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```· · · , X\u302i, · · · , X\u302j, · · · , Xk+1)
(2.3.21)
\u2200\u3c9 \u2208 \u2126k(M). Em particular se \u3b8 \u2208 \u21261(M) e´ uma 1-forma, enta\u2dco:
d\u3b8(X, Y ) = X \u3b8(Y )\u2212 Y \u3b8(X)\u2212 \u3b8([X,Y ]) \u2200X, Y \u2208 X(M) (2.3.22)
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 93
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Utilizar induc¸a\u2dco, a fo´rmula de Cartan e ainda (2.3.17).
¤
\u2663 Teorema 2.7 Existe uma u´nica aplicac¸a\u2dco IR-linear d : \u2126(M)\u2192 \u2126(M), tal que:
\u2022 dU(\u3c9|U) = (d\u3c9)|U (2.3.23)
\u2022 d(\u3c9 + \u3b7) = d\u3c9 + d\u3b7 e d(\u3bb\u3c9) = \u3bb d(\u3c9) (2.3.24)
\u2022 d(\u3c9 \u2227 \u3b7) = d\u3c9 \u2227 \u3b7 + (\u22121)deg \u3c9 \u3c9 \u2227 d\u3b7 (2.3.25)
\u2022 df(X) = Xf, \u2200f \u2208 C\u221e(M) (2.3.26)
\u2022 d2\u3c9 = 0 \u2200\u3c9 \u2208 \u2126(M) (2.3.27)
isto e´, d e´ uma anti-derivac¸a\u2dco local de grau +1, em \u2126(M).
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... A unicidade demonstra-se da maneira usual. Demonstremos agora que
exterior definida atrave´s da fo´rmula de Cartan (2.3.19), verifica as propriedades referidas
no teorema. Para mostrar (2.3.25), vamos usar induc¸a\u2dco, supondo que essa igualdade e´
va´lida para \u3c9 \u2208 \u2126r(M) e \u3b7 \u2208 \u2126s(M), com r+ s = k\u2212 1, e provando que que ela continua
va´lida para r + s = k. Se \u3c9 \u2208 \u2126r(M) e \u3b7 \u2208 \u2126s(M), enta\u2dco:
(d(\u3c9 \u2227 \u3b7))(X1, · · · , Xr+s+1 = (iX1d(\u3c9 \u2227 \u3b7))(X2, · · · , Xr+s+1
Mas:
iX1d(\u3c9 \u2227 \u3b7) = LX1(\u3c9 \u2227 \u3b7)\u2212 diX1(\u3c9 \u2227 \u3b7)
= LX1\u3c9 \u2227 \u3b7 + \u3c9 \u2227 LX1\u3b7 \u2212 d(iX1\u3c9 \u2227 \u3b7 + (\u22121)r\u3c9 \u2227 iX1\u3b7)
= LX1\u3c9 \u2227 \u3b7 + \u3c9 \u2227 LX1\u3b7 \u2212 diX1\u3c9 \u2227 \u3b7 \u2212 (\u22121)r\u22121iX1\u3c9 \u2227 d\u3b7 \u2212
\u2212(\u22121)rd\u3c9 \u2227 iX1\u3b7 \u2212 (\u22121)r
2
\u3c9 \u2227 diX1\u3b7
em virtude da hipo´tese de induc¸a\u2dco. Atendendo agora a` fo´rmula de Cartan (2.3.19), vem
que:
iX1d(\u3c9 \u2227 \u3b7) = iX1d\u3c9 \u2227 \u3b7 + (\u22121)r+1d\u3c9 \u2227 iX1\u3b7 + (\u22121)r
(
iX1\u3c9 \u2227 d\u3b7 + (\u22121)r\u3c9 \u2227 iX1d\u3b7
)
= iX1(d\u3c9 \u2227 \u3b7) + (\u22121)riX1(\u3c9 \u2227 d\u3b7)
= iX1
(
d\u3c9 \u2227 \u3b7) + (\u22121)r\u3c9 \u2227 d\u3b7)
Esta fo´rmula e´ va´lida para r + s = 0, 1. Deduzimos assim, do que foi feito, que ela va´lida
\u2200r, s e \u2200X \u2208 X(M). Portanto:
d(\u3c9 \u2227 \u3b7) = d\u3c9 \u2227 \u3b7 + (\u22121)deg \u3c9 \u3c9 \u2227 d\u3b7
Para demonstrar (2.3.27), e´ suficiente verificar para \u3c9 = f \u2208 C\u221e(M), devido ao cara´cter
local de d. De (2.3.19), vem que:
iXd
2f = LXdf \u2212 diXdf = LXdf \u2212 dLXf = 0
porque LX e d comutam sobre as func¸o\u2dces diferencia´veis.
¤
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 94
\u2663 Proposic¸a\u2dco 2.3 ...
