Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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\u2208 T , e se sa\u2dco dadas aplicac¸o\u2dces fi \u2208 FX(Ui) tais que, para todo
o par Ui, Uj, as restric¸o\u2dces de fi e fj coincidem em cada intersecc¸a\u2dco Ui \u2229 Uj, enta\u2dco existe
f \u2208 FX(U) tal que f |Ui = fi
\u2022 Se U = \u222ai\u2208I Ui, com U,Ui \u2208 T , e se f, g \u2208 FX(U) sa\u2dco tais que f |Ui = g|Ui , \u2200i \u2208 I, enta\u2dco
f = g.
Portanto um feixe e´ um processo de dar informac¸a\u2dco local de tal forma que dados locais podem
ser \u201ccolados\u201d de modo a construir dados globais do mesmo tipo, e ainda de tal forma que dados
definidos em abertos \u201cgrandes\u201d sa\u2dco univocamente determinados por dados locais.
Um \u201cmorfismo de feixes\u201d:
(X,FX) \u2212\u2192 (Y,FY )
1.2. Algumas propriedades topolo´gicas das variedades 17
e´ uma aplicac¸a\u2dco cont´\u131nua \u3c6 : X \u2192 Y tal que a composic¸a\u2dco f 7\u2192 f \u25e6 \u3c6 transforma FY (U) em
FX(\u3c6\u22121(U)), para todo o aberto U de Y .
De momento o feixe que nos interessa considerar e´ o feixe (de a´lgebras) C\u221eIRn , que a cada
aberto U \u2208 IRn associa o conjunto (de facto a a´lgebra comutativa com unidade) C\u221e(U) das
func¸o\u2dces de classe C\u221e, f : U \u2192 IR.
Consideremos enta\u2dco a segunda definic¸a\u2dco de variedade diferencia´vel:
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.6 ... Uma variedade diferencia´vel de dimensa\u2dco n (e de classe C\u221e), e´ um
espac¸o Haussdorff M , de base numera´vel, munido de um feixe FM (dito \u201cfeixe estrutural\u201d de
M), localmente isomorfo ao feixe C\u221eIRn em IR
n. Isto e´, para cada ponto de M existe um aberto
U \u2282M tal que (U,FU ) \u223c= (V,C\u221eV ), para algum aberto V \u2282 IRn.
Mostre que esta definic¸a\u2dco e´ equivalente a` definic¸a\u2dco 1.
\u2663 Exerc´\u131cio 1.7 ... Considere o conjuntoM constitu´\u131do por todas as rectas afins orientadas
` em IRn+1:
M
def
=
{
` : ` = {p+ IRv, p \u2208 IRn+1, v \u2208 IRn+1 \u2212 {0}}
}
Mostre que M admite uma estrutura de variedade diferencia´vel de dimensa\u2dco 2n.
1.2 Algumas propriedades topolo´gicas das variedades
Nesta secc¸a\u2dco vamos indicar suma`riamente algumas propriedades topolo´gicas das var-
iedades, que sa\u2dco conseque\u2c6ncia da respectiva definic¸a\u2dco. Mais detalhes e demonstrac¸o\u2dces
dos resultados a seguir indicados, podem ser vistos no curso de topologia ou em [Br],
[Wa], por exemplo.
Em primeiro lugar note que a condic¸a\u2dco de M ser Haussdorff na\u2dco e´ conseque\u2c6ncia do
facto de M ser localmente homeomorfa a IRn. Um contraexemplo e´ o seguinte: M =
IR\u222a{p}, onde p /\u2208 IR, com a topologia definida declarando IR aberto e considerando como
vizinhanc¸as de p os conjuntos da forma (U \u2212 {0}) \u222a {p}, onde U e´ uma vizinhanc¸a de
0 \u2208 IR.
No entanto, como M e´ localmente homeomorfa a IRn, M e´ localmente conexa e local-
mente compacta.
Como M tem uma base numera´vel de abertos, M e´ paracompacta o que implica a
existe\u2c6ncia de partic¸o\u2dces da unidade:
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.7 ... Uma \u201cpartic¸a\u2dco E\u2c6C\u221e da unidade\u201d numa variedade difer-
encia´vel M , e´ uma colecc¸a\u2dco P = {f\u3b1}\u3b1\u2208A de func¸o\u2dces em C\u221e(M) tais que:
1.2. Algumas propriedades topolo´gicas das variedades 18
\u2022 0 \u2264 fa \u2264 1, \u2200\u3b1 \u2208 A.
