Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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uma part´\u131cula de spin 12 , localizada perto da origem 0 \u2208 IR3 (por exemplo, um electra\u2dco).
A existe\u2c6ncia de um campo magne´tico, determina uma direcc¸a\u2dco IR+{x} = {ax : a > 0} em IR3. Neste
campo o sistema tera´ dois estados estaciona´rios, que sa\u2dco precisamente S+x e S\u2212x . Se por exemplo, a
direcc¸a\u2dco IR+{x} corresponde a` parte positiva do eixo dos zz, enta\u2dco o estado S+x diz-se o estado com
\u201cprojecc¸a\u2dco de spin + 12 , ao longo do eixo dos zz\u201d (ou \u201cspin up\u201d), enquanto que S\u2212x se diz o estado com
\u201cprojecc¸a\u2dco de spin \u2212 12 , ao longo do eixo dos zz\u201d (ou \u201cspin down\u201d).
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 133
Nota... Por exemplo, temos que:
cos
\u3b8
2
1\u2212 i sin \u3b8
2
\u3c31 =
[
cos \u3b82 \u2212i sin \u3b82
\u2212i sin \u3b82 cos \u3b82
]
\u3c8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8
0 sin \u3b8 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fb (3.2.14)
cos
\u3b8
2
1\u2212 i sin \u3b8
2
\u3c32 =
[
cos \u3b82 \u2212 sin \u3b82
sin \u3b82 cos
\u3b8
2
]
\u3c8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8f0 cos \u3b8 0 sin \u3b80 1 0
\u2212 sin \u3b8 0 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fb (3.2.15)
cos
\u3b8
2
1\u2212 i sin \u3b8
2
\u3c33 =
[
cos \u3b82 \u2212 i sin \u3b82 0
0 cos \u3b82 + i sin
\u3b8
2
]
\u3c8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8f0 cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8 0sin \u3b8 cos \u3b8 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb
(3.2.16)
(xii). Mostrar que ker\u3c8 = {±1} = IZ2 e que SO(3) e´ isomorfo a SU(2)/IZ2.
(xiii). Para cada A = \u3b3(a) = a01+ i
\u2211
k a
k\u3c3k = a0+ ia ·~\u3c3 \u2208 SU(2), definem-se os chamados
\u201cpara\u2c6metros de Cayley-Klein\u201d (tambe´m chamados para\u2c6metros de Euler, ou ainda de Euler-
Rodrigues), atrave´s das notac¸o\u2dces mais usuais seguintes:
a0 = \u3c1 a = (a1, a2, a3) = (\u3b1, \u3b2, \u3b3)
Mostre utilizando a fo´rmula de Euler (3.2.12), que a matriz de \u3c8A (notada porR(\u3c1, \u3b1, \u3b2, \u3b3)),
na base cano´nica de IR3, e´ a matriz:
R(\u3c1, \u3b1, \u3b2, \u3b3) =
\uf8ee\uf8f0 \u3c12 + \u3b12 \u2212 \u3b22 \u2212 \u3b32 2(\u3b1\u3b2 \u2212 \u3b3\u3c1) 2(\u3b1\u3b3 + \u3b2\u3c1)2(\u3b1\u3b2 + \u3b3\u3c1) \u3c12 + \u3b22 \u2212 \u3b12 \u2212 \u3b32 2(\u3b2\u3b3 \u2212 \u3b1\u3c1)
2(\u3b1\u3b3 \u2212 \u3b2\u3c1) 2(\u3b2\u3b3 \u2212 \u3b1\u3c1) \u3c12 + \u3b32 \u2212 \u3b12 \u2212 \u3b22
\uf8f9\uf8fb .
Nota... Desta forma obtemos uma parametrizac¸a\u2dco das rotac¸o\u2dces de SO(3) atrave´s dos 4
para\u2c6metros de Cayley-Klein \u3c1, \u3b1, \u3b2, \u3b3, que satisfazem a condic¸a\u2dco \u3c12 + \u3b12 + \u3b22 + \u3b32 = 1.
\u2663 Exerc´\u131cio 3.6 ... Uma aplicac¸a\u2dco linear A : IR4 \u2192 IR4 diz-se uma transformac¸a\u2dco de
Lorentz, do espac¸o de Minkowski (IR4, \u3b7), se A preserva o produto escalar de Minkowski, i.e.:
A(x) ·A(y) = x · y \u2200x, y \u2208 IR4
(i). Mostre que se A e´ a matriz de uma tal transformac¸a\u2dco de Lorentz, relativamente a` base
cano´nica de IR4, enta\u2dco At \u3b7 A = \u3b7, det A = ±1 e A\u22121 = \u3b7At\u3b7. Estas matrizes dizem-se matrizes
de Lorentz.
