Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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imersa
em G. Se H e´ subvariedade (mergulhada) em G, enta\u2dco H diz-se um \u201csubgrupo de Lie
regular\u201d de G.
\u2663 Teorema 3.4 ... Seja H um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G. Enta\u2dco a
a´lgebra de Lie h e´ uma suba´lgebra de Lie da a´lgebra de Lie g de G. Ale´m disso:
h = {\u3be \u2208 g : exp(t\u3be) \u2208 H \u2200t \u2208 IR}
Demonstrac¸a\u2dco... A primeira afirmac¸a\u2dco decorre do teorema anterior com f = \u3b9 : H \u21aa\u2192 G.
Este mesmo teorema mostra ainda que exp(t\u3be) \u2208 H, \u2200\u3be \u2208 h, \u2200t \u2208 IR. Rec`\u131procamente, se
exp(t\u3be) \u2208 H, \u2200t \u2208 IR, enta\u2dco ddt |t=0 exp(t\u3be) = \u3be \u2208 h, uma vez que H e´ subgrupo de Lie.
¤.
Os grupos cla´ssicos ortogonais O\u3b2(V ) e ortogonais especiais, descritos na secc¸a\u2dco an-
terior, podem ser considerados como subgrupos fechados do grupo linear geral G`(N, IR)
para algum N apropriado. Os resultados anteriores mostram que sa\u2dco portanto grupos
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 129
de Lie, e que as respectivas a´lgebras de Lie sa\u2dco suba´lgebras de g`(N, IR), munida do
comutador usual de matrizes.
Vamos agora referir alguns teoremas sem demonstrac¸a\u2dco (ver por exemplo [BD], [Wa]
ou [Sp], para demonstrac¸o\u2dces completas).
\u2663 Teorema 3.5 ... Se H e´ um subgrupo fechado em G, enta\u2dco H e´ um subgrupo de
Lie regular de G.
\u2663 Teorema 3.6 ... Seja G um grupo de Lie, g a respectiva a´lgebra de Lie, e h uma
suba´lgebra de g. Enta\u2dco existe um subgrupo de Lie conexo H de G, cuja a´lgebra de Lie e´
h.
\u2663 Teorema 3.7 ... Dada uma a´lgebra de Lie g de dimensa\u2dco finita, existe um grupo
de Lie conexo e simplesmente conexo G cuja a´lgebra de Lie e´ g.
\u2663 Exerc´\u131cio 3.4 ... Considere o grupo de Lie:
SO(3) = {A \u2208 G`(3, IR) : AAt = AtA = 1 e det A = 1}
(i). Mostre que a a´lgebra de lie de SO(3) e´:
so(3) = so(3, IR) = {\u3be \u2208 g`(3, IR) : \u3be = \u2212\u3bet}
(ii). Considere a base para so(3) constitu´\u131da pelas matrizes:
e\u3021 =
\uf8ee\uf8f0 0 0 00 0 \u22121
0 1 0
\uf8f9\uf8fb e\u3022 =
\uf8ee\uf8f0 0 0 10 0 0
\u22121 0 0
\uf8f9\uf8fb e\u3023 =
\uf8ee\uf8f0 0 \u22121 01 0 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fb
e a a´lgebra de Lie (IR3,×), onde × e´ o produto vectorial usual em IR3 (com a orientac¸a\u2dco usual),
isto e´: (x× y) · z = det (x,y, z), \u2200x,y, z \u2208 IR3. Mostre que a aplicac¸a\u2dco:
\u302: IR3 \u2192 so(3), x = (xi) 7\u2192 x\u302 = xie\u302i =
\uf8ee\uf8f0 0 \u2212x3 x2x2 0 \u2212x1
\u2212x2 x1 0
\uf8f9\uf8fb
e´ um isomorfismo de a´lgebras de Lie, isto e´:
[x\u302, y\u302] = x\u302× y
(iii). Mostrar que sob a identificac¸a\u2dco anterior, o produto interno usual · em IR3, corresponde
ao produto interno em so(3), definido por:
\u3be · \u3b7 def= \u22121
2
tr (\u3be\u3b7)
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 130
isto e´:
x · y = \u22121
2
tr (x\u302y\u302)
Mostrar ainda que este produto interno e´ Ad-invariante, e que portanto define uma me´trica
biinvariante em SO(3).
(iv). Mostrar que sob a identificac¸a\u2dco \u302 , a representac¸a\u2dco adjunta Ad de SO(3) na sua
a´lgebra de Lie so(3), corresponde a` representac¸a\u2dco fundamental de SO(3) em IR3: (A,x) 7\u2192 Ax.
(v). Considere a representac¸a\u2dco fundamental de SO(3) em IR3: (A,x) 7\u2192 Ax. Mostrar que o
gerador infinitesimal desta acc¸a\u2dco e´ o campo de vectores em IR3 dado por:
\u3be\u302IR3(x) = \u3be × x \u2200x \u2208 IR3
(vi). Mostre que todo o elemento A \u2208 SO(3) e´ uma rotac¸a\u2dco em IR3 em torno de um eixo.
