Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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e´ por definic¸a\u2dco um ideal exterior I que
e´ fechado, isto e´, tal que:
dI \u2286 I
Quando I e´ finitamente gerado por {\u3c91, · · · , \u3c9r}, enta\u2dco o seu fecho cl(I) (i.e., o ideal
gerado por todas as formas em I e pelas respectivas derivadas exteriores), tambe´m e´
finitamente gerado, por {\u3c91, · · · , \u3c9r} e por {d\u3c91, · · · , d\u3c9r}. Em particular I e´ fechado
se e so´ se I contem a derivada exterior d\u3c9i de cada um dos seus geradores \u3c91, · · · , \u3c9r.
Particularmente importantes nas aplicac¸o\u2dces sa\u2dco os chamados sistemas de Pfaff P ,
isto e´, ideais diferenciais finitamente gerados por um conjunto {\u3c91, · · · , \u3c9r} de 1-formas (ou formas de Pfaff)
emM . Um sistema de Pfaff P e´ fechado sse as derivadas exteriores das 1-formas geradoras
pertencerem ao ideal P , e portanto puderem ser escritas na forma:
d\u3c9i =
r\u2211
j=1
\u3b7ij \u2227 \u3c9j, i = 1, · · · , r
para certas 1-formas \u3b7ij \u2208 \u21261(M).
Analizemos agora a dualidade natural entre distribuic¸o\u2dces (no sentido de Frobenius (ver
secc¸a\u2dco 1.9)) e ideais exteriores gerados por uma colecc¸a\u2dco de 1-formas.
Seja D uma distribuic¸a\u2dco de rank k em M . Consideremos o conjunto I(1)D de todas as
1-formas que se anulam em D, isto e´:
I(1)D = {\u3c9 \u2208 \u21261(M) : \u3c9(X) = 0 \u2200X|in\u393(D) }
e seja ID o ideal gerado por I(1)D . A ID chamamos o ideal dual a` distribuic¸a\u2dco D. Se
D e´ (localmente) gerado por k campos de vectores X1, · · · , Xk \u2208 \u393(D), que sa\u2dco linear-
mente independentes em cada ponto, enta\u2dco I(1)D sera´ gerado por n\u2212 k formas de grau 1,
2.4. Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobenius 98
\u3c91 · · · , \u3c9n\u2212k, que sa\u2dco tambe´m linearmente independentes em cada ponto. Em particular
o rank do ideal ID e´ igual ao corank de D.
Rec`\u131procamente, se I e´ um ideal exterior gerado por uma colecc¸a\u2dco de 1-formas, enta\u2dco
a distribuic¸a\u2dco dual DI define-se como sendo a distribuic¸a\u2dco gerada por todos os campos de
vectores que sa\u2dco anulados por todas as 1-formas diferenciais em I. Portanto X \u2208 \u393(D)
se e so´ se \u3c9(X) = 0, \u2200\u3c9 \u2208 I(1). A proposic¸a\u2dco) seguinte e´ clara:
\u2663 Proposic¸a\u2dco 2.4 ... Seja D uma distribuic¸a\u2dco de rank k em M , e ID o ideal dual
associado, de rank n\u2212 k. Uma subvariedade imersa S \u21aa\u2192M e´ uma variedade integral do
ideal ID se e so´ se fo\u2c6r uma variedade integral da distribuic¸a\u2dco D.
A condic¸a\u2dco ana´loga a` condic¸a\u2dco de involuc¸a\u2dco, e´ a de fecho do ideal dual:
\u2663 Proposic¸a\u2dco 2.5 ... Uma distribuic¸a\u2dco D de rank k em M e´ involutiva se e so´ se o
respectivo ideal dual ID fo\u2c6r fechado, i.e.:
dID \u2286 ID
e portanto fo\u2c6r um ideal diferencial.
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Como ID e´ gerado por 1-formas, e´ suficiente verificar que d\u3c9 \u2208 ID, \u2200\u3c9 \u2208
I(1)D . A prova resulta agora imediatamente da identidade ja´ conhecida:
d\u3c9(X,Y ) = X · \u3c9(Y )\u2212 Y · \u3c9(X)\u2212 \u3c9([X,Y ])
onde \u3b8 \u2208 \u21261(M) e X,Y \u2208 X(M),
¤.
