Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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· · · ,vj, · · · ,vi, · · · ,vk)
Representamos por:
Ak(V )
o espac¸o das k-formas exteriores em V . Para k = 0 define-se A0(V ) = IR. Note que
A1(V ) = V \u2217, o dual de V .
A \u201ca´lgebra exterior (ou de Grassmann) das formas exteriores\u201d em V , e´ por
definic¸a\u2dco a IR-a´lgebra graduada:
A(V ) def= \u2295nk=0Ak(V )
munida do chamado \u201cproduto exterior de formas\u201d, \u2227 : Ak(V )×A`(V )\u2192 Ak+`(V ),
definido por:
\u3c9 \u2227 \u3b7(v1, · · · ,vk+`) def=
\u2211\u2032
\u3c3 sgn(\u3c3)\u3c9(v\u3c3(1), · · · ,v\u3c3(k)) \u3b7(v\u3c3(k+1), · · · ,v\u3c3(k+`)) (2.1.1)
79
2.1. Formas exteriores 80
onde \u3c9 \u2208 Ak(V ), \u3b7 \u2208 A`(V ) e a soma \u2211\u2032\u3c3 e´ feita sobre todas as permutac¸o\u2dces \u3c3 de
{1, · · · , k + `}, tais que \u3c3(1) < · · · < \u3c3(k) e \u3c3(k + 1) < · · · < \u3c3(k + `). Note que isto e´ o
mesmo que:
\u3c9 \u2227 \u3b7(v1, · · · ,vk+`) = 1
k!`!
\u2211
\u3c3
sgn\u3c3 \u3c9(v\u3c3(1), · · · ,v\u3c3(k)) \u3b7(v\u3c3(k+1), · · · ,v\u3c3(k+`))
onde agora a soma e´ feita sobre todas as permutac¸o\u2dces.
Assim por exemplo, se \u3c9, \u3b7 \u2208 A1(V ) = V \u2217 sa\u2dco 1-formas:
\u3c9 \u2227 \u3b7(v1,v2) = \u3c9(v1)\u3b7(v2)\u2212 \u3c9(v2)\u3b7(v1)
e se \u3c9 \u2208 A1(V ) e \u3b7 \u2208 A2(V ):
\u3c9 \u2227 \u3b7(v1,v2,v3) = \u3c9(v1)\u3b7(v2,v3)\u2212 \u3c9(v2)\u3b7(v1,v3) + \u3c9(v3)\u3b7(v1,v2)
enquanto que:
\u3b7 \u2227 \u3c9(v1,v2,v3) = \u3b7(v1,v2)\u3c9(v3)\u2212 \u3b7(v1,v3)\u3c9(v2) + \u3b7(v2,v3)\u3c9(v1)
= \u3c9 \u2227 \u3b7(v1,v2,v3)
Se \u3b81, · · · , \u3b8s \u2208 A1(V ) sa\u2dco s 1-formas, enta\u2dco \u3b81 \u2227 · · · \u2227 \u3b8s e´ a s-forma definida por:
\u3b81 \u2227 · · · \u2227 \u3b8s (X1, · · · , Xs) = det
(
\u3b8i(Xj)
)
(2.1.2)
E´ fa´cil ver que o produto exterior e´ bilinear e associativo. Ale´m disso, temos o seguinte:
\u2663 Teorema 2.1 ... Seja V um espac¸o vectorial real de dimensa\u2dco n, e Ak(V ) o espac¸o
vectorial das k-formas exteriores em V . Se {\u3b81, · · · , \u3b8n} e´ uma base para V \u2217, enta\u2dco:
{\u3b8i1 \u2227 · · · \u2227 \u3b8ik : 1 \u2264 i1 < · · · < ik \u2264 n}
e´ uma base para Ak(V ). De facto, toda a k-forma \u3c9 \u2208 Ak(V ) escreve-se na seguinte
maneira u´nica:
\u3c9 =
\u2211
1\u2264i1<···<ik\u2264n ai1···ik \u3b8
i1 \u2227 · · · \u2227 \u3b8ik
com ai1···ik = \u3c9(ei1 , · · · , eik), onde {e1, · · · , en} e´ a base de V dual a´ base {\u3b81, · · · , \u3b8n}.
Em particular:
dim IR(Ak(V )) =
(
n
k
)
2.1. Formas exteriores 81
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Seja {e1, · · · , en} a base de V dual a´ base {\u3b81, · · · , \u3b8n}, isto e´, \u3b8i(ej) = \u3b4ij .
