Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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ck =
1
2
(\u3c1k + i\u3b2k) k = 1, 2, 3
dk =
1
2
(\u3c1k \u2212 i\u3b2k) k = 1, 2, 3
que satisfazem as relac¸o\u2dces de comutac¸a\u2dco seguintes:
[c1, c2] = c3 [c2, c3] = c1 [c3, c1] = c2
[d1, d2] = d3 [d2, d3] = d1 [d3, d1] = d2
[ck, dm] = 0 \u2200k,m = 1, 2, 3
e que portanto:
sl(2,C)C \u223c= sl(2,C)\u2295 sl(2,C)
Cap´\u131tulo 4
Espac¸os homoge´neos
4.1 Acc¸o\u2dces de grupo. Espac¸os homoge´neos
Vamos comec¸ar esta secc¸a\u2dco introduzindo a terminologia ba´sica sobre acc¸o\u2dces de grupos em
variedades:
\u2663 Definic¸a\u2dco 4.1 ... Uma \u201cacc¸a\u2dco esquerda\u201d de um grupo de Lie G numa variedade
diferencia´vel M , e´ uma aplicac¸a\u2dco C\u221e:
\u3a6 : G×M \u2212\u2192M
tal que:
\u2022 \u3a6(e, x) = x \u2200x \u2208M
\u2022 \u3a6(g,\u3a6(h, x)) = \u3a6(gh, x), \u2200g, h \u2208 G, \u2200x \u2208M
E´ usual utilizar a notac¸a\u2dco \u3a6(g, x) = g · x. As condic¸o\u2dces anteriores escrevem-se enta\u2dco
na forma e · x = x e g · (h · x) = gh · x. M diz-se enta\u2dco um \u201cG-espac¸o\u201d esquerdo.
Uma \u201cacc¸a\u2dco direita\u201d de um grupo de Lie G numa variedade M , e´ uma aplicac¸a\u2dco C\u221e
\u3a8 : M × G \u2212\u2192 M , tal que \u3a8(x, e) = x e \u3a8(\u3a8(x, g), h) = \u3a6(x, gh). Com a notac¸a\u2dco
\u3a8(x, g) = x · g, essas condic¸o\u2dces escrevem-se na forma : x · e = x e (x · g) · h = x · gh.
Se para cada g \u2208 G definimos \u3a6g : M \u2192 M atrave´s de \u3a6g(x) = \u3a6(g, x) enta\u2dco uma
acc¸a\u2dco esquerda define um homomorfismo de grupos G \u2192 Diff(M), uma vez que as
condic¸o\u2dces da definic¸a\u2dco traduzem que \u3a6e = IdM e \u3a6gh = \u3a6g \u25e6 \u3a6h.
Quando M = V e´ um espac¸o vectorial e cada \u3a6g e´ linear, \u3a6 diz-se uma representac¸a\u2dco
(linear).
Suponhamos que \u3a6 e´ uma acc¸a\u2dco esquerda de G em M (se \u3a6 e´ uma acc¸a\u2dco direita, as
definic¸o\u2dces seguintes sa\u2dco adaptadas de maneira o´bvia). Define-se a \u201co´rbita\u201d de x \u2208 M ,
atrave´s de:
Orb(x)
def
= {\u3a6g(x) = g · x : g \u2208 G} \u2286M
137
4.1. Acc¸o\u2dces de grupo. Espac¸os homoge´neos 138
O G-espac¸o M e´ reunia\u2dco de o´rbitas disjuntas. O \u201cespac¸o das o´rbitas\u201d da acc¸a\u2dco \u3a6,
e´ o espac¸o M/G = {Orb(x) : x \u2208 M}, munido da topologia quociente relativamente a`
projecc¸a\u2dco pi : x 7\u2192 Orb(x). Os subconjuntos de M , G-invariantes sa\u2dco os que sa\u2dco da forma
pi\u22121(A), onde A \u2286M/G.
A \u201caplicac¸a\u2dco orbital\u201d e´ a aplicac¸a\u2dco:
\u3a6x : G\u2192M, \u3a6x : g 7\u2192 g · x
Dado um ponto x \u2208M , define-se o \u201cgrupo de isotropia\u201d de x, atrave´s de:
Gx
def
= {g \u2208 G : g · x = x } \u2286 G
Como \u3a6x e´ cont´\u131nua, Gx = \u3a6
\u22121
x ({x}) e´ um subgrupo fechado de G e portanto e´ um
subgrupo de Lie regular de G. Note que se o grupo de isotropia de g · x e´ Gg·x = gGxg\u22121,
e portanto a cada o´rbita esta´ asoociada uma classe de subgrupos conjugados.