Podemos finalmente enunciar a segunda versa\u2dco do Teorema de Frobenius:
\u2663 Teorema 2.8 Teorema de Frobenius - 2.a versa\u2dco... Seja I um ideal exterior
de rank n\u2212 k, gerado (localmente) por uma colecc¸a\u2dco de 1-formas {\u3c91, · · · , \u3c9n\u2212k}, em M .
Enta\u2dco I e´ k-integra´vel se e so´ se uma das seguintes condic¸o\u2dces equivalentes se verifica:
\u2022 I e´ um ideal diferencial.
\u2022 d\u3c9j \u2227 \u3c91 \u2227 · · · \u2227 \u3c9n\u2212k = 0, j = 1, · · · , n\u2212 k
Exemplo... Em M = IR3 considere o ideal I gerado por uma 1-forma:
\u3c9 = P dx+Qdy +Rdz
que nunca se anula em qualquer ponto. I sera´ fechado sse d\u3c9 \u2208 I, i.e., sse d\u3c9 = \u3b7 \u2227 \u3c9 para
algum \u3b7 \u2208 \u21261(IR3). E´ fa´cil ver que esta condic¸a\u2dco e´ equivalente a` seguinte d\u3c9 \u2227 \u3c9 = 0, o que
conduz a` seguinte condic¸a\u2dco de integrabilidade:
P (Ry \u2212Qz) +Q(Pz \u2212Rx) +R(Qx \u2212 Py) = 0
2.4. Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobenius 99
2.4.2 A Te´cnica do Gra´fico de E. Cartan
Vamos agora discutir uma te´cnica, devida a E. Cartan, que nos permite, em determinadas
circunsta\u2c6ncias, construir uma aplicac¸a\u2dco a partir do seu gra´fico, quando este e´ uma var-
iedade integral de um certo ideal diferencial. Esta te´cnica do gra´fico tem importantes
aplicac¸o\u2dces em geometria diferencial, como veremos por exemplo no cap´\u131tulo sobre grupos
de Lie, e ainda na secc¸a\u2dco 4.5.
Suponhamos enta\u2dco que F : N \u2192M e´ uma aplicac¸a\u2dco C\u221e, e que {\u3c9i}i\u2208I e´ uma qualquer
colecc¸a\u2dcoE\u2c6de formas diferenciais em M . Representemos por:
piN : N ×M \u2192 N e piM : N ×M \u2192M
as projecc¸o\u2dces naturais em N e M , respectivamente. Para cada i \u2208 I, consideremos a
forma diferencial em N ×M :
\u3b7i = pi\u2217NF
\u2217\u3c9i \u2212 pi\u2217M\u3c9i \u2208 \u2126(N ×M), i \u2208 I (2.4.2)
e seja I o ideal em \u2126(N ×M), gerado pelas formas {\u3b7i}i\u2208I .
Por definic¸a\u2dco, o gra´fico de F : N \u2192 M e´ a subvariedade de dimensa\u2dco n = dimN , em
N ×M :
grF = {(x, y) \u2208 N ×M : y = F (x), x \u2208 N}
Consideremos a aplicac¸a\u2dco:
G : N \u21aa\u2192 N ×M, G : x 7\u2192 (x, F (x)
e demonstremos que o gra´fico de F : N \u2192M e´ uma variedade integral do ideal I.
De facto, basta mostrar que G\u2217\u3b7i = 0, \u2200i \u2208 I. Mas piN \u25e6 G = IdN e piM \u25e6 G = F , e
portanto:
G\u2217\u3b7i = G\u2217
(
pi\u2217NF
\u2217\u3c9i \u2212 pi\u2217M\u3c9i
)
= (F \u25e6 piN \u25e6G)\u2217\u3c9i \u2212 (piM \u25e6G)\u2217\u3c9i
= F \u2217\u3c9i \u2212 F \u2217\u3c9i = 0, \u2200i \u2208 I
Resumindo: se comec¸amos com uma aplicac¸a\u2dco F : N \u2192 M e uma qualquer colecc¸a\u2dcoE\u2c6de
formas em M , demonstramos que o gra´fico de F e´ uma variedade integral de um certo
ideal em \u2126(N ×M).