\u2022 A colecc¸a\u2dco dos suportes das func¸o\u2dces f\u3b1:
S = {supp f\u3b1}\u3b1\u2208A
e´ localmente finita (cada ponto p \u2208M admite uma vizinhanc¸a que intersecta apenas
um nu´mero finito de membros de S).
\u2022 \u2211\u3b1\u2208A f\u3b1 = 1
A partic¸a\u2dco P = {f\u3b1}\u3b1\u2208A diz-se \u201csubordinada\u201d a uma cobertura aberta C de M , se cada
suporte supp f\u3b1 esta´ contido em algum membro de C.
Recorde que o suporte de uma func¸a\u2dco f :M \u2192 IR se define por:
supp f
def
= {p \u2208M : f(p) 6= 0}
Note ainda que a soma
\u2211
\u3b1\u2208A f\u3b1 esta´ bem definida quando a colecc¸a\u2dco dos suportes S =
{supp f\u3b1}\u3b1\u2208A e´ localmente finita, ja´ que em alguma vizinhanc¸a de cada ponto deM , todas
as func¸o\u2dces f\u3b1 sa\u2dco nulas com a poss´\u131vel excepc¸a\u2dco de um nu´mero finito delas.
Partic¸o\u2dces E\u2c6C\u221e da unidade sa\u2dco um instrumento indispensa´vel para definir globalmente
objectos que te\u2c6m a` partida apenas uma definic¸a\u2dco local (ou para decompo\u2c6r um objecto
global numa \u201csoma\u201d de objectos locais). O resultado principal e´ o seguinte:
\u2663 Teorema 1.1 ... Seja M uma variedade diferencia´vel e C uma qualquer cobertura
aberta de M . Enta\u2dco existe uma partic¸a\u2dco E\u2c6C\u221e da unidade P = {f\u3b1}\u3b1\u2208A subordinada a`
cobertura C.
O resultado seguinte sera´ utilizado va´rias vezes:
\u2663 Corola´rio 1.1 (Existe\u2c6ncia de func¸o\u2dces \u201cbump\u201d)... Dada uma qualquer vizin-
hanc¸a U de um ponto p \u2208M , existe uma func¸a\u2dco f \u2208 C\u221e(M), dita func¸a\u2dco \u201cbump\u201d em p,
tal que:
\u2022 0 \u2264 f \u2264 1 em M .
\u2022 f = 1 em alguma vizinhanc¸a de p \u2208M .
\u2022 supp f \u2282 U
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 19
1.3 Fibrados. Fibrados Vectoriais
1.3.1 Fibrados. Func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco
Comec¸amos esta secc¸a\u2dco com uma definic¸a\u2dco E\u2c6geral:
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.8 ... Um \u201cfibrado\u201d diferencia´vel consiste de tre\u2c6s variedades difer-
encia´veis E,M,F e de uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel sobrejectiva pi : E \u2192 M que satisfaz
a seguinte condic¸a\u2dco: para cada x \u2208 M existe um aberto U \u2282 M que contem x e um
difeomorfismo \u3c6 : pi\u22121(U) \u2212\u2192 U × F tal que o seguinte diagrama comuta:
pi\u22121(U)
\u3c6\u2212\u2192 U × F
pi \u2198 \u2199 pi1
U
(1.3.1)
O par (U, \u3c6) diz-se uma \u201ctrivializac¸a\u2dco local\u201d do fibrado. E diz-se o \u201cespac¸o total\u201d,
M a \u201cbase\u201d, F a \u201cfibra tipo\u201d e pi a \u201cprojecc¸a\u2dco do fibrado\u201d. Ex
def
= pi\u22121({x})
diz-se a \u201cfibra\u201d por cima de x \u2208M .
O fibrado acima descrito sera´ notado por \u3be = (E,M,F, pi).
O exemplo mais o´bvio e´ o do \u201cfibrado produto\u201d \u3c4 = (E = M × F,M,F, pi1).
Portanto a condic¸a\u2dco (1.3.1) exprime o facto de que um fibrado tem uma estrutura local
de um produto.