Deduza que SO(3) e´ difeomorfo a IRIP(3).
(vii). Mostrar que se \u3be\u302 \u2208 so(3), com \u3be \u2208 IR3, enta\u2dco exp(t\u3be\u302) e´ uma rotac¸a\u2dco em IR3 em torno
do eixo gerado por \u3be \u2208 IR3, e de a\u2c6ngulo t\u2016\u3be\u2016.
(viii). Demonstre a \u201cfo´rmula de Rodrigues\u201d seguinte:
exp(\u3be\u302) = 1+
sin \u2016\u3be\u2016
\u2016\u3be\u2016 \u3be\u302 +
1
2
[sin(\u2016\u3be\u20162 )
\u2016\u3be\u2016
2
]2
\u3be\u3022
onde \u3be \u2208 IR3.
\u2663 Exerc´\u131cio 3.5 ... Considere o grupo de Lie Sp(1) constitu´\u131do pelos quaternio\u2dces de norma
unita´ria:
Sp(1) = {x = x01+ x1i+ x2j+ x3k \u2208 IH : N(x) = xx = (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1}
(i). Mostre que a a´lgebra de Lie de Sp(1) e´:
sp(1) = Im IH = IR3
e que com a identificac¸a\u2dco Im IH = IR3, dada por \u3be = \u3be1i+ \u3be2j+ \u3be3k \u2208 Im IH 7\u2192 \u3be = (\u3be1, \u3be2, \u3be3) \u2208
IR3, o pate\u2c6ntisis de Lie e´ dado por [\u3be, \u3b7] = 2\u3be × \u3b7.
(ii). Considere o grupo de Lie:
SU(2) = SU(2,C) = {A \u2208 G`(2,C) : AA\u2020 = 1 e det A = 1}
Mostre que a a´lgebra de Lie de SU(2) e´:
su(2) = {\u3be \u2208 g`(2,C) : \u3be = \u2212\u3be\u2020 e tr \u3be = 0}
(iii). Mostre que a aplicac¸a\u2dco \u3b3 : IH\u2192M2(C), dada por:
x \u2208 IH 7\u2192 \u3b3(x) =
(
x0 + ix3 x2 + ix1
\u2212x2 + ix1 x0 \u2212 ix3
)
. (3.2.11)
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 131
onde x = x01 + x1i + x2j + x3k \u2208 IH, e´ um homomorfismo real de a´lgebras: \u3b3 e´ IR-linear,
\u3b3(1) = 1 e \u3b3(xy) = \u3b3(x)\u3b3(y). Mostre ainda que:
\u3b3(x) = (\u3b3(x))\u2020
e deduza que \u3b3 induz isomorfismos Sp(1) \u223c= SU(2) e sp(1) = IR3 \u223c= su(2).
(iv). Mostre que SU(2) e´ difeomorfo a` esfera SS3 \u2282 IR4, e que portanto e´ um grupo de Lie
compacto e simplesmente conexo.
(v). Considere as \u201cmatrizes de Pauli\u201d seguintes:
\u3c31 =
[
0 1
1 0
]
\u3c32 =
[
0 \u2212i
i 0
]
\u3c33 =
[
1 0
0 \u22121
]
Mostre que [\u3c31, \u3c32] = 2i\u3c33 (+ permutac¸o\u2dces c´\u131clicas). Mostre que \u3b3(i) = i\u3c31, \u3b3(j) = i\u3c32, \u3b3(k) =
i\u3c33, onde \u3b3 e´ a aplicac¸a\u2dco (3.2.11), e que portanto {i\u3c31, i\u3c32, i\u3c33} formam uma base para su(2).
(vi). Mostre que (3.2.11) pode ser escrita na forma:
\u3b3(x) = x01+ i
\u2211
k
xk\u3c3k
def
= x0 + ix · ~\u3c3
onde x = x01+ x1i+ x2j+ x3k = x0 + x \u2208 IH, com x \u2208 Im IH = IR3, e ~\u3c3 = (\u3c31, \u3c32, \u3c33).