Para uma k-forma exterior \u3c9 \u2208 Ak(V ), consideremos os nu´meros ai1···ik = \u3c9(ei1 , · · · , eik),
onde 1 \u2264 i1 < · · · < ik \u2264 n. Temos enta\u2dco que:
\u3c9(ej1 , · · · , ejk) =
\u2211
1\u2264i1<···<ik\u2264n
ai1···ik \u3b8
i1 \u2227 · · · \u2227 \u3b8ik(ej1 , · · · , ejk)
para todos os j1 < · · · < jk, uma vez que \u3b8i1\u2227· · ·\u2227\u3b8ik(ej1 , · · · , ejk) e´ igual a 1 quando cada
j` = i`, e igual a 0 nos outros casos. Portanto as duas formas sa\u2dco iguais, o que implica
que as formas \u3b8i1 \u2227 · · · \u2227 \u3b8ik geram Ak(V ). Por outro lado, se a soma anterior e´ zero
(i.e., se \u3c9 = 0), enta\u2dco cada um dos coeficientes ai1···ik e´ nulo, e as formas sa\u2dco linearmente
independentes.
¤
Deduzimos ainda do teorema anterior que:
\u3c9 \u2227 \u3b7 = (\u22121)k`\u3b7 \u2227 \u3c9, \u3c9 \u2208 Ak(V ), \u3b7 \u2208 A`(V ) (2.1.3)
De facto, ambos os membros sa\u2dco bilineares, e coincidem quando \u3c9 e \u3b7 sa\u2dco elementos da
base referida no teorema anterior. Portanto coincidem \u2200\u3c9, \u3b7. Em particular:
\u3c9 \u2227 \u3c9 = 0 se \u3c9 e´ uma forma de grau \u131´mpar
\u2663 Teorema 2.2 ... Seja V um espac¸o vectorial real de dimensa\u2dco n, {v1, · · · ,vn}
uma base de V , e \u3c9 \u2208 An(V ) uma n-forma.
Se w1, · · · ,wn sa\u2dco n vectores quaisquer em V , com wj = Aijvi, i = 1, · · · , n, enta\u2dco:
\u3c9(w1, · · · ,wn) = det (A)\u3c9(v1, · · · ,vn) (2.1.4)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Representemos as colunas da matriz A por a1, · · · ,an, que sa\u2dco vectores
em IRn, e definamos µ \u2208 An(IRn) atrave´s de:
µ(a1, · · · ,an) def= \u3c9(Aj1vj , · · · , Ajnvj) = \u3c9(w1, · · · ,wn) (2.1.5)
Enta\u2dco µ \u2208 An(IRn) e portanto µ = \u3bbdet para algum \u3bb \u2208 IR, uma vez que dimAn(IRn) = 1
e det \u2208 An(IRn)\u2212 {0}. Mas, se {e1, · · · , en} e´ a base cano´nica de IRn:
\u3bbdet (e1, · · · , en) = \u3bb = µ(e1, · · · , en) = \u3c9(v1, · · · ,vn)
isto e´, \u3bb = \u3c9(v1, · · · ,vn) e finalmente, como µ = \u3bbdet e por (2.1.5), vem que:
\u3c9(w1, · · · ,wn) = µ(a1, · · · ,an) = \u3c9(v1, · · · ,vn)det (a1, · · · ,an) = det (A)\u3c9(v1, · · · ,vn)
¤
2.1. Formas exteriores 82
Este teorema mostra que uma n-forma na\u2dco nula \u3c9 \u2208 An(V ), num espac¸o vectorial real
V de dimensa\u2dco n, separa o conjunto de todas as bases (ordenadas) de V , em dois grupos
disjuntos: aquelas para as quais \u3c9(v1, · · · ,vn) > 0 e aquelas para as quais \u3c9(v1, · · · ,vn) <
0. Se {v1, · · · ,vn} e {w1, · · · ,wn} sa\u2dco duas bases de V , e se A e´ a matriz definida por
wi = A
j
ivj, enta\u2dco essas duas bases esta\u2dco no mesmo grupo sse detA > 0. Este u´ltimo
crite´rio e´ independente de \u3c9 \u2208 An(V )\u2212 {0} e pode ser utilizado para dividir as bases de
V em dois grupos distintos. Cada um destes grupos diz-se uma \u201corientac¸a\u2dco\u201d para V .
Orientar V e´ escolher um desses grupos, cujas bases se declaram \u201cpositivas\u201d.
Exemplos ...
(i). A aplicac¸a\u2dco \u3c9 que a cada paralelip´\u131pedo n-dimensional em IRn de arestas v1, · · · ,vn,
associa o respectivo volume orientado:
vol(v1, · · · ,vn) def= det [v1 · · · vn] (2.1.6)
e´ uma n-forma exterior em IRn. Quando as arestas vi sa\u2dco linearmente independentes, vol(v1, · · · ,vn)
tera´ sinal + ou \u2212, conforme {v1, · · · ,vn} pertenc¸a ou na\u2dco a` orientac¸a\u2dco usual de IRn definida
pela sua base cano´nica.