Uma acc¸a\u2dco diz-se:
\u2022 \u201ctransitiva\u201d se existe uma u´nica o´rbita (igual a M), ou de forma equivalente, se
\u2200x, y \u2208M existe g \u2208 G tal que y = g · x.
\u2022 \u201cefectiva ou fiel\u201d se o homomorfismo G \u2192 Diff(M), g 7\u2192 \u3a6g e´ injectivo: \u3a6g =
IdM \u21d2 g = e.
\u2022 \u201cLivre\u201d se na\u2dco tem pontos fixos, i.e., se cada grupo de isotropia e´ trivial: Gx =
{e}, \u2200x \u2208M
Exemplos ...
(i). \u201cAcc¸a\u2dco de G em G por automorfismos internos\u201d ... Define-se por:
I : g 7\u2192 Ig \u2208 Diff(G) Ig(h) = ghg\u22121
As o´rbitas sa\u2dco as classes de conjugac¸a\u2dco (classes de semelhanc¸a, no caso dos grupos de matrizes):
(ii). \u201cRepresentac¸a\u2dco Adjunta de G na sua a´lgebra de Lie g\u201d ... Define-se derivando
Ig = rg\u22121`g : G\u2192 G, na unidade e, isto e´:
Ad : g 7\u2192 Adg \u2208 Diff(G) Adg = TeIg = Te(rg\u22121`g)e \u2208 Aut(g) (4.1.1)
Por exemplo se G = G`(n, IR), enta\u2dco como IA(B) = ABA\u22121, derivando em e = 1, obtemos:
T1IA(\u3be) =
d
dt
|t=0A\u3be(t)A\u22121 = A\u3beA\u22121 \u3be \u2208 g`(n, IR)
onde \u3be(t) e´ uma curva que passa em 1 no instante t = 0, a` velocidade \u3be \u2208 g`(n, IR).
4.1. Acc¸o\u2dces de grupo. Espac¸os homoge´neos 139
(iii). \u201cRepresentac¸a\u2dco Coadjunta de G no dual da sua a´lgebra de Lie g\u2217\u201d ... Define-
se pondo para cada g \u2208 G:
Ad\u2217 : g 7\u2192 Ad\u2217g\u22121 \u2208 Aut(g\u2217)
onde Ad\u2217g \u2208 Aut(g\u2217) igual a` transposta de Adg, isto e´:
\u3008Ad\u2217g(\u3b1), \u3be\u3009 = \u3008\u3b1,Adg(\u3be)\u3009 \u2200\u3b1 \u2208 g\u2217, \u2200\u3be \u2208 g (4.1.2)
Os G-espac¸os que nos va\u2dco interessar sa\u2dco os chamados espao¸s homoge´neos que para ja´
definimos da seguinte forma. Seja H \u2282 G um subgrupo fechado de um grupo de Lie G.
Enta\u2dco a multiplicac¸a\u2dco no grupo define uma acc¸a\u2dco direita de H em G, G×H \u2192 G, atrave´s
de (g, h) 7\u2192 gh. O espac¸o de o´rbitas G/H das classes gH diz-se um espac¸o homoge´neo.
O grupo G actua a` esquerda de G/H atrave´s de:
G×G/H \u2192 G/H, (g, xH) 7\u2192 gxH
O resultado fundamental a`cerca de espac¸os homoge´neos e´ o seguinte:
\u2663 Teorema 4.1 ... Seja G um grupo de Lie e H um seu subgrupo fechado. Enta\u2dco G
tem uma estrutura de H-fibrado principal, cujo espac¸o total e´ G, a base e´ G/H, o grupo
de estrutura e´ H (actuando a` direita de G por multiplicac¸a\u2dco a` direita), e a projecc¸a\u2dco e´
pi : g 7\u2192 gH. Em particular, G/H e´ uma variedade diferencia´vel e pi e´ uma submersa\u2dco.
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco...
\u2022 A topologia que consideramos em G/H e´ a topologia quociente relativamente a` projecc¸a\u2dco
pi : G\u2192 G/H, x 7\u2192 xH, isto e´, U \u2282 G/H e´ aberto se e so´ se pi\u22121(U) e´ aberto em G. Com
esta topologia pi e´ aberta. De facto, se W e´ aberto em G, enta\u2dco pi\u22121(pi(W )) = \u2229h\u2208H Wh
que e´ aberto em G, e portanto pi(W ) e´ aberto em G/H. Ale´m disso, G/H e´ Hausdorff.