\u2022 [LX , d] = LX d\u2212 dLX = 0 (2.3.28)
\u2022 \u3d5\u2217d\u3c9 = d\u3d5\u2217\u3c9, para toda a aplicac¸a\u2dco diferencia´vel \u3d5 :M \u2192 N e \u2200\u3c9 \u2208 \u2126(N)
(2.3.29)
\u2022 Representac¸a\u2dco local... Se \u3c9 \u2208 \u2126k(M) admite a representac¸a\u2dco local:
\u3c9U =
\u2211
i1<···<ik
ai1···ik dx
i1 \u2227 · · · \u2227 dxik
enta\u2dco:
(d\u3c9)U =
\u2211
i1<···<ik dai1···ik \u2227 dxi1 \u2227 · · · \u2227 dxik
\u2663 Exerc´\u131cio 2.3 ... Seja \u3c9 = y2 dx \u2227 dz + sin(xy) dx \u2227 dy + ex dy \u2227 dz \u2208 \u2126(IR3), e X =
3 \u2202\u2202x + cos z
\u2202
\u2202y \u2212 x2 \u2202\u2202z \u2208 X(IR3). Calcule d\u3c9 e iX\u3c9.
\u2663 Exerc´\u131cio 2.4 ... Seja M uma variedade orienta´vel de dimensa\u2dco n, e µ \u2208 \u2126n(M) uma
forma volume para M (isto e´, uma n-forma µ que nunca se anula e que portanto define uma
orientac¸a\u2dco para M). Se X \u2208 X(M) enta\u2dco LXµ \u2208 \u2126n(M) e portanto existe uma u´nica func¸a\u2dco,
notada por div µ(X) \u2208 C\u221e(M), tal que:
LXµ = div µ(X)µ
div µ(X) diz-se a \u201cdiverge\u2c6ncia de X relativamente a µ\u201d.
(i). Mostre que div µ(X) = 0 se e so´ se (FlXt )
\u2217µ = µ. (Neste caso diz-se que o campo de
vectores X preserva volume ou que e´ incompress´\u131vel).
\u2022 div fµ(X) = div µ(X) + Xff \u2200f \u2208 C\u221e(M), f(x) 6= 0, \u2200x \u2208M .
\u2022 div µ(gX) = gdiv µ(X) +Xg \u2200g \u2208 C\u221e(M).
\u2022 div µ([X,Y ]) = X(div µ(Y ))\u2212 Y (div µ(X))
2.3. Ca´lculo de Cartan com formas diferenciais 95
FORMULA´RIO
\u2022 iX(\u3c9)(X2, · · · , Xk) def= \u3c9(X,X2, · · · , Xk)
\u2022 iX(f) = 0 \u2200f \u2208 C\u221e(M)
\u2022 iX(\u3b8) = \u3b8(X) \u2200\u3b8 \u2208 \u21261(M)
\u2022 iX(\u3c9 \u2227 \u3b7) = iX(\u3c9) \u2227 \u3b7 + (\u22121)deg \u3c9 \u3c9 \u2227 iX(\u3b7)
\u2022 LX(f) = Xf \u2200f \u2208 C\u221e(M)
\u2022 LX(df) = d(Xf) \u2200f \u2208 C\u221e(M)
\u2022 LX(\u3c9 \u2227 \u3b7) = LX(\u3c9) \u2227 \u3b7 + \u3c9 \u2227 LX(\u3b7)
\u2022 LfX\u3c9 = fLX\u3c9 + df \u2227 iX\u3c9
\u2022 [LX ,LY ]\u3c9 = L[X,Y ] \u3c9
\u2022 i[X,Y ] = [LX , iY ]
\u2022 LXiX\u3c9 = iXLX\u3c9
\u2022 (LX\u3c9)(X1, · · · , Xk) = X \u3c9(X1, · · · , Xk)\u2212
\u2211k
i=1 \u3c9(X1, · · · , [X,Xi], · · · , Xk)
\u2022 LX \u3c9 = (d iX + iX d)\u3c9 \u201cFo´rmula de Cartan\u201d
\u2022
(d\u3c9)(X1, · · · , Xk+1) =
k+1\u2211
i=1
(\u22121)i+1Xi \u3c9(X1, · · · , X\u302i, · · · , Xk+1) +
\u2212
\u2211
1\u2264i<j\u2264k+1
(\u22121)i+j \u3c9([Xi, Xj ], X1, · · · , X\u302i, · · · , X\u302j , · · · , Xk+1)
\u2022 d\u3b8(X,Y ) = X \u3b8(Y )\u2212 Y \u3b8(X)\u2212 \u3b8([X,Y ]) \u2200X,Y \u2208 X(M), \u2200\u3b8 \u2208 \u21261(M)
\u2022 d(\u3c9 \u2227 \u3b7) = d\u3c9 \u2227 \u3b7 + (\u22121)deg \u3c9 \u3c9 \u2227 d\u3b7
\u2022 df(X) = Xf
\u2022 d2\u3c9 = 0
\u2022 [LX , d] = LX d\u2212 dLX = 0
\u2022 \u3d5\u2217d\u3c9 = d\u3d5\u2217\u3c9
\u2022 \u3d5\u2217(iX\u3c9) = i\u3d5\u2217X(\u3d5\u2217\u3c9) onde \u3d5 e´ um difeomorfismo
\u2022 \u3d5\u2217(LX\u3c9) = L\u3d5\u2217X(\u3d5\u2217\u3c9) onde \u3d5 e´ um difeomorfismo
2.4. Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobenius 96
2.4 Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobe-
nius
2.4.1 Ideais diferencais. Teorema de Frobenius
SejaM uma variedade de dimensa\u2dco n e consideremos a a´lgebra exterior (ou de Grassmann)
das formas diferenciais em M :
\u2126(M)
def
= \u2295nk=0\u2126k(M)
Um sistema diferencial em M e´ uma colecc¸a\u2dco {\u3c91, \u3c92, · · · } = {\u3c9i}i\u2208I de formas difer-
enciais em M . Uma subvariedade imersa S \u21aa\u2192 M , sera´ uma variedade integral desse
sistema se todas as formas se anulam em S: \u3c9i|S = 0, \u2200i \u2208 I. Note que neste caso
tambe´m e´ verdade que (\u3c9i \u2227 \u3b7)|S = 0, qualquer que seja a forma diferencial \u3b7 \u2208 \u2126(M),
mesmo que \u3b7 na\u2dco pertenc¸a ao sistema diferencial {\u3c9i}i\u2208I . Por isso em vez de considerar
{\u3c9i}i\u2208I , devemos considerar todo o ideal de \u2126(M) gerado por {\u3c9i}i\u2208I .
