Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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(\u201cProduto Interior iX) ... Dado um campo de vectores X \u2208
X(M), existe uma u´nica aplicac¸a\u2dco IR-linear iX : \u2126(M)\u2192 \u2126(M) dita \u201cproduto interior
por X\u201d, que a cada \u3c9 \u2208 \u2126k(M) associa a (k \u2212 1)-forma iX(\u3c9) definida por:
iX(\u3c9)(X2, · · · , Xk) def= \u3c9(X,X2, · · · , Xk) (2.3.3)
e que verifica as propriedades seguintes:
\u2022 i(X|U )(\u3c9|U) = (ix\u3c9)|U (2.3.4)
\u2022 iX(f) = 0 \u2200f \u2208 C\u221e(M) (2.3.5)
\u2022 iX(\u3b8) = \u3b8(X) \u2200\u3b8 \u2208 \u21261(M) (2.3.6)
\u2022 iX : \u2126k(M)\u2192 \u2126k\u22121(M)
\u2022 iX(\u3c9 \u2227 \u3b7) = iX(\u3c9) \u2227 \u3b7 + (\u22121)deg \u3c9 \u3c9 \u2227 iX(\u3b7) (2.3.7)
isto e´, iX e´ uma anti-derivac¸a\u2dco local de grau \u22121, em \u2126(M).
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... A unicidade decorre do facto de que iX e´ uma anti-derivac¸a\u2dco local, que
esta´ definida nos geradores de \u2126(M) atrave´s de (2.3.5) e (2.3.6). Vejamos agora que iX ,
definida pela fo´rmula (2.3.3), satisfaz as propriedades acima referidas. Todas sa\u2dco evidentes
com a excepc¸a\u2dco de (2.3.7). Demonstremos esta u´ltima, utilizando a definic¸a\u2dco de produto
exterior (fo´rmula (2.2.2)). Vem enta\u2dco que, se \u3c9 \u2208 \u2126k(M) e \u3b7 \u2208 \u2126`(M):
(iX(\u3c9 \u2227 \u3b7))(X2, · · · , Xk+`) = (\u3c9 \u2227 \u3b7)(X,X2, · · · , Xk+`)
=
\u2032\u2211
\u3c3
sgn\u3c3 \u3c9(X,X\u3c3(2), · · · , X\u3c3(k)) \u3b7(X\u3c3(k+1), · · · , X\u3c3(k+`)) +
+(\u22121)k
\u2032\u2211
\u3c3
sgn\u3c3 \u3c9(X\u3c3(2), · · · , X\u3c3(k+1)) \u3b7(X,X\u3c3(k+2), · · · , X\u3c3(k+`))
=
\u2032\u2211
\u3c3
sgn\u3c3 iX\u3c9(X\u3c3(2), · · · , X\u3c3(k)) \u3b7(X\u3c3(k+1), · · · , X\u3c3(k+`)) +
+(\u22121)k
\u2032\u2211
\u3c3
sgn\u3c3 \u3c9(X\u3c3(2), · · · , X\u3c3(k+1)) iX\u3b7(X\u3c3(k+2), · · · , X\u3c3(k+`))
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 89
\u2022 Isto e´:
(iX(\u3c9 \u2227 \u3b7))(X2, · · · , Xk+`) =
(iX\u3c9 \u2227 \u3b7)(X2, · · · , Xk+`) + (\u22121)deg \u3c9(\u3c9 \u2227 iX\u3b7)(X2, · · · , Xk+`)
¤
\u2022 Representac¸a\u2dco local... Se no aberto U \u2286M , \u3c9 tem a representac¸a\u2dco local:
\u3c9U =
\u2211
i1<···<ik
fi1···ik \u3b8
i1 \u2227 · · · \u2227 \u3b8ik (2.3.8)
onde {\u3b81, · · · , \u3b8k} sa\u2dco 1-formas linearmente independentes em U (um co-referencial mo´vel),
e fi1···ik \u2208 C\u221e(U), e se X = aiei, onde {ei} e´ o referencial dual a {\u3b8i}, e ai \u2208 C\u221e(U),
enta\u2dco iX\u3c9 tem a seguinte representac¸a\u2dco local:
(iX\u3c9)U =
\u2211
i1 < · · · < ik
1 \u2264 ` \u2264 k
ai`fi1···i`···ik \u3b8
i1 \u2227 · · · \u2227 \u3b8\u302i` \u2227 · · · \u2227 \u3b8ik
Note ainda que, \u2200X, Y \u2208 X(M) e \u2200f \u2208 C\u221e(M):
iX+Y = iX + iY
if X = f iX
(iX)
2 = iXiX = 0 (2.3.9)
\u2663 Teorema 2.5 (\u201cDerivada de Lie LX\u201d) ... Dado um campo de vectores X \u2208
X(M), seja \u3a6t = Fl
X
t o respectivo fluxo local. Enta\u2dco existe uma u´nica aplicac¸a\u2dco IR-linear
LX : \u2126(M) \u2192 \u2126(M) dita \u201cderivada de Lie segundo X\u201d, que a cada \u3c9 \u2208 \u2126k(M)
associa a k-forma LX(\u3c9) definida por:
(LX\u3c9)(x) def= limt\u21920 (\u3a6
\u2217
t\u3c9)x\u2212\u3c9x
t
(2.3.10)
e que verifica as propriedades seguintes:
\u2022 LX|U (\u3c9U) = (LX\u3c9)|U (2.3.11)
\u2022 LX(f) = Xf \u2200f \u2208 C\u221e(M) (2.3.12)
\u2022 LX(df) = d(Xf) \u2200f \u2208 C\u221e(M) (2.3.13)
\u2022 LX : \u2126k(M)\u2192 \u2126k(M)
\u2022 LX(\u3c9 \u2227 \u3b7) = LX(\u3c9) \u2227 \u3b7 + \u3c9 \u2227 LX(\u3b7) (2.3.14)
isto e´, LX e´ uma derivac¸a\u2dco local de grau 0, em \u2126(M).
