Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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ei (4.4.40)
para i = 0, 1, · · · , n, podemos escrever para as componentes relativas de um deslocamento
infinitesimal de R:
dei = \u3c9
j
iej com \u3c9
i
j + \u3c9
j
i = 0 (4.4.41)
e as equac¸o\u2dces de estrutura do grupo unita´rio U(n) deduzem-se como antes:
d\u3c9ki = \u3c9
k
j \u2227 \u3c9ji com \u3c9ij + \u3c9ji = 0 (4.4.42)
4.5. Diferencial de Darboux. Teoria de Darboux 156
4.5 Diferencial de Darboux. Teoria de Darboux
Os teoremas seguintes sa\u2dco fundamentais para a justificac¸a\u2dco teo´rica do me´todo do referen-
cial mo´vel de E. Cartan.
\u2663 Teorema 4.3 ... Seja S uma variedade conexa, G um grupo de Lie e F, F\u302 : S \u2192 G
duas aplicac¸o\u2dces C\u221e. Enta\u2dco existe um elemento g \u2208 G tal que:
F (x) = g · F\u302 (x), \u2200x \u2208 S (4.5.1)
(g na\u2dco depende de x, nesta fo´rmula), se e so´ se:
F \u2217\u3c9G = F\u302 \u2217\u3c9G (4.5.2)
onde \u3c9 = \u3c9G e´ a forma de Maurer-Cartan de G.
Nota... Se F : S \u2192 G e´ uma aplicac¸a\u2dco C\u221e, a` 1-forma diferencial:
F \u2217\u3c9G = \u3c9G \u25e6 F\u2217 : TS \u2212\u2192 g (4.5.3)
chama-se a diferencial de Darboux de F , e nota-se por DF . O teorema afirma portanto que
a diferencial de Darboux de F : S \u2192 G, determina F a menos de multiplicac¸a\u2dco a´ esquerda por
um elemento fixo g \u2208 G.
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... ... Vamos supo\u2c6r que G \u2286 G`(N, IR), e´ um grupo de matrizes, para
simplificar a prova. Defina a aplicac¸a\u2dco:
h(x) = F (x)F\u302 (x)\u22121, x \u2208 S
Derivando obtemos:
dh = dF F\u302\u22121 + F dF\u302\u22121 = dF F\u302\u22121 + F (\u2212F\u302\u22121 dF\u302 F\u302\u22121)
donde se deduz que:
h\u2217\u3c9G = h\u22121dh
= F\u302F\u22121
(
dF F\u302\u22121 \u2212 F F\u302\u22121 dF\u302 F\u302\u22121
)
= F\u302
(
F\u22121dF \u2212 F\u302\u22121 dF\u302
)
F\u302\u22121
e portanto:
h\u2217\u3c9G = 0\u21d4 F\u22121dF = F\u302\u22121dF\u302 \u21d4 F \u2217\u3c9G = F\u302 \u2217\u3c9G
Como h\u2217(\u3c9G) = \u3c9G \u25e6 h\u2217 vemos que h\u2217 : TS \u2192 TG induz aplicac¸a\u2dco nula em cada espac¸o
tangente, donde se deduz que h e´ uma func¸a\u2dco constante: h(x) \u2261 g, \u2200x \u2208 S, para algum
g \u2208 G fixo. Em particular F (x) = g · F\u302 (x), \u2200x \u2208 S,
¤.
Tomando S = G, podemos deduzir o corola´rio seguinte:
4.5. Diferencial de Darboux. Teoria de Darboux 157
\u2663 Corola´rio 4.1 ... Seja G um grupo de Lie conexo e F : G \u2192 G um difeomor-
fismo. Enta\u2dco F = `g para algum g \u2208 G, se e so´ se F preserva a forma de Maurer-Cartan:
F = `g \u21d0\u21d2 F \u2217\u3c9G = \u3c9G
Como poderemos caracterizar as 1-formas diferenciais com valores em g:
\u3c9 : TS \u2212\u2192 g
que sa\u2dco derivadas de Darboux de alguma aplicac¸a\u2dco F : S \u2192 G? O teorema anterior
diz-nos que se:
\u3c9 = DF = F \u2217\u3c9G
enta\u2dco \u3c9 devera´ satisfazer a equac¸a\u2dco de estrutura seguinte:
d\u3c9 +
1
2
[\u3c9, \u3c9] = 0
uma vez que \u3c9G satisfaz a equac¸a\u2dco de Maurer-Cartan e F
\u2217d = dF \u2217. Vamos agora mostrar
que esta condic¸a\u2dco necessa´ria e´ tambem suficiente, pelo menos localmente. Portanto vamos
poder construir (localmente) uma aplicac¸a\u2dco F : S \u2192 G da qual se conhece a respectiva
diferencial de Darboux.