Suponhamos agora que comec¸amos com uma variedade M de dimensa\u2dco m, e com um
co-referencial {\u3c9i \u2208 \u21261(M), i = 1, · · · ,m} em M , i.e., com um conjunto de m formas
de grau 1 em M , linearmente independentes em cada ponto (estamos a supo\u2c6r que um
tal co-referencial existe, o que nem sempre acontece!...). Suponhamos que temos tambe´m
uma variedade N de dimensa\u2dco n e uma colecc¸a\u2dco de m = dimM formas de grau 1,
{\u3b1i \u2208 \u21261(N), i = 1, · · · ,m} em N . O problema que se po\u2dce e´ o de construir uma
aplicac¸a\u2dco F : N \u2192M , tal que:
F \u2217\u3c9i = \u3b1i, i = 1, · · · ,m (2.4.3)
2.4. Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobenius 100
Como vimos antes, se uma tal aplicac¸a\u2dco existe o seu gra´fico sera´ uma variedade integral
de um certo ideal em \u2126(N ×M). Por isso vamos tentar construir primeiro esse gra´fico
como variedade integral desse ideal. Para isso definimos 1-formas diferenciais em N ×M ,
pondo:
\u3b7i = pi\u2217N\u3b1
i \u2212 pi\u2217M\u3c9i \u2208 \u2126(N ×M), i = 1, · · · ,m (2.4.4)
e consideramos o ideal I em \u2126(N × M), gerado por essas formas. Vamos mostrar o
seguinte teorema fundamental:
\u2663 Teorema 2.9 ... Seja M uma variedade de dimensa\u2dco m e suponhamos que (ex-
iste) {\u3c9i \u2208 \u21261(M), i = 1, · · · ,m} e´ um co-referencial em M . Considermos ainda
uma variedade N de dimensa\u2dco n e uma colecc¸a\u2dco de m = dimM formas de grau 1,
{\u3b1i \u2208 \u21261(N), i = 1, · · · ,m} em N .
Se o ideal I, em \u2126(N ×M), gerado por:
\u3b7i = pi\u2217N\u3b1
i \u2212 pi\u2217M\u3c9i \u2208 \u2126(N ×M), i = 1, · · · ,m (2.4.5)
fo\u2c6r um ideal diferencial, enta\u2dco, para cada xo \u2208 N e yo \u2208M , existe uma vizinhanc¸a U
de xo em N , e uma aplicac¸a\u2dco F : U \u2286 N \u2192M , tal que F (xo) = yo) e:
F \u2217\u3c9i = \u3b1i
\u2223\u2223
U
, i = 1, · · · ,m (2.4.6)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco...
Supondo enta\u2dco que I e´ um ideal diferencial. Como I e´ gerado por m formas de grau 1
em N ×M , o Teorema de Frobenius garante que existe (localmente) uma u´nica variedade
integral S \u21aa\u2192 N×M , conexa de dimensa\u2dco n = (n+m)\u2212m, que passa em (xo, yo) \u2208 N×M .
Seja s \u2208 S. Vamos provar que dpiN |TsS e´ injectiva.
De facto, suponhamos que v \u2208 TsS e que dpiN (v) = 0. Como TsS e´ elemento integral de
I, sabemos que \u3b7is(v) = 0, e de (2.4.5) deduzimos que \u3c9i(dpiM (v)) = 0, \u2200i, e como os \u3c9i
formam um co-referencial, dpiM (v) = 0 tambem, isto e´ v = 0, ja´ que ambos dpiN (v) = 0 e
dpiM (v) = 0. Portanto dpiN |TsS e´ injectiva, e pelo teorema da inversa\u2dco local piN |S : S \u2192 N
e´ um difeomorfismo local. Existem pois vizinhanc¸as V de (xo, yo) em S e U de xo em N ,
tais que piN |V : V \u2286 S \u2192 U \u2286 N e´ um difeomorfismo. Definimos enta\u2dco F : U \u2286 N \u2192M
atrave´s de:
F = piM \u25e6 (piN |V )\u22121 (2.4.7)
E´ claro que F (xo) = yo, que o gra´fico de F e´ uma subavarieadae aberta de S e ainda que:
F \u2217\u3c9i = \u3b1i
\u2223\u2223
U
, i = 1, · · · ,m
De facto, se v \u2208 TxN , enta\u2dco por (2.4.5) vem que:
0 = \u3b7i