O conjunto de todas as transformac¸o\u2dces de Lorentz em IR4, constituem um grupo que se
diz o grupo de Lorentz O(1, 3). Este grupo e´ isomorfo ao grupo das matrizes de Lorentz,
tambe´m notado por O(1, 3). O subconjunto de O(1, 3) constitu´\u131do por todas as transformac¸o\u2dces
de Lorentz que te\u2c6m determinante 1, e´ um subgrupo de O(1, 3), chamado o grupo de Lorentz
especial (ou pro´prio) e notado por SO(1, 3). Este grupo e´ isomorfo ao grupo das matrizes de
Lorentz de determinante 1, tambe´m notado por SO(1, 3). Vamos ainda destacar um subconjunto
de SO(1, 3) constitu´\u131do por todas as matrizes de Lorentz A = (A\u3b2\u3b1) tais que A00 \u2265 1. Este
subconjunto e´ ainda um subgrupo de SO(1, 3). E´ chamado o grupo de Lorentz especial (ou
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 134
pro´prio) ortocrono e e´ notado por \u39b\u2191+, ou SO(1, 3)\u2191. Por exemplo, em \u39b
\u2191
+ = SO(1, 3)
\u2191, esta\u2dco
as matrizes da forma:
R(\u3b8) =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0
0 R(~u, \u3b8)
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
onde R(~u, \u3b8) representa uma rotac¸a\u2dco de {0} × IR3 \u223c= IR3 em torno de um eixo ~u \u2208 IR3 e de
a\u2c6ngulo \u3b8 no sentido directo. Portanto SO(3) e´ um subgrupo de \u39b\u2191+ = SO(1, 3)\u2191. Em particular
em SO(1, 3)\u2191 esta\u2dco as seguintes matrizes:
R1(\u3b8) =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8
0 0 sin \u3b8 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb R2(\u3b8) =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0 cos \u3b8 0 sin \u3b8
0 0 1 0
0 \u2212 sin \u3b8 0 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
e ainda:
R3(\u3b8) = t
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0 cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8 0
0 sin \u3b8 cos \u3b8 0
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(ii). Considere dois vectores temporais unita´rios dirigidos para o futuro u0 e u\u2c60, e os espac¸os
f´\u131sicos F0 = u\u22a50 e F\u2c60 = u\u2c6\u22a50 , associados aos observadores inerciais IRu0 e IRu\u2c60.
Mostre que nessas condic¸o\u2dces existe uma transformac¸a\u2dco de Lorentz B em \u39b\u2191+ = SO(1, 3)\u2191,
que transforma u0 em u\u2c60. A esta transformac¸a\u2dco de Lorentz chama-se um boost.
(iii). Mostre que as seguintes matrizes sa\u2dco boosts:
B1(\u3d5) =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
cosh\u3d5 sinh\u3d5 0 0
sinh\u3d5 cosh\u3d5 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb B2(\u3d5) =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
cosh\u3d5 0 sinh\u3d5 0
0 1 0 0
sinh\u3d5 0 cosh\u3d5 0
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
e ainda:
B3(\u3d5) =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
cosh\u3d5 0 0 sinh\u3d5
0 1 0 0
0 0 1 0
sinh\u3d5 0 0 cosh\u3d5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(iv). Calcule as derivadas rk
def
= R\u2032k(0) e bk
def
= B\u2032k(0), (k = 1, 2, 3), das matrizes
Rk(\u3b8) e Bk(\u3d5) que figuram em (ii). e (iii)., e mostre que a a´lgebra de Lie so(1, 3) de SO(1, 3)
e´ gerada por {r1, r2, r3, b1, b2.b3} com as relac¸o\u2dces de comutac¸a\u2dco seguintes:
[r1, r2] = r3 [r2, r3] = r1 [r3, r1] = r2
[b1, r2] = b3 [b2, r3] = b1 [b3, r1] = b2
[b1, b2] = \u2212r3 [b2, b3] = \u2212r1 [b3, b1] = \u2212r2 (3.2.17)
(v). Considere o espac¸o vectorial real H constitu´\u131do por todas as matrizes hermitianas (2×2)
de entradas complexas, e a aplicac¸a\u2dco:
x = (xa) \u2208 IR4 7\u2192 x\u2dc = xa\u3c3a =
[
x0 + x3 x1 \u2212 ix2
x1 + ix2 x0 \u2212 x3
]
\u2208 H
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 135
onde \u3c3a = (\u3c30, \u3c31, \u3c32, \u3c33), com \u3c30 = 1 e \u3c31, \u3c32, \u3c33 sa\u2dco as matrizes de Pauli. Mostre que \u2dc e´ um
isomorfismo linear (que permite portanto identificar H com IR4), e que:
x · x = \u2212det x\u2dc \u2200x \u2208 IR4
(vi). Considere o grupo S`(2,C) das matrizes A, complexas (2× 2) de determinante 1:
S`(2,C) =
{ [ \u3b1 \u3b2
\u3b3 \u3b4
]
: \u3b1\u3b4 \u2212 \u3b2\u3b3 = 1
}
e para cada A \u2208 SL(2,C), a aplicac¸a\u2dco:
\u3c8A : H \u223c= IR4 \u2212\u2192 IR4 \u223c= H
definida por:
\u3c8A(x\u2dc) = A x\u2dcA\u2020 x\u2dc \u2208 H \u223c= IR4
Mostre que \u3c8A esta´ bem definida, preserva o produto escalar de Minkowski e portanto que \u3c8A \u2208
O(1, 3), para cada A \u2208 S`(2,C).
