Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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de estrutura de variedade diferencia´vel de tal forma que a corre-
sponde\u2c6ncia Rg \u2190\u2192 g, seja um difeomorfismo. A acc¸a\u2dco de G em M , induz enta\u2dco uma
acc¸a\u2dco de G no conjunto dos referenciais F(M):
\u3a6 : G \u2212\u2192 Diff(F(M)), g 7\u2192 \u3a6g : Rg\u2032 7\u2192 Rgg\u2032 (4.3.7)
E´ claro que, do ponto de vista formal, podemos identificar o conjunto F(M), com
o conjunto dos elementos do grupo G, obtendo desta forma uma descric¸a\u2dco abstracta
de um sistema de G-referenciais do espac¸o homoge´neo M = G/H. Usaremos por isso
sistema`ticamente a identificac¸a\u2dco:
G \u2190\u2192 F(M)
g \u2190\u2192 Rg (4.3.8)
Veja o exemplo familiar da geometria afim em IRn (exemplo 4.1), nomeadamente a iden-
tificac¸a\u2dco (ver (4.4.9)):
\u3b9 : GA(n) \u2190\u2192 R(IRn)
g = (x,A) \u2190\u2192 R(x,A) = (x ;E = e · A)
Note que a correponde\u2c6ncia (4.3.8) permite identificar a acc¸a\u2dco (4.3.7), de G no sistema de
G-referenciais, com a acc¸a\u2dco de G em si pro´prio por multiplicac¸o\u2dces a` esquerda `g:
`g : G\u2192 G \u2190\u2192 \u3a6g : F(M)\u2192 F(M) (4.3.9)
Portanto, as formas de Maurer-Cartan e as equac¸o\u2dces de estrutura adquirem uma nova
interpretac¸a\u2dco em termos de \u201cequac¸o\u2dces de movimento\u201d de referenciais. Por exemplo, o
resultado seguinte (veja o corola´rio 4.1): \u201cSeja G um grupo de Lie conexo e F : G \u223c=
F(M)\u2192 G \u223c= F(M) um difeomorfismo que preserva a forma de Maurer-Cartan: F \u2217\u3c9G =
\u3c9G. Enta\u2dco F = `g para algum g \u2208 G\u201d., pode ser interpretado como um resultado deste
tipo, a que Cartan chama o teorema fundamental do me´todo do referencial mo´vel (ver
[Car?], pag. 32).
Em geometria afim um referencial afim R(x,A) = (x ;E = e · A), fornece tambe´m um
sistema de coordenadas para IRn. Na situac¸a\u2dco geral de uma geometria de Klein M =
G/H, podemos associar, de forma puramente convencional, ao referencial absoluto R0,
inicialmente dado, um sistema de coordenadas locais dado por uma parametrizac¸a\u2dco local:
F : U \u2282 IRn \u2212\u2192M
4.4. Exemplos. Equac¸o\u2dces de estrutura de alguns grupos cla´ssicos 146
definida num aberto U de IRnu1,··· ,un , que contem 0 \u2208 IRn, e tal que F (0) = o \u2208M . A estas
coordenadas locais vamos chamar \u201ccoordenadas absolutas, relativas ao referencial
absoluto R0, de \u201corigem\u201d o\u201d.
Se g \u2208 G, ao referencial Rg = g · R0 associaremos enta\u2dco a parametrizac¸a\u2dco local dada,
por definic¸a\u2dco, por:
g · F : U \u2282 IRn \u2212\u2192 M
x 7\u2212\u2192 (\u3c6g \u25e6 F )(x) = g · F (x) (4.3.10)
que transforma difeomo`rficamente U sobre o aberto g · U \u2286 M . Rg e´ um referencial de
\u201corigem\u201d g · o \u2208M , e, para cada g \u2208 G e p \u2208 g · U \u2286M , os nu´meros:
(ui) = (\u3c6g \u25e6 F )\u22121(p)
dizem-se as coordenadas relativas de p no referencial Rg. Portanto as coordenadas
relativas de p no referencial Rg sa\u2dco, por definic¸a\u2dco as coordenadas absolutas de g\u22121 · p
(relativas ao referencial absoluto R0). Por exemplo, as coordenadas relativas de p = g · o,
no referencial Rg, sa\u2dco (0, 0, · · · , 0).