(ii). Note que por definic¸a\u2dco, se \u3b1, \u3b2 \u2208 A1(V ), enta\u2dco:
\u3b1 \u2227 \u3b2(u,v) = det
[
\u3b1(u) \u3b2(u)
\u3b1(v) \u3b2(v)
]
e´ a a´rea orientada do paralelogramo em IR2 de arestas U = (\u3b1(u), \u3b2(u)) e V = (\u3b1(v), \u3b2(v)).
Mais geralmente, se \u3b11, · · · , \u3b1k \u2208 A1(V ) sa\u2dco k 1-formas em V , enta\u2dco:
\u3b11 \u2227 · · · \u2227 ak(v1, · · · ,vk) = det [\u3b1i(vj)]
representa o volume orientado do paralelip´\u131pedo k-dimensional em IRk, cujas arestas sa\u2dco V1 =
(\u3b1i(v1)), · · · ,Vk = (\u3b1i(vk)).
(iii). \u201cForma Volume\u201d... Consideremos um espac¸o vectorial real V de dimensa\u2dco n, ori-
entado e munido de um produto interno euclideano, que notamos por ·. Vamos definir uma
n-forma vol \u2208 An(V ), chamada \u201cforma volume\u201d, da seguinte maneira: seja {e1, · · · , en} uma
base ortonormada positiva de V . Po\u2c6mos enta\u2dco:
vol (v1, · · · ,vn) def= det A (2.1.7)
onde A = (Aij) e´ a matriz definida por vj = A
i
jei. De facto esta definic¸a\u2dco na\u2dco depende da escolha
da base ortonormada positiva {ei}. Com efeito, consideremos a chamada matriz de Gramm:
G
def= [vi · vj ]
Como:
vi · vj = vi · (Akjek) = Akj (vi · ek) =
\u2211
k
AkjA
k
i
2.2. Formas Diferenciais 83
conclu´\u131mos que:
G = AtA
e portanto:
det G = (det A)2
Em particular, det G \u2265 0 e det G = 0 se e so´ se det A = 0, isto e´, se e so´ se os vectores
v1, · · · ,vn sa\u2dco linearmente independentes. Conclu´\u131mos finalmente que:
vol (v1, · · · ,vn) = ±
\u221a
det (vi · vj) (2.1.8)
onde + ou \u2212 e´ o sinal de det A. Assim vol (v1, · · · ,vn) > 0 se a base ordenada {v1, · · · ,vn} fo\u2c6r
positiva, e vol (v1, · · · ,vn) < 0, caso contra´rio. Claro que (2.1.8) mostra que vol na\u2dco depende
da escolha da base {ei}. Note ainda que:
vol (v1, · · · ,vn) = 1 para toda a base ortonormada positiva {v1, · · · ,vn} de V
2.2 Formas Diferenciais
\u2663 Definic¸a\u2dco 2.2 ... SejaM uma variedade diferencia´vel de dimensa\u2dco n. Uma forma
diferencial \u3c9 de grau k em M , e´ uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel que a cada x \u2208 M associa
uma k-forma exterior em TxM :
\u3c9 : x 7\u2192 \u3c9x \u2208 Ak(TxM)
Nesta definic¸a\u2dco \u3c9 e´ uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel no sentido seguinte: em coordenadas
locais (U ;xi) em torno de x, T \u2217xM tem uma base dx
1|x, · · · , dxn|x dual a` base de vectores
coordenados \u2202
\u2202xi
|x, isto e´ dxi|x
(
\u2202
\u2202xj
|x
)
= \u3b4ij. Portanto \u3c9x escreve-se na forma:
\u3c9x =
\u2211
i1<···<ik
ai1···ik(x) dx
i1|x \u2227 · · · \u2227 dxik |x
isto e´, localmente em U , a k-forma diferencial \u3c9 admite a representac¸a\u2dco local \u3c9U , dada
por:
\u3c9U =
\u2211
i1<···<ik ai1···ik dx
i1 \u2227 · · · \u2227 dxik (2.2.1)
onde as func¸o\u2dces ai1···ik \u2208 C\u221e(U).
Existe uma definic¸a\u2dco alternativa de forma diferencial que e´ imprescind´\u131vel para os
nossos objectivos. Seja X(M) o mo´dulo sobre o anel C\u221e(M), dos campos de vectores C\u221e
numa variedade