(vii). Mostre que aplicac¸a\u2dco:
\u3a8 : A \u2208 S`(2,C) \u2212\u2192 \u3c8A \u2208 \u39b\u2191+ = SO(1, 3)\u2191
e´ um homomorfismo sobrejectivo de S`(2,C) sobre o grupo de Lorentz pro´prio ortocrono \u39b\u2191+ =
SO(1, 3)\u2191, cujo nu´cleo e´ {±Id}, e que portanto:
\u39b\u2191+ = SO(1, 3)
\u2191 \u223c= S`(2,C)/{±Id}
Por exemplo, temos que:
cos
\u3b8
2
1\u2212 i sin \u3b8
2
\u3c31 =
[
cos \u3b82 \u2212i sin \u3b82
\u2212i sin \u3b82 cos \u3b82
]
\u3a8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8
0 0 sin \u3b8 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
cos
\u3b8
2
1\u2212 i sin \u3b8
2
\u3c32 =
[
cos \u3b82 \u2212 sin \u3b82
sin \u3b82 cos
\u3b8
2
]
\u3a8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0 cos \u3b8 0 sin \u3b8
0 0 1 0
0 \u2212 sin \u3b8 0 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
cos
\u3b8
2
1\u2212 i sin \u3b8
2
\u3c33 =
[
cos \u3b82 \u2212 i sin \u3b82 0
0 cos \u3b82 + i sin
\u3b8
2
]
\u3a8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0
0 cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8 0
0 sin \u3b8 cos \u3b8 0
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
3.2. A´lgebras de Lie dos grupos de Lie 136
e:
cosh
\u3d5
2
1+ sinh
\u3d5
2
\u3c31 =
[
cosh \u3d52 sinh
\u3d5
2
sinh \u3d52 cosh
\u3d5
2
]
\u3a8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
cosh\u3d5 sinh\u3d5 0 0
sinh\u3d5 cosh\u3d5 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
cosh
\u3d5
2
1+ sinh
\u3d5
2
\u3c32 =
[
cosh \u3d52 \u2212i sinh \u3d52
i sinh \u3d52 cosh
\u3d5
2
]
\u3a8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
cosh\u3d5 0 sinh\u3d5 0
0 1 0 0
sinh\u3d5 0 cosh\u3d5 0
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
cosh
\u3d5
2
1+ sinh
\u3d5
2
\u3c33 =
[
cosh \u3d52 + sinh
\u3d5
2 0
0 cosh \u3d52 \u2212 sinh \u3d52
]
\u3a8\u2212\u2192
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
cosh\u3d5 0 0 sinh\u3d5
0 1 0 0
0 0 1 0
sinh\u3d5 0 0 cosh\u3d5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(viii). Mostre que as derivadas em \u3b8 = 0 e \u3d5 = 0, respectivamente, das matrizes de S`(2,C)
que figuram nos primeiros membros das relac¸o\u2dces anteriores, sa\u2dco matrizes {\u3c11, \u3c12, \u3c13, \u3b21, \u3b22, \u3b23}
que formam uma base para a a´lgebra de Lie sl(2,C) de S`(2,C), tal que:
\u3c11 = \u2212 i2\u3c31 \u3c12 = \u2212
i
2
\u3c32 \u3c13 = \u2212 i2\u3c33
\u3b21 =
1
2
\u3c31 \u3b22 =
1
2
\u3c32 \u3b23 =
1
2
\u3c33
e que verificam as relac¸o\u2dces de comutac¸a\u2dco seguintes:
[\u3c11, \u3c12] = \u3c13 [\u3c12, \u3c13] = r1 [\u3c13, \u3c11] = \u3c12
[\u3b21, \u3c12] = \u3b23 [\u3b22, \u3c13] = \u3b21 [\u3b23, \u3c11] = \u3b22
[\u3b21, \u3b22] = \u2212\u3c13 [\u3b22, \u3b23] = \u2212\u3c11 [\u3b23, \u3b21] = \u2212\u3c12 (3.2.18)
Em particular:
sl(2,C) \u223c= so(1, 3)
(ix). Considere o complexificado de sl(2,C), notado por sl(2,C)C, isto e´, a a´lgebra de Lie
complexa de dimensa\u2dco complexa 6, gerada por {\u3c11, \u3c12, \u3c13, \u3b21, \u3b22, \u3b23}, e munida da operac¸a\u2dco de
comutac¸a\u2dco definida por (3.2.18).
Mostrar que em sl(2,C)C existe uma base (complexa) constitu´\u131da pelos seguintes