Fixemos um sistema de coordenadas absolutas u = (ui), relativas ao referencial abso-
luto R0, de \u201corigem\u201d o\u201d. Suponhamos que uma transformac¸a\u2dco T : M \u2192 M, p 7\u2192 T (p)
e´ dada em coordenadas absolutas por u\u2032 = T (u). Qual a sua expressa\u2dco em coordenadas
relativas a um referencial Rg? As coordenadas relativas de um ponto T (p) relativamente a
Rg, sa\u2dco as coordenadas absolutas de g\u22121 ·T (p) = (g\u22121 ·T ·g) ·(g\u22121 ·p). Mas as coordenadas
de g\u22121 · p sa\u2dco precisamente as coordenadas relativas de p em Rg. Logo, em coordenadas
relativas a um referencial Rg, a transformac¸a\u2dco T :M \u2192M e´ representada por g\u22121 · T · g,
onde T e´ a sua expressa\u2dco em coordenadas absolutas.
Analisemos agora a transformac¸a\u2dco que permite passar de Rg para um referencial
\u201cpro´ximo\u201d Rg(t), onde g(0) = g e g\u2032(0) = \u3be \u2208 TgG. Temos que Rg = \u3a6g · R0 \u21d2
R0 = \u3a6g\u22121 · Rg isto e´:
Rg(t) = \u3a6g(t)g\u22121 · Rg
e portanto a transformac¸a\u2dco que permite passar de Rg para Rg(t), e´ \u3a6g(t)g\u22121 \u223c= `g(t)g\u22121 . Em
coordenadas relativas aRg, esta transformac¸a\u2dco e´ representada por g\u22121·\u3a6g(t)g\u22121 ·g \u223c= `g\u22121g(t),
cuja derivada da´ a componente relativa (a Rg) do deslocamento infinitesimal de Rg na
direcc¸a\u2dco do vector g\u2032(0) = \u3be \u2208 TgG. Essa derivada e´ igual a:
g\u22121\u3be = \u3c9G(\u3be) \u2208 g \u223c= TeG
onde \u3c9G e´ a forma de Maurer-Cartan de G.
4.4 Exemplos. Equac¸o\u2dces de estrutura de alguns gru-
pos cla´ssicos
Nesta secc¸a\u2dco vamos analisar as equac¸o\u2dces de estrutura de alguns grupos cla´ssicos.
4.4. Exemplos. Equac¸o\u2dces de estrutura de alguns grupos cla´ssicos 147
\u2022 \u2663 Exemplo 4.1 ... o Grupo Afim GA(n)
Consideremos o espac¸o IRn com a sua estrutura afim cano´nica. Uma bijecc¸a\u2dco afim
g : IRn \u2192 IRn e´ uma aplicac¸a\u2dco que e´ da forma:
g : P 7\u2192 x+A(P ), P \u2208 IRn (4.4.1)
onde A \u2208 GL(n, IR) e´ uma aplicac¸a\u2dco linear invers´\u131vel, chamada a aplicac¸a\u2dco linear ho-
moge´nea associada a g. As bijecc¸o\u2dces afins de IRn constituem um grupo GA(n), chamado
grupo afim de IRn, que pode ser identificado com o subgrupo de GL(n+1, IR) constitu´\u131do
pelas matrizes da forma:
g =
[
1 0
x A
]
def= (x,A) com A \u2208 GL(n, IR), x \u2208 IRn (4.4.2)
Note que o produto em GA(n) e´ dado por:
(x,A)(y,B) =
[
1 0
x A
] [
1 0
y B
]
=
[
1 0
x+Ay AB
]
= (x+Ay,AB)
e que:
(x,A)\u22121 = (\u2212A\u22121x,A\u22121)
A a´lgebra de Lie ga(n) do grupo afim de IRn, pode ser identificada com a suba´lgebra de
Lie de gl(n+ 1, IR) constitu´\u131da pelas matrizes da forma:
\u3be =
[
0 0
x a
]
def= x\u2295 a com x \u2208 IRn, a \u2208 gl(n) (4.4.3)
O pare\u2c6ntisis de Lie em ga(n) e´ dado por:
[x\u2295 a, y \u2295 b] = (ay \u2212 bx)\u2295 [a, b] (4.4.4)