(vii). Considere o conjunto Ho das matrizes hermitianas que te\u2c6m trac¸o nulo:
Ho =
{ [ c a\u2212 ib
a+ ib \u2212c
]
: a, b, c \u2208 IR
}
Mostre que a aplicac¸a\u2dco \u2dc : IR3 \u2192 Ho, definida por:
\u2dc : x = (xk) \u2208 IR3 7\u2192 x\u2dc = 3\u2211
k=1
xk\u3c3k =
[
x3 x1 \u2212 ix2
x1 + ix2 \u2212x3
]
e´ um isomorfismo linear (que permite identificar Ho com IR3). Mostre ainda que:
det x\u2dc = \u2212\u2016x\u20162, (x · y)1 = 1
2
(x\u2dcy\u2dc + y\u2dcx\u2dc)
\u2016x\u201621 = x\u2dc2 x\u2dc× y = i
2
(x\u2dcy\u2dc \u2212 y\u2dcx\u2dc) = i
2
[x\u2dc, y\u2dc]
e ainda:
x\u2dcy\u2dc = (x · y)1+ i x\u2dc× y
Esta u´ltima igualdade escreve-se habitualmente na forma:
(~x · ~\u3c3)(~y · ~\u3c3) = (~x · ~y)\u3c3o + i (~x× ~y) · ~\u3c3
onde se po\u2c6s \u3c3o = 1 e ~\u3c3 = (\u3c31, \u3c32, \u3c33). Isto e´, o produto de dois elementos x\u2dc, y\u2dc \u2208 Ho, e´ um
elemento de IR1+iHo, cuja \u201cparte real\u201d e´ o produto interno, e a \u201cparte imagina´ria\u201d e´ o produto
vectorial.
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 132
(viii). Mostre que os valores pro´prios de x\u2dc \u2208 Ho sa\u2dco ±\u2016x\u2016, e deduza que cada x \u2208 IR3\u2212{0}
induz uma decomposic¸a\u2dco de C2 em soma directa:
C2 = S+x \u2295 S\u2212x
Calcule essa decomposic¸a\u2dco quando x = (1, 1, 0). Mostre ainda que essa decomposic¸a\u2dco fica inal-
terada quando substituimos x por ax, onde a > 0 e´ um nu´mero real positivo arbitra´rio, isto e´,
cada direcc¸a\u2dco IR+{x} = {ax : a > 0} em IR3 (onde x 6= 0), determina (un`\u131vocamente) uma
decomposic¸a\u2dco de C2 da forma referida (2)
(ix). Considere agora, para cada A \u2208 SU(2), a aplicac¸a\u2dco:
\u3c8A : Ho \u223c= IR3 \u2212\u2192 IR3 \u223c= Ho
definida por:
\u3c8A(x\u2dc) = Ax\u2dcA\u2020 x\u2dc \u2208 Ho
Mostre que \u3c8A esta´ bem definida, e que \u3c8A e´ uma transformac¸a\u2dco ortogonal em IR3.
(x). Deduza a \u201cfo´rmula de Euler\u201d seguinte:
\u3c8A(x\u2dc) =
(
(a0)2 \u2212 \u2016a\u20162)x\u2dc+ 2(x · a)a\u2dc\u2212 2a0 \u2dc(a× x)
ou em termos do isomorfismo IR3 \u223c= H0:
y = \u3c8A(x) =
(
(a0)2 \u2212 \u2016a\u20162)x+ 2(x · a)a\u2212 2a0 (a× x) (3.2.12)
onde A = \u3b3(a) = a01 + i
\u2211
k a
k\u3c3k = a0 + ia · ~\u3c3 \u2208 SU(2), e x\u2dc \u2208 Ho = IR3. Deduzir que \u3c8A e´
uma rotac¸a\u2dco de IR3 de eixo gerado por a.
Nota... Como detA = (a0)2+\u2016a\u20162 = 1, podemos escolher \u3b8 tal que: a0 = cos \u3b82 e \u2016a\u2016 = sin \u3b82 .
Temos enta\u2dco duas poss´\u131veis escolhas para a orientac¸a\u2dco do eixo da rotac¸a\u2dco, dadas respectivamente
pelos vectores unita´rios u = ± a
sin \u3b8
2
. Uma vez escolhido o a\u2c6ngulo \u3b8 e o vector u, a fo´rmula de
Euler toma a forma:
y = \u3c8A(x) = (cos \u3b8)x+ (1\u2212 cos \u3b8) (u · x)u+ (sin \u3b8) (u× x) (3.2.13)
que representa uma rotac¸a\u2dco de eixo gerado por u, e a\u2c6ngulo \u3b8 no sentido directo.
(xi). Mostrar que \u3c8 : SU(2) \u2192 SO(3), definida por A 7\u2192 \u3c8A, e´ um homomorfismo de
grupos. Mostrar que se R(u;\u3d5) e´ a rotac¸a\u2dco de eixo gerado pelo vector unita´rio u \u2208 IR3, e de
a\u2c6ngulo \u3d5, enta\u2dco A = cos \u3b8 1\u2212 i sin \u3b8 u\u2dc \u2208 SU(2) e´ tal que \u3a8(±A) = R(u;\u3d5), e em particular \u3c8 e´
sobrejectivo.
2A interpretac¸a\u2dco f´\u131sica deste facto, e´ a seguinte: C2 representa o espac¸o de estados internos de um
sistema qua\u2c6ntico,