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 90
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... A unicidade decorre do facto de que LX e´ uma derivac¸a\u2dco local, que esta´
definida nos geradores de \u2126(M) atrave´s de (2.3.12) e (2.3.13). Vejamos agora que LX ,
definida pela fo´rmula (2.3.10), satisfaz as propriedades acima referidas. Todas resultam
directamente da definic¸a\u2dco (2.3.10), e das propriedades do pull-back de formas, com a
excepc¸a\u2dco de (2.3.13). Demonstremos esta u´ltima:
(LXdf)(x) = lim
t\u21920
(\u3a6\u2217t df)x \u2212 (df)x
t
= lim
t\u21920
(d\u3a6\u2217t f)x \u2212 (df)x
t
= d
(
lim
t\u21920
(\u3a6\u2217t f)x \u2212 f(x)
t
)
= dLXf
= d(Xf)
¤
\u2663 Proposic¸a\u2dco 2.1 ...
\u2022 [LX ,LY ]\u3c9 = L[X,Y ] \u3c9 \u2200X, Y \u2208 X(M) \u2200\u3c9 \u2208 \u2126(M) (2.3.15)
\u2022 i[X,Y ] = [LX , iY ] (2.3.16)
\u2022 (LX\u3c9)(X1, · · · , Xk) =
= X \u3c9(X1, · · · , Xk)\u2212
k\u2211
i=1
\u3c9(X1, · · · , [X,Xi], · · · , Xk) (2.3.17)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Para provar (2.3.15), notamos que [LX ,LY ] e´ uma derivac¸a\u2dco local, ja´
que LX e LY o sa\u2dco. Tambe´m L[X,Y ] e´ uma derivac¸a\u2dco local. Portanto para verificar que
sa\u2dco iguais basta demonstrar que coincidem em func¸o\u2dces f e diferenciais df , ja´ que estas
geram \u2126(M).
\u2022 Para provar (2.3.16), notamos que i[X,Y ] e´ uma anti-derivac¸a\u2dco local, LX e´ uma derivac¸a\u2dco
local, iY e´ uma anti-derivac¸a\u2dco local, e portanto [LX , iY ] e´ uma anti-derivac¸a\u2dco local. Vamos
demonstrar que i[X,Y ] e [LX , iY ] coincidem em func¸o\u2dces f e diferenciais df . Se f \u2208 C\u221e(M),
i[X,Y ]f = 0 e:
[LX , iY ]f = LXiY f \u2212 iY LXf = \u2212iY LXf = \u2212iY (Xf) = 0
Se df \u2208 \u21261(M):
i[X,Y ]df = [X,Y ]f
e:
[LX , iY ]df = LXiY df \u2212 iY LXdf
= LX(Y f)\u2212 iY d(Xf)
= (XY \u2212 Y X)f = [X,Y ]f
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 91
\u2022 Finalmente para provar (2.3.17), temos em virtude de (2.3.15):
iX1LX\u3c9 = LXiX1\u3c9 \u2212 i[X,Y ]\u3c9
Multiplicando a` esquerda sucessivamente por iX2 , · · · , iXk e iterando, obtemos:
iXk · · · iX1LX\u3c9 = LXiXk · · · iX1\u3c9 \u2212
k\u2211
i=1
iXk · · · i[X,Xi] · · · iX1\u3c9
que e´ equivalente a (2.3.17).
¤
\u2022 Representac¸a\u2dco local... Se numa carta local (U ;xi), a expressa\u2dco local de \u3c9 e´:
\u3c9U =
\u2211
i1<···<ik
fi1···ikdx
i1 \u2227 · · · \u2227 dxik
e se X = a` \u2202
\u2202x`
, enta\u2dco a expressa\u2dco local de LX\u3c9 e´ dada por (aplicando (2.3.17)):
(LX\u3c9)U =
\u2211
i1 < · · · < ik
1 \u2264 ` \u2264 n
a`
\u2202
\u2202x`
(fi1···ik) dx
i1 \u2227 · · · \u2227 dxik +
\u2212
\u2211
i1 < · · · < ik
1 \u2264 s \u2264 k
fi1···ik dx
i1 \u2227 · · · \u2227 dais \u2227 · · · \u2227 dxik (2.3.18)
\u2663 Teorema 2.6 (\u201cDerivada Exterior\u201d) ... Para cada k = 0, 1, 2, · · · , n \u2212 1, ex-
iste uma u´nica aplicac¸a\u2dco IR-linear d = dk : \u2126
k(M) \u2192 \u2126k+1(M), chamada \u201cderivac¸a\u2dco
exterior\u201d de formas, tal que:
LX \u3c9 = (d iX + iX d)\u3c9 \u201cFo´rmula de Cartan\u201d (2.3.19)
\u2200\u3c9 \u2208 \u2126(M), \u2200X \u2208 X(M).