\u2663 Teorema 4.4 ... Seja G um grupo de Lie e g a respectiva a´lgebra de Lie. Seja
S uma variedade e \u3c9 : TS \u2192 g uma 1-forma em S, com valores em g, que satisfaz a
equac¸a\u2dco de estrutura seguinte:
d\u3c9 +
1
2
[\u3c9, \u3c9] = 0 (4.5.4)
Ena\u2dco, para cada ponto x \u2208 S, existe uma vizinhanc¸a U de x e uma aplicac¸a\u2dco C\u221e, F :
U \u2286 S \u2192 G tal que:
\u3c9|U = DF = F \u2217\u3c9G
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... ... A ideia (de E. Cartan) para construir (localmente) uma aplicac¸a\u2dco
F : S \u2192 G da qual se conhece a respectiva diferencial de Darboux, e´ aplicar a chamada
te´cnica do gra´fico (veja a secc¸a\u2dco 2.4.2), nomeadamente, F : S \u2192 G sera´ determinada
pelo seu gra´fico, e este gra´fico sera´ por sua vez constru´\u131do como uma variedade integral
de um certo sistema integra´vel (Teorema de Frobenius).
\u2022 Consideremos as projecc¸o\u2dces cano´nicas:
piG : S ×G \u2212\u2192 G
piS : S ×G \u2212\u2192 S
e a 1-forma em S ×G, com valores em g:
\u39b = pi\u2217S\u3c9 \u2212 pi\u2217G\u3c9G (4.5.5)
onde \u3c9G e´ a forma de Maurer-Cartan em G.
4.5. Diferencial de Darboux. Teoria de Darboux 158
\u2022 D = ker\u39b e´ uma distribuic¸a\u2dco de rank s = dimS, em S×G, integra´vel no sentido
de Frobenius.
Em primeiro lugar, D = ker\u39b tem rank constante e igual n = dimS. Para isso, basta
mostar que:
d(piS)(x,g)
\u2223\u2223
D(x,g) : D(x,g) \u2212\u2192 TxS
e´ um isomorfismo \u2200(x, g) \u2208 S ×G.
De facto, seja (v, \u3be) \u2208 D(x,g) = {(v, \u3be) \u2208 TxS × TgG : \u3c9(v) = \u3c9G(\u3be) = 0}. Enta\u2dco
d(piS)(x,g)(v, \u3be) = 0 \u21d2 v = 0 \u21d2 0 = \u3c9(v) = \u3c9G(\u3be) \u21d2 \u3be = 0 \u21d2 (v, \u3be) = 0, o que significa
que d(piS)(x,g)
\u2223\u2223
D(x,g) e´ injectiva. Por outro lado, se v \u2208 TxS enta\u2dco (v,\u3c9
\u22121
G (\u3c9(v))) \u2208 D(x,p)
e portanto d(piS)(x,g)
\u2223\u2223
D(x,g) e´ sobrejectiva.