e a representac¸a\u2dco adjunta de GA(n) em ga(n), por:
Ad(x,A)(y \u2295 b) = (\u2212AbA\u22121x+Ay)\u2295 (AbA\u22121) (4.4.5)
Portanto:
ga(n) = IRn \u2295 gl(n)
Esta soma directa e´ reductiva:
AdGA(n)IR
n \u2286 IRn (4.4.6)
De facto:
Ad(x,A)(y \u2295 0) = Ay \u2295 0, \u2200(x,A) \u2208 GA(n), \u2200y \u2208 IRn (4.4.7)
Uma bijecc¸a\u2dco afim g : IRn \u2192 IRn fica completamente determinada pelo ponto x = g(0) \u2208
IRn no qual ela transforma a origem 0 \u2208 IRn, e pelos vectores E1 = A(e1), · · · , En = A(en)
nos quais a aplicac¸a\u2dco linear homoge´nea A, associada a g, transforma os vectores e1, · · · , en
da base cano´nica de IRn. Usa´mos a notac¸a\u2dco matricial ja´ conhecida:[
E1 E2 · · · En
]
=
[
e1 e2 · · · en
] ·A
ou simplesmente:
E = e ·A
4.4. Exemplos. Equac¸o\u2dces de estrutura de alguns grupos cla´ssicos 148
Um referencial afim em IRn e´ uma seque\u2c6ncia da forma:
R = (x ;E1, · · · , En) \u2208 IRn × IRn × · · · × IRn\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n factores
(4.4.8)
onde x e´ um ponto de IRn, chamado a origem do referencial R, e {E1, · · · , En} e´ uma
base de IRn. Representa´mos o referencial (4.4.8) por:
R = (x;E)
O conjunto de todos os referenciais afins em IRn esta´ em corresponde\u2c6ncia bijectiva com o
grupo afim GA(n), e e´ um aberto de IR(n+1)n, que notamos por F(IRn):
\u3b9 : GA(n)
\u223c=\u2212\u2192 F(IRn)
g = (x,A) \u2190\u2192 Rg = (x ;E = e ·A)
(4.4.9)
Calculemos agora a forma de Maurer-Cartan do grupo afim G = GA(n). Pondo g = (A, x)
vem que:
\u3c9G = g\u22121dg = (x,A)\u22121d(x,A)
=
[
1 0
x A
]\u22121 [ 0 0
dx dA
]
=
[
1 0
\u2212A\u22121x A\u22121
] [
0 0
dx dA
]
=
[
0 0
A\u22121dx A\u22121dA
]
= A\u22121dx\u2295A\u22121dA
def= \u3b8i \u2295 \u3c9ij (4.4.10)
que e´ uma 1-forma diferencial em GA(n), invariante a` esquerda, com valores na a´lgebra
de Lie ga(n) = IRn \u2295 gl(n). Com A = (Aij) \u2208 GL(n, IR) e x = (xi) \u2208 IRn, temos
expl`\u131citamente que as componentes da forma de Maurer-Cartan sa\u2dco:
\u3b8i = (A\u22121)ijdx
j para a IRn\u2212componente
\u3c9ij = (A
\u22121)ikdA
k
j para a gl(n)\u2212componente (4.4.11)
As equac¸o\u2dces de estrutura do espac¸o afim IRn sa\u2dco:
0 = d\u3c9G + \u3c9G \u2227 \u3c9G
= d
[
0 0
\u3b8i \u3c9ij
]
+
[
0 0
\u3b8i \u3c9ij
]
\u2227
[
0 0
\u3b8i \u3c9ij
]
=
[
0 0
d\u3b8i + \u3c9ik\u3b8
k d\u3c9ij + \u3c9
i
k \u2227 \u3c9kj
]
(4.4.12)
isto e´: \uf8f1\uf8f2\uf8f3
d\u3b8i + \u3c9ik \u2227 \u3b8k = 0
d\u3c9ij + \u3c9
i
k \u2227 \u3c9kj = 0
(4.4.13)
4.4. Exemplos. Equac¸o\u2dces de estrutura de alguns grupos cla´ssicos 149
Vejamos qual o significado geome´trico (cinema´tico) destas equac¸o\u2dces, em termos de refer-
enciais em IRn, usando a corresponde\u2c6ncia (4.4.9).
Em F(IRn) esta\u2dco definidas naturalmente func¸o\u2dces (equivariantes) de classe C\u221e, com valores
em IRn, que sa\u2dco as projecc¸o\u2dces