Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Note que \u3a8 esta´ bem definida (ja´ que gh·x = g ·(h·x) = g ·x, \u2200h \u2208 Gx), e´
injectiva (ja´ que \u3a8(aGx) = \u3a8(bGx)\u21d2 b\u22121a·x = x\u21d2 b\u22121a \u2208 Gx \u21d2 aGx = bGx), e tambe´m
sobrejectiva uma vez que a acc¸a\u2dco e´ transitiva. Como a aplicac¸a\u2dco orbital \u3a6x(g) = g · x
e´ C\u221e, tambe´m o e´ \u3a8. Resta mostrar que \u3a8 e´ imersiva, isto e´, que a sua diferencial e´
injectiva em cada ponto. Mas \u3a8 e´ G-equivariante e portanto tem rank constante. Como
e´ injectiva deve ser imersiva, pelos resultados da secc¸a\u2dco 1.6,
¤.
4.2. Exemplos 141
4.2 Exemplos
\u2022 SSn\u22121 \u223c= SO(n)SO(n\u22121)
O grupo SO(n) actua linearmente em IRn, e acc¸a\u2dco e´ transitiva quando restrita a SSn\u22121. O
vector en = (0, · · · , 0, 1) \u2208 SSn\u22121 tem grupo de isotropia SO(n\u2212 1) \u2282 SO(n), e portanto
temos um difeomorfismo:
SO(n)/SO(n\u2212 1)\u2192 SSn\u22121, [A] 7\u2192 Aen
e um SO(n\u2212 1)-fibrado principal:
SO(n\u2212 1)\u2192 SO(n)\u2192 SSn\u22121
\u2022 SS2n\u22121 \u223c= U(n)U(n\u22121)
O grupo unita´rio U(n) actua linearmente em Cn, e acc¸a\u2dco e´ transitiva quando restrita a
SS2n\u22121 = {x + iy \u2208 Cn : \u2016x\u20162 + \u2016y\u20162 = 1}. O vector en = (0, · · · , 0, 1) \u2208 SS2n\u22121 tem
grupo de isotropia U(n \u2212 1) \u2282 U(n), e como no exemplo anterior obtemos um difeomor-
fismo U(n)/U(n\u2212 1) \u223c= SS2n\u22121 e U(n\u2212 1)-fibrado principal:
U(n\u2212 1)\u2192 U(n)\u2192 SS2n\u22121
Ana`logamente se deduz que SU(n)SU(n\u22121)
\u223c= SS2n\u22121, e ainda que Sp(n)Sp(n\u22121) \u223c= SS4n\u22121.
\u2022 IRIP(n) = G`(n+1,IR)H
Seja IRIP(n) o espac¸o projectivo real das rectas vectoriais em IRn+1, e pi : IRn+1 \u2212 {0} \u2192
IRIP(n) a projecc¸a\u2dco cano´nica. Cada A \u2208 G`(n + 1, IR) induz uma aplicac¸a\u2dco em IRIP(n),
notada ainda por A e definida por Api(x) def= pi(Ax), x \u2208 IRn+1 \u2212 {0}. Fica assim
definida uma acc¸a\u2dco transitiva de G`(n + 1, IR) em IRIP(n). O grupo de isotropia de
pi(en+1), onde en+1 = (0, · · · , 0, 1), e´ o subgrupo fechado H de G`(n+ 1, IR) que consiste
das matrizes do tipo:\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
A
...
0
\u2217 \u2217 \u2217 \u2217\u2217 \u2217 a
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb onde a 6= 0 e A \u2208 G`(n, IR)
Portanto IRIP(n) = G`(n+1,IR)H . Da mesma forma se prova que IRIP(n) =
SO(n+1,IR)
H\u2032 , onde
agora H \u2032 e´ o subgrupo fechado H de G`(n+ 1, IR) que consiste das matrizes do tipo:\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
A
...
0
0 · · · 0 a
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb onde a = ±1, A \u2208 O(n, IR) e a · det A = 1
4.2. Exemplos 142
\u2022 CIP(n\u2212 1) \u223c= SU(n)U(n\u22121)
O grupo especial unita´rio SU(n) actua linearmente em Cn, e a acc¸a\u2dco induzida no espac¸o
projectivo CIP(n\u22121) e´ transitiva. O grupo de isotropia do ponto x = C{en} \u2208 CIP(n\u22121),
consiste das matrizes que sa\u2dco da forma:\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
A
...