Mostremos agora queD = ker\u39b e´ integra´vel no sentido de Frobenius. Para isso, calculemos
a derivada exterior de \u39b:
d\u39b = d (pi\u2217S\u3c9 \u2212 pi\u2217G\u3c9G)
= pi\u2217S(d\u3c9) \u2212 pi\u2217G(d\u3c9G)
= pi\u2217S
(
\u22121
2
[\u3c9, \u3c9]
)
\u2212 pi\u2217G
(
\u22121
2
[\u3c9G,\u3c9G]
)
= \u22121
2
[pi\u2217S\u3c9, pi
\u2217
S\u3c9] +
1
2
[pi\u2217G\u3c9G, pi
\u2217
G\u3c9G]
Substituindo agora pi\u2217S\u3c9 = pi
\u2217
G\u3c9G + \u39b, vem que:
d\u39b = \u22121
2
[pi\u2217G\u3c9G,\u39b]\u2212
1
2
[\u39b, pi\u2217G\u3c9G]\u2212
1
2
[\u39b,\u39b]
e portanto d\u39b(X,Y ) = 0 sempre que \u39b(x) = \u39b(Y ) = 0, o que, pelo teorema de Frobenius
implica que ker\u39b e´ integra´vel.
\u2022 Finalmente vamos construir para cada ponto x \u2208 S, uma vizinhanc¸a U de x e uma
aplicac¸a\u2dco C\u221e, F : U \u2286 S \u2192 G tal que:
\u3c9|U = DF = F \u2217\u3c9G
Seja L a folha da distribuic¸a\u2dco D = ker\u39b que passa em (x, p) \u2208 S × G. Como vimos
antes, a derivada da restric¸a\u2dco (piS |L induz o isomorfismo d(piS)(x,g)
\u2223\u2223
D(x,g) : D(x,g) \u2212\u2192 TxS,
e portanto (piS)|L e´ um difeomorfismo local de uma vizinhanc¸a de (x, g) \u2208 L sobre uma
vizinhanc¸a U de x \u2208 S. Seja f : U \u2192 L a aplicac¸a\u2dco inversa. Como (piS)|L \u25e6 f = IdU , F
tem de ter a forma f(x) = (x, F (x)) onde F : U \u2192 G.
Resta mostrar que DF = \u3c9, para concluir a prova. Mas f\u2217\u39b = \u39bf\u2217 = 0, ja´ que a imagem
de f e´ tangente a` distribuic¸a\u2dco D na qual \u39b se anula. Portanto:
0 = f\u2217\u39b
= f\u2217(pi\u2217S\u3c9)\u2212 f\u2217(pi\u2217G\u3c9G)
= (piSf)\u2217\u3c9 \u2212 (piGf)\u2217\u3c9G
= \u3c9 \u2212 F \u2217\u3c9G
o que significa que F \u2217\u3c9G = DF = \u3c9|U ,
4.6. Geometria local das subvariedades em espac¸os homoge´neos 159
¤.
\u2663 Teorema 4.5 ... Seja P uma variedade simplesmente conexa e g uma a´lgebra de
Lie. Seja \u3c9 \u2208 \u21261(P, g) uma 1\u2212forma em P , com valores em g e que satisfaz as condic¸o\u2dces
seguintes:
\u2022 d\u3c9 + 1
2
[\u3c9, \u3c9] = 0 (\u3c9 tem curvatura nula).
\u2022 \u3c9 : TP \u2212\u2192 g e´ um isomorfismo em cada fibra TxP , i.e., \u3c9 define um paralelismo
absoluto em P .
\u2022 \u3c9 e´ completa, i.e., todo o campo de vectores X \u2208 X(P ) tal que \u3c9(X) \u2261 constante,
e´ um campo de vectores completo.
Enta\u2dco P tem estrutura de grupo de Lie, para uma escolha arbitra´ria do elemento neutro
e \u2208 P , cuja a´lgebra de Lie e´ g e cuja forma de Maurer-Cartan e´ \u3c9.
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... ...
Ver Sharpe pag. 130-135.
¤.
Nota... Se no teorema anterior, relaxamos a hipo´tese de que \u3c9 tenha curvatura nula, i.e.,
se admitirmos que \u2126 = d\u3c9+ 12 [\u3c9, \u3c9] na\u2dco seja 0, so\u2c6mos conduzidos ao que podemos chamar uma
\u201cdeformac¸a\u2dco\u201d de um grupo de Lie, e mais geralmente aos \u201cespac¸os generalizados de Cartan\u201d,
ou geometrias de Cartan (ver Sharpe).
4.6 Geometria local das subvariedades em espac¸os
homoge´neos