se fo\u2c6r poss´\u131vel encontrar (n\u2212k) integrais primeiros f1, · · · , fn\u2212k,
que sejam \u201cfuncionalmente independentes\u201d num aberto U \u2286 M (isto e´, as diferenciais dfx
sa\u2dco linearmente independentes em cada ponto x \u2208 U), enta\u2dco as subvariedades:
S
def= {x \u2208 U : f1(x) \u2261 c1, · · · , fn\u2212k(x) \u2261 cn\u2212k}
1.9. Distribuic¸o\u2dces. Teorema de Frobenius 77
sa\u2dco subvariedades integrais de D. De facto, neste caso D pode ser expressa localmente na forma:
Dx def=
n\u2212k\u22c2
i=1
ker df ix
Se X,Y \u2208 \u393(D) vemos que [X,Y ] \u2208 \u22c2n\u2212ki=1 ker df ix = D, isto e´: D e´ involutiva.
(vi). Uma distribuic¸a\u2dco de dimensa\u2dco k emM , e´ equivalente a uma G-estrutura emMn. Com
efeito, seja V \u2282 IRn um subespac¸o vectorial fixo no espac¸o interno IRn. Dado um referencial
ex : IRn \u2192 TxM em x \u2208M , consideremos o subespac¸o Dx def= ex(V ) \u2282 TxM . Se escolhemos
um outro referencial e\u2032x e´ claro que D\u2032x = e\u2032x(V ) sera´ em geral diferente de Dx. Mas sabemos
que e\u2032x = ex \u25e6 g para algum g \u2208 G`(n, IR), e portanto Dx sera´ sempre o mesmo desde que
g \u2208 G`(n, IR) deixe V invariante.
Portanto seG \u2282 G`(n, IR) e´ o subgrupo dos automorfismos lineares de IRn que deixa V invari-
ante, a reduc¸a\u2dco de F(M) pelo subgrupo G, determina uma distribuic¸a\u2dco emM . Rec`\u131procamente,
uma distribuic¸a\u2dco D em M , determina uma tal G-estrutura: consideramos a subvariedade de
F(M) que consiste de todos os referenciais ex tais que e\u22121x (Dx) = V .
\u2663 Teorema 1.17 \u201cTeorema de Frobenius (1.a versa\u2dco)\u201d... Seja D uma dis-
tribuic¸a\u2dco C\u221e de dimensa\u2dco k numa variedade Mn. Enta\u2dco as condic¸o\u2dces seguintes sa\u2dco
equivalentes:
\u2022 D e´ \u201cinvolutiva\u201d (existe uma base local {Xi}i=1,··· ,k, para D na vizinhanc¸a de
cada ponto, tal que [Xi, Xj] =
\u2211
CkijXk, \u2200i, j, onde Ckij sa\u2dco func¸o\u2dces C\u221e nessa
vizinhanc¸a).\u201d
\u2022 D e´ \u201cintegra´vel\u201d (cada ponto p \u2208 M amite uma carta local (U ;xi) tal que
{ \u2202
\u2202xi
}i=1,··· ,k formam uma base local para D).
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco...
\u2022 Suponhamos que D e´ involutiva. Como o resultado e´ local, podemos supo\u2c6r que estamos
em IRn e que p = 0. Ale´m disso podemos supo\u2c6r ainda que D0 \u2282 T0IRn \u223c= IRn e´ gerado
por:
\u2202
\u2202r1
|0, · · · , \u2202
\u2202rk
|0
Seja pi : IRn \u2192 IRk a projecc¸a\u2dco nos primeiros k factores. Enta\u2dco dpi0 : D0 \u2192 IRk e´ um
isomorfismo, e por continuidade dpix e´ injectiva em Dx, para x perto de 0. Portanto perto
de 0, podemos sempre escolher de forma u´nica campos de vectores:
X1(x), · · · , Xk(x) \u2208 Dx
tais que:
dpiXi(x) =
\u2202
\u2202ri
|pi(x) i = 1, · · · , k
1.9. Distribuic¸o\u2dces. Teorema de Frobenius 78
Isto significa que os campos Xi, definidos numa vizinhanc¸a de 0 em IRn, e os campos
\u2202
\u2202ri
em IRk, esta\u2dco pi-relacionados, e portanto [Xi, Xj ] e
[
\u2202
\u2202ri
, \u2202
\u2202ri
]
= 0 tambe´m esta\u2dco pi-
relacionados:
dpi[Xi, Xj ]x =
[ \u2202
\u2202ri
,
\u2202
\u2202ri
]
pi(x)
= 0
Mas por hipo´tese, [Xi, Xj ]x \u2208 Dx, e como dpix e´ injectiva em Dx, conclu´\u131mos que [Xi, Xj ] =
0. Pelo teorema da rectificac¸a\u2dco de campos de vectores, visto na secc¸a\u2dco anterior, existe um
sistema de coordenadas locais (U ;xi) tal que:
Xi =
\u2202
\u2202xi
i = 1, · · · , k
e portanto D e´ integra´vel.
\u2022 Suponhamos agora que D e´ integra´vel. Seja S i\u21aa\u2192 M uma variedade integral (local),
e X,Y \u2208 \u393(D). Enta\u2dco existem campos C\u221e u´nicos X,Y em S tais que Ti(X) = X
e Ti(Y ) = Y , isto e´ X,X e Y, Y esta\u2dco i-relacionados. Portanto [X,Y ] e [X,Y ] esta\u2dco
tambe´m i-relacionados:
dix[X,Y ]x = [X,Y ]x
e como [X,Y ]x \u2208 TxS, isto mostra que [X,Y ]x \u2208 Dx, o que significa que D e´ involutiva.
¤.
Uma segunda versa\u2dco do Teorema de Frobenius, em termos de formas diferenciais, sera´
apresentada na secc¸a\u2dco III.3. A teoria global, pode ser vista em [Sp], no contexto da teoria
das folheac¸o\u2dces.
\u2663 Exerc´\u131cio 1.21 ... Seja D uma distribuic¸a\u2dco em M , X \u2208 X(M) um campo de vectores e
\u3a6t = FlXt o respectivo fluxo local. Para cada t, o difeomorfismo local \u3a6t : U \u2192 Flt(U) transforma
o subespac¸o Dx \u2282 TxM no subespac¸o d(\u3a6t)x(Dx) \u2282 T\u3a6t(x)M . Diz-se que D e´ \u201cinvariante sob
o fluxo local\u201d \u3a6t = FlXt se:
d(\u3a6t)x(Dx) = D\u3a6t(x) \u2200x \u2208M (1.9.5)
Mostre que D e´ invariante sob o fluxo local \u3a6t = FlXt , se e so´ se:
[X,\u393(D)] \u2282 \u393(D)
Cap´\u131tulo 2
Formas diferenciais. Ca´lculo de
Cartan
2.1 Formas exteriores
Seja V um espac¸o vectorial real de dimensa\u2dco finita n.
\u2663 Definic¸a\u2dco 2.1 ... Uma \u201ck-forma exterior\u201d \u3c9 em V e´ uma aplicac¸a\u2dco multilinear
(linear em cada varia´vel):
\u3c9 : V k = V × · · · × V\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
k factores
\u2192 IR
que e´ alternada ou anti-sime´trica, i.e.:
\u3c9(v1, · · · ,vi, · · · ,vj, · · · ,vk) = \u2212\u3c9(v1,