0
· · · \u3b1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \u2208 SU(n)
Este grupo de isotropia e´ a imagem do mergulho:
U(n\u2212 1)\u2192 SU(n) A 7\u2192
[
A 0
0 \u3b1
]
, \u3b1 = (detA)\u22121
Portanto interpretando desta forma U(n\u22121) como um subgrupo fechado em SU(n), temos
um fibrado principal:
U(n\u2212 1)\u2192 SU(n)\u2192 CIP(n\u2212 1)
De forma ana´loga se obtem um fibrado principal:
O(n\u2212 1)\u2192 SO(n)\u2192 IRIP(n\u2212 1)
\u2022 Vk(IRn) \u223c= O(n)O(n\u2212k)
A variedade de StiefelVk(IRn) e´ contitu´\u131da por todas as seque\u2c6ncias ordenadas de k vectores
ortonormais em IRn. O grupo ortogonal O(n) actua transitivamente em Vk(IRn), atrave´s
de:
A · (v1, · · · ,vk) = (Av1, · · · , Avk)
e o grupo de isotropia do ponto x = (en\u2212k+1, · · · , en) \u2208 Vk(IRn) e´ O(n\u2212 k). Portanto:
O(n)
O(n\u2212 k)
\u223c= Vk(IRn) [A] 7\u2192 Ax
\u2022 Grk(IRn) \u223c= O(n)O(k)×O(n\u2212k)
Seja Grk(IRn) a Grassmanniana dos k-planos em IRn. E´ claro que O(n) actua tran-
sitivamente em Grk(IRn), e o grupo de isotropia do k-plano gerado pelos primeiros k
vectores da base cano´nica de IRn, x = IR\u3008e1, · · · , ek\u3009 \u2208 Grk(IRn), e´ o subgrupo fechado
O(k)×O(n\u2212k) \u2282 O(n), mergulhado em O(n) atrave´s de (A,B) 7\u2192
[
A 0
0 B
]
. Portanto:
Grk(IRn) \u223c= O(n)/(O(k)×O(n\u2212 k))
De forma ana´loga:
Grk(Cn) \u223c= U(n)/(U(k)× U(n\u2212 k))
E:
Grk(IHn) \u223c= Sp(n)/(Sp(k)× Sp(n\u2212 k))
4.3. Forma de Maurer-Cartan. Equac¸o\u2dces de estrutura de um grupo de Lie143
\u2022 \u201cVariedades Flag completas\u201d
Considere o conjunto:
F`(IRn) def= {(S1, S2, · · · , Sn) : Sj sa\u2dco subespac¸os de IRn de dimensa\u2dco j, j = 1, 2, · · · , n
e tais que S1 \u2282 S2 \u2282 · · · \u2282 Sn} (4.2.1)
F`(IRn) e´ uma variedade diferencia´vel de dimensa\u2dco d = n(n\u2212 1), a que chamamos \u201cVar-
iedade Flag completa\u201d (bandeira) em IRn. G`(n, IR) actua transitivamente em F`(IRn). De
facto se x = (S1 \u2282 S2 \u2282 · · · \u2282 Sn) e x\u2032 = (S\u20321 \u2282 S\u20322 \u2282 · · · \u2282 S\u2032n) sa\u2dco dois pontos em F`(IRn),
escolhemos bases (v1, · · · ,vn) e (w1, · · · ,wn) para IRn tais que Sj = IR\u3008v1, · · · ,vj\u3009 e
S\u2032j = IR\u3008w1, · · · ,wj\u3009, respectivamente (j = 1, · · · , n). Enta\u2dco existe A \u2208 G`(n, IR) tal que
Avj = wj , (j = 1, · · · , n), e e´ claro que este A satisfaz Ax = x\u2032. Consideremos agora
a flag x0 = (S01 \u2282 S02 \u2282 · · · \u2282 S0n), com S0j = IR\u3008e1, · · · , ej\u3009, onde (e1, · · · , en) e´ a base
cano´nica de IRn. O grupo de isotropia de x0 e´ o o subgrupo fechado H de G`(n,C) que
consiste das matrizes triangulares superiores:\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 a
1
2 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
...
... · · · ...
0 0 · · · ann
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
4.3 Forma de Maurer-Cartan. Equac¸o\u2dces de estrutura
de um grupo de Lie
Seja G um grupo de Lie de dimensa\u2dco r = dimG, e g \u223c= TeG \u223c= X`(G) a respectiva a´lgebra
de Lie. A forma de Maurer-Cartan e´, por definic¸a\u2dco, a 1-forma \u3c9 = \u3c9G : TM \u2192 g,
invariante a` esquerda, definida por:
\u3c9g(v) = `g\u22121\u2217(v), v \u2208 TgG
Quando H e´ um subgrupo de G, enta\u2dco \u3c9H = \u3c9G|H .