De facto, consideremos o conjunto:
R = {(x, y) \u2208 G×G : x = yh para algum h \u2208 H }
Enta\u2dco R e´ fechado em G × G, ja´ que H e´ fechado e R = \u3b1\u22121(H) onde \u3b1 e´ a aplicac¸a\u2dco
cont´\u131nua \u3b1 : G × G \u2192 G, (x, y) 7\u2192 y\u22121x. Consideremos agora dois pontos distintos
xH 6= yH em G/H. Enta\u2dco (x, y) 6\u2208 R, e portanto existem vizinhanc¸as V de x e W de y
em G, tais que (V ×W ) \u2229R = \u2205. Enta\u2dco como pi e´ aberta, pi(V ) e pi(W ) sa\u2dco vizinhanc¸as
abertas disjuntas de xH e yH em G/H (caso contra´rio, existiria v \u2208 V e w \u2208W tais que
pi(v) = pi(w), e portanto (v, w) \u2208 (V ×W )\u2229R, o que e´ absurdo), o que prova que G/H e´
Hausdorff.
\u2022 G e´ localmente trivial sobre G/H, isto e´, para cada ponto x \u2208 G/H existe uma vizinhanc¸a
U e uma trivializac¸a\u2dco equivariante:
pi\u22121(U) \u3c6\u2212\u2192 U ×H
pi \u2198 \u2199 pi1
U
4.1. Acc¸o\u2dces de grupo. Espac¸os homoge´neos 140
tal que \u3c6(gh) = \u3c6(g)h. De facto, consideremos um produto interno em g, e seja g = V \u2295h
uma decomposic¸a\u2dco ortogonal da a´lgebra de Lie g. Seja V² = {v \u2208 V : \u2016v\u2016 < ²} e
D² = expV². Chamamos a D² uma secc¸a\u2dco transversal a H em e. Vamos mostrar que, se
² > 0 e´ suficientemente pequeno, enta\u2dco a aplicac¸a\u2dco:
µ : D² ×H \u2192 G µ : (g, h) 7\u2192 gh
e´ um mergulho aberto.
De facto a diferencial de dµ(e,e) : V \u2295 h \u2192 g, e´ a identidade em ambos os somandos
TeD² = V e TeH = h de T(e,e)(D² ×H) \u223c= V \u2295 h. Pelo teorema da inversa\u2dco local, µ e´ um
difeomorfismo de D² × U sobre D²U , para alguma vizinhanc¸a de e em H, e para ² > 0
suficientemente pequeno. Note que isto implica que µ e´ um difeomorfismo local, uma vez
que µ|(D²×Uh) = h \u25e6 (µD²×U ) \u25e6 h\u22121.
Resta mostrar que µ e´ injectiva desde que ² > 0 seja suficientemente pequeno. Sejam
d1, d2 \u2208 D² e h1, h2 \u2208 H tais que d1h1 = d2h2. Pondo h = h1h\u221212 , temos que d1h = d2
e podemos escolher ², de tal forma que d1 e d2 estejam ta\u2dco pro´ximos da unidade que
h = d1d\u221212 esteja em U . Como µ e´ injectiva em D²×U e µ(d1, h) = µ(d2, e), obtemos que
h1 = h2 e d1 = d2, o que mostra que µ e´ globalmente injectiva.
\u2022 Para terminar, observamos que os conjuntos:
Ug = gD²H g \u2208 G
sa\u2dco H-invariantes, e que Ug/H, g \u2208 G, constituem uma cobertura aberta de G/H para
a qual podemos construir um atlas para a estrutura de variedade em G/H, e para a
estrutura de H-fibrado principal de G sobre G/H. Cartas para G/H sa\u2dco dadas pelas
aplicac¸o\u2dces hg : Ug/H \u2192 D² cujas inversas sa\u2dco definidas pela composic¸a\u2dco:
h\u22121g : D² = D² × e \u2282 d² ×H µ\u2212\u2192 D²H g\u2212\u2192 gD²H = Ug pi\u2212\u2192 Ug/H
Cartas para o fibrado sa\u2dco dadas pelos difeomorfismos \u3c6g com inversos:
\u3c6\u22121g : Ug/H ×H
hg×Id\u2212\u2192 D² ×H µ\u2212\u2192 D²H g\u2212\u2192 gD²H = Ug
¤.
\u2663 Definic¸a\u2dco 4.2 ... Um \u201cespac¸o homoge´neo de um grupo de Lie G\u201d e´ uma
variedade M munida de uma acc¸a\u2dco esquerda diferencia´vel transitiva de G em M .
\u2663 Teorema 4.2 ... SeM e´ um espac¸o homoge´neo de um grupo de Lie G, e se x \u2208M ,
enta\u2dco a aplicac¸a\u2dco \u3a6x : G/Gx \u2192M, gGx 7\u2192 g · x e´ um difeomorfismo.