\u2663 Definic¸a\u2dco 2.5 ... Um ideal exterior I em M , e´ uma colecc¸a\u2dco de formas difer-
enciais em M tais que:
\u2022 se \u3c9, \u3c9\u2032 sa\u2dco k-formas em I, tambe´m \u3c9 + \u3c9\u2032 esta´ em I.
\u2022 se \u3c9 \u2208 I, enta\u2dco \u3c9 \u2227 \u3b7 \u2208 I, \u2200\u3b7 \u2208 \u2126(M)
Uma subvariedade imersa S \u21aa\u2192M , diz-se uma variedade integral do sistema diferencial
determinado pelo ideal exterior I, se e so´ se I se anula em S, i.e., \u3c9|S = 0, \u2200\u3c9I.
Dado um ideal exterior I, designemos por I(k) = {\u3c9 \u2208 I : deg\u3c9 = k} = I \u2229 \u2126k(M),
k = 0, 1, · · · , n, a sua componente homoge´nea de grau k, de tal forma que I = \u2295nk=0 I(k).
E´ fa´cil ver que uma subvariedade imersa S \u21aa\u2192 M de dimensa\u2dco s \u2264 n, e´ uma variedade
integral de I, se e so´ se I(s) se anula em S.
Diz-se que um conjunto de formas diferenciais {\u3c91, \u3c92, · · · } = {\u3c9i}i\u2208I gera o ideal
exterior I, se toda a forma \u3c9 \u2208 I se pode escrever como uma combinac¸a\u2dco linear finita
do tipo \u3c9 =
\u2211
i \u3b7
i \u2227 \u3c9i, onde \u3b7i sa\u2dco formas arbitra´rias tais que deg \u3c9 = deg \u3b7i + deg\u3c9i.
Claramente que, neste caso, S e´ uma variedade integral de I, se e so´ se cada gerador \u3c9i
se anula em S. Nas aplicac¸o\u2dces, em geral I sera´ finitamente gerado.
Seja I um ideal exterior e suponhamos que S \u21aa\u2192M e´ uma variedade integral de I, de
dimensa\u2dco s \u2264 n. Para cada x \u2208 S o espac¸o tangente TxS e´ um subespac¸o de TxM . As
formas diferenciais em I anulam-se em S se e so´ se, quando vistas como formas exteriores
em TxM , elas se anulam no subespac¸o TxS, i.e.:
\u3c9x(v1, · · · , vk) = 0, \u2200\u3c9 \u2208 I(k), \u2200v1, · · · , vk \u2208 TxS
Portanto uma condic¸a\u2dco necessa´ria para que um certo subespac¸o de TxM seja um poss´\u131vel
candidato a espac¸o tangente de uma variedade integral de I, e´ que ele seja um elemento
integral de I, de acordo com a seguinte definic¸a\u2dco:
2.4. Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobenius 97
\u2663 Definic¸a\u2dco 2.6 ... Um subespac¸o E \u2286 TxM , de dimensa\u2dco s \u2264 n, diz-se um ele-
mento integral de I se todas as forma em I se anulam em E, i.e.:
\u3c9x(v1, · · · , vk) = 0, \u2200\u3c9 \u2208 I(k), \u2200v1, · · · , vk \u2208 E \u2286 TxM (2.4.1)
Portanto uma subvariedade imersa S \u21aa\u2192M e´ uma variedade integral de I, se e so´ se TxS
e´ um elemento integral de I, \u2200x \u2208 S.
Para verificar se um certo subespac¸o E \u2286 TxM , de dimensa\u2dco s \u2264 n, e´ um ele-
mento integral de I, e´ suficiente verificar que as s-formas de I se anulam em E, i.e.,
que \u3c9x(v1, · · · , vs) = 0, \u2200\u3c9 \u2208 I(s), \u2200v1, · · · , vs \u2208 E. Por outro lado, se conhecermos