Se {X1, · · · , Xr} e´ uma base para a a´lgebra de Lie g \u223c= TeG, e se {\u3c91, · · · , \u3c9r} e´ a
respectiva base dual para g\u2217, enta\u2dco podemos escrever:
\u3c9G =
\u2211
a
\u3c9a \u2297Xa (4.3.1)
onde as formas \u3c9a sa\u2dco invariantes a` esquerda (`\u2217g\u3c9
a = \u3c9a, \u2200g \u2208 G). Suponhamos ainda
que:
[Xa, Xb] =
\u2211
c
CcabXc (4.3.2)
onde Ccab sa\u2dco as constantes de estrutura de g. Utilizemos a fo´rmula d\u3b8(X,Y ) = X\u3b8(Y ) +
Y \u3b8(X)\u2212 \u3b8([X,Y ]), va´lida para qualquer 1-forma \u3b8, quando X = Xa, Y = Xc sa\u2dco campos
invariantes a` esquerda e quando \u3b8 = \u3c9c. Neste caso \u3c9c(Xa) e \u3c9
c(Xb) sa\u2dco constantes e,
por outro lado, \u3c9c([Xa, Xb]) = \u3c9
c(CcabXc) = C
c
ab. Portanto:
d\u3c9c(Xa, Xb) = \u2212\u3c9c([Xa, Xb]) = \u2212Ccab (4.3.3)
4.3. Forma de Maurer-Cartan. Equac¸o\u2dces de estrutura de um grupo de Lie144
Pondo por definic¸a\u2dco, para cada a = 1, 2, · · · , r = dimG:
d(\u3c9a \u2297Xa) = d\u3c9a \u2297Xa[
\u3c9a \u2297Xa, \u3c9b \u2297Xb
]
= \u3c9a \u2227 \u3c9b \u2297 [Xa, Xb] (4.3.4)
vem enta\u2dco que :
d\u3c9G(Xa, Xb) = d
(\u2211
c
\u3c9c \u2297Xc
)
(Xa, Xb)
=
\u2211
c
d\u3c9c(Xa, Xb)Xc
=
\u2211
c
\u2212\u3c9c([Xa, Xb])Xc
= \u2212
\u2211
c
CcabXc
Por outro lado:
[\u3c9G,\u3c9G] (Xa, Xb) =
\u2211
c,d
[
\u3c9c \u2297Xc, \u3c9d \u2297Xd
]
(Xa, Xb)
=
\u2211
c,d
\u3c9c \u2227 \u3c9d(Xa, Xb) [Xc, Xd]
=
\u2211
c,d,e
(\u3b4ca\u3b4
d
b \u2212 \u3b4cb\u3b4da)CecdXe
=
\u2211
e
(Ceab \u2212 Ceba)Xe
= 2
\u2211
c
CcabXc
Comparando os dois ca´lculos, deduzimos as chamadas equac¸o\u2dces de estrutura de Maurer-
Cartan do grupo de Lie G:
d\u3c9G +
1
2
[\u3c9G,\u3c9G] = 0 (4.3.5)
Os ca´lculos anteriores mostram ainda que estas equac¸o\u2dces de estrutura podem ser es-
critas na forma de um sistema de n equac¸o\u2dces:
d\u3c9c + 1
2
\u2211
ab C
c
ab \u3c9
a \u2227 \u3c9b = 0, c = 1, 2, · · · , r (4.3.6)
onde \u3c9G =
\u2211
c \u3c9
c \u2297Xc. A integrabilidade deste sistema e´ de facto equivalente a`s identi-
dades de Jacobi da a´lgebra de Lie g.
De acordo com E. Cartan (ver [Car ?], pag.16), um sistema de referenciais para uma
geometria de Klein M = G/H, e´ um conjunto de \u201cfiguras\u201d F(M) = {Rg : g \u2208 G} em M
que esta´ em corresponde\u2c6ncia bijectiva com os elementos do grupo G:
Rg \u2190\u2192 g
4.3. Forma de Maurer-Cartan. Equac¸o\u2dces de estrutura de um grupo de Lie145
Se pudermos encontrar uma figura particular R0, tal que toda a transformac¸a\u2dco \u3a6g (6= Id)
transforme R0 numa figura distinta Rg = g · R0, enta\u2dco a fam\u131´lia:
F(M) = {Rg = g · R0 : g \u2208 G}
constitui um sistema de referenciais, a que chamamos o sistema de G-referenciais
do espac¸o homoge´neo M = G/H (deduzido do referencial fixo (absoluto) R0). Por
exemplo, quando G actua simplesmente transitivamente em M , enta\u2dco os pontos de M
constitutem um sistema de G-referenciais de M (considere por exemplo a acc¸a\u2dco de G em
si pro´prio por multiplicac¸o\u2dces a` esquerda `g).
Munimos F(M)