Representemos por:
\u3c6x
def
= (pi2 \u25e6 \u3c6)|Ex
a restric¸a\u2dco de pi2 \u25e6 \u3c6 a` fibra Ex por cima de um ponto x \u2208 U , onde pi2 : U × F \u2192 F e´
a projecc¸a\u2dco cano´nica. E´ poss´\u131vel provar (com a ajuda dos resultados da secc¸a\u2dco I.6), que
cada fibra Ex e´ uma subvariedade de E, e que \u3c6x : Ex \u2192 F e´ um difeomorfismo entre a
fibra Ex e a fibra tipo F .
Suponhamos agora que (U\u3b1, \u3c6\u3b1) e (U\u3b2, \u3c6\u3b2) sa\u2dco duas trivializac¸o\u2dces locais do fibrado
\u3be = (E,M,F, pi), tais que U\u3b1 \u2229 U\u3b2 6= \u2205. Enta\u2dco para cada x \u2208 U\u3b1 \u2229 U\u3b2, temos duas
maneiras, em geral distintas, de identificar a fibra Ex com a fibra tipo F : atrave´s de \u3c6\u3b1,x
e atrave´s de \u3c6\u3b2,x. Esta diferenc¸a (ou \u201cdistorc¸a\u2dco\u201d) pode ser representada pela aplicac¸a\u2dco:
g\u3b2\u3b1(x)
def
= \u3c6\u3b2,x \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1,x : F \u2212\u2192 F (1.3.2)
que e´ um difeomorfismo de F . Desta forma fica definida uma aplicac¸a\u2dco:
g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2212\u2192 Diff(F ) (1.3.3)
a que chama´mos \u201cfunc¸a\u2dco de transic¸a\u2dco\u201d, da \u3b1-trivializac¸a\u2dco para a \u3b2-trivializac¸a\u2dco (a
ordem aqui e´ importante!).
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 20
(U\u3b1 \u2229 U\u3b2)× F 3 (x,v)
\u3c6\u3b1 \u2197
pi\u22121(U\u3b1 \u2229 U\u3b2) \u2193 \u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1 \u2193
\u3c6\u3b2 \u2198
(U\u3b1 \u2229 U\u3b2)× F 3 (x, g\u3b2\u3b1(x)v)
1.3.2 G-Fibrados
Os fibrados com interesse em geometria diferencial sa\u2dco obtidos restringindo a escolha das
poss´\u131veis func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco.
Mais concretamente, consideremos um grupo de Lie (2) G, que actua a` esquerda da
fibra tipo F , i.e., existe uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel G× F \u2192 F , (g,v) 7\u2192 g · v tal que:
(gh) · v = g · (h · v)
e · v = v
\u2200g, h \u2208 G, \u2200v \u2208 F . Uma tal acc¸a\u2dco pode ser vista como um homomorfismo de grupos
µ : G\u2192 Diff(F ) definido por:
µ : g 7\u2192 (µg : v 7\u2192 g · v) \u2200g \u2208 G, \u2200v \u2208 F
Vamos supo\u2c6r ainda que a acc¸a\u2dco e´ efectiva (3), i.e., que o nu´cleo do homomorfismo µ e´
trivial. Isto permite identificar G como um subgrupo de Diff(M). Nestas condic¸o\u2dces
consideremos as seguintes definic¸o\u2dces.
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.9 ... Duas trivializac¸o\u2dces locais (U\u3b1, \u3c6\u3b1) e (U\u3b2, \u3c6\u3b2) do fibrado \u3be =
(E,M,F, pi) dizem-se \u201cG-C\u221e-compat´\u131veis\u201d se U\u3b1 \u2229 U\u3b2 = \u2205 ou se U\u3b1 \u2229 U\u3b2 6= \u2205 e a
correspondente func¸a\u2dco de transic¸a\u2dco g\u3b2\u3b1 (ver (1.3.12)), e´ uma aplicac¸a\u2dco C
\u221e:
g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2212\u2192 G
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.10 ... Seja G um grupo de Lie que actua efectivamente a` esquerda
da fibra tipo F (acc¸a\u2dco C\u221e). Uma estrutura de \u201cfibrado C\u221e com grupo de estrutura
G\u201d num fibrado diferencia´vel \u3be = (E,M,F, pi), consiste de um \u201catlas de trivializac¸o\u2dces
locais\u201d \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)}\u3b1\u2208A que satisfazem as condic¸o\u2dces seguintes:
\u2022 Os abertos U\u3b1 \u2282M cobrem M .
\u2022 As trivializac¸o\u2dces locais em \u3a6 sa\u2dco mu`tuamente G-C\u221e-compat´\u131veis.