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco...
\u2022 Unicidade... Se d\u2032 e´ um outro operador que satisfaz as condic¸o\u2dces do enunciado, enta\u2dco,
\u2200\u3c9 \u2208 \u2126(M):
iX(d\u2032 \u2212 d)\u3c9 = (d\u2212 d\u2032)iX\u3c9
Para k = 0, iXf = 0 e iX(d\u2032\u2212d)f = 0, e como isto se verifica \u2200X \u2208 X(M), deduzimos que
d = d\u2032 em C\u221e(M). Suponhamos agora que d = d\u2032 em todas as formas de grau \u2264 k \u2212 1.
A igualdade anterior mostra que tambe´m iX(d\u2032 \u2212 d)\u3c9 = 0, para todas as formas de grau
k. Portanto d = d\u2032 em \u2126k(M).
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 92
\u2022 Existe\u2c6ncia... A Fo´rmula de Cartan (2.3.19), mostra que se d existe, enta\u2dco tera´ que ser
dada por:
(d\u3c9)(X0, X1, · · · , Xk) = (LX0\u3c9)(X1, · · · , Xk)\u2212 (diX0\u3c9)(X1, · · · , Xk) (2.3.20)
Vamos mostrar, usando induc¸a\u2dco no grau k = deg \u3c9, que (2.3.20) define de facto uma forma
diferencial d\u3c9. Para k = 0 isto e´ verdade, uma vez que se \u3c9 = f \u2208 C\u221e(M), enta\u2dco:
(df)(X) = LXf = Xf
Suponhamos agora que d\u3c9, dada por (2.3.20), e´ uma forma diferencial, \u2200\u3c9 de grau
\u2264 k \u2212 1, e demonstremos que o mesmo acontece quando \u3c9 tem grau k. Segundo a
hipo´tese de induc¸a\u2dco, diX0\u3c9 e´ C
\u221e(M)-multilinear alternada relativamente a (X1, · · · , Xk),
ja´ que iX0\u3c9 tem grau k\u2212 1. LX0\u3c9 e´ tambe´m C\u221e(M)-multilinear alternada relativamente
a (X1, · · · , Xk). Portanto d\u3c9 e´ tambe´m C\u221e(M)-multilinear alternada relativamente a
(X1, · · · , Xk). Resta provar que d\u3c9 e´ C\u221e(M)-linear em X0 e alternada em X0, X1. Mas,
usando (2.3.16):
(LX0\u3c9)(X1, · · · , Xk) = (iX1LX0\u3c9)(X2, · · · , Xk)
= (LX0iX1\u3c9)(X2, · · · , Xk)\u2212 (i[X0,X1]\u3c9)(X2, · · · , Xk)
e substituindo no segundo membro LX0 por diX0 + iX0d, vem que:
(LX0\u3c9)(X1, · · · , Xk) = (diX0iX1\u3c9)(X2, · · · , Xk) +
(diX1\u3c9)(X0, X2, · · · , Xk)\u2212 (i[X0,X1]\u3c9)(X2, · · · , Xk)
Para X0 = X1, vem que (LX1\u3c9)(X1, · · · , Xk) = (diX1\u3c9)(X1, X2, · · · , Xk), e substituindo
em (2.3.20), vemos que (d\u3c9)(X1, X1, · · · , Xk) = 0, isto e´, d\u3c9 e´ alternada em X0 e X1. A
linearidade em X0 resulta da linearidade em X1.
¤
E´ importante notar que na definic¸a\u2dco da derivac¸a\u2dco exterior intervem apenas a estru-
tura diferencia´vel de M . A derivac¸a\u2dco exterior e´, como veremos em breve, invariante
sob aplicac¸o\u2dces. Estas propriedades justificam a importa\u2c6ncia deste operador em muitas
aplicac¸o\u2dces em F´\u131sica e Geometria.
\u2663 Proposic¸a\u2dco 2.2 ... Se \u3c9 \u2208 \u2126k(M) e´ uma forma de grau k, enta\u2dco d\u3c9 \u2208 \u2126k+1(M)
e´ uma forma de grau k + 1, definida por:
(d\u3c9)(X1, · · · , Xk+1) =
k+1\u2211
i=1
(\u22121)i+1Xi \u3c9(X1, · · · , X\u302i, · · · , Xk+1) +
\u2212
\u2211
1\u2264i<j\u2264k+1
(\u22121)i+j \u3c9([Xi, Xj], X1,