Curso de cálculo avançado
160 pág.

Curso de cálculo avançado


DisciplinaCálculo I81.291 materiais1.413.473 seguidores
Pré-visualização38 páginas
\u2022 O atlas \u3a6 e´ maximal.
Neste caso chamaremos a \u3be = (E,M, pi, F,G,\u3a6) um fibrado C\u221e com grupo de estrutura
G, ou um G-fibrado sobre M .
2a definic¸a\u2dco pode ser vista no cap´\u131tulo 3, onde os Grupos de Lie sera\u2dco estudados com detalhe.
3na\u2dco ha´ perda de generalidade nesta hipo´tese. Se kerµ 6= {e}, enta\u2dco podemos considerar G/kerµ que
e´ ainda um grupo de Lie...
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 21
E´ usual omitir a refere\u2c6ncia expl´\u131cita a \u3a6.
Consideremos a fam\u131´lia de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco g\u3b2\u3b1 associada ao atlas de trivializac¸o\u2dces
locais \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)}\u3b1\u2208A. Recorde mais uma vez que g\u3b2\u3b1(x) e´ uma aplicac¸a\u2dco da \u3b1-
trivializac¸a\u2dco para a \u3b2-trivializac¸a\u2dco (a ordem e´ importante!).
E´ fa´cil ver que as func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco satisfazem as duas condic¸o\u2dces seguintes:
g\u3b1\u3b1(x) = IdF \u2200x \u2208 U\u3b1 (1.3.4)
g\u3b3\u3b2(x) \u25e6 g\u3b2\u3b1(x) = g\u3b3\u3b1(x) \u2200x \u2208 U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2229 U\u3b3 (1.3.5)
Dizemos por isso que {g\u3b2\u3b1}\u3b1,\u3b2\u2208A e´ o \u201ccociclo de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco\u201d, associado ao
atlas de trivializac¸o\u2dces locais \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)}\u3b1\u2208A. Rec`\u131procamente temos o seguinte:
\u2663 Teorema 1.2 \u201cConstruc¸a\u2dco de G-fibrados por colagem\u201d...
Seja M uma variedade diferencia´vel e G um grupo de Lie que actua efectivamente
a` esquerda de uma variedade F (acc¸a\u2dco C\u221e). Suponhamos ainda que {U\u3b1}\u3b1\u2208A e´ uma
cobertura aberta de M e que {g\u3b2\u3b1}\u3b1,\u3b2\u2208A e´ um cociclo de aplicac¸o\u2dces diferencia´veis:
g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2212\u2192 G
(que portanto satisfazem as condic¸o\u2dces (1.3.4) e (1.3.5)).
Enta\u2dco existe um u´nico G-fibrado \u3be = (E,M, pi, F,G,\u3a6), cujo cociclo de func¸o\u2dces de
transic¸a\u2dco e´ {g\u3b2\u3b1}\u3b1,\u3b2\u2208A.
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... (esboc¸o)
Na reunia\u2dco disjunta:
E\u2dc
def=
\u22c3
\u3b1\u2208A
{\u3b1} × U\u3b1 × F
definimos a relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia seguinte (colagem):
(\u3b1, x,v) \u223c (\u3b2, y,w) sse x = y e w = g\u3b2\u3b1(x) · v (1.3.6)
As condic¸o\u2dces (1.3.4) e (1.3.5) permitem concluir que de facto esta e´ uma relac¸a\u2dco de
equivale\u2c6ncia. O espac¸o total do fibrado e´ enta\u2dco:
E
def= E\u2dc/ \u223c (1.3.7)
com a topologia quociente. A classe de equivale\u2c6ncia de (\u3b1, x,v) \u2208 {\u3b1} × U\u3b1 × V , sera´
notada por [\u3b1, x,v]. A projecc¸a\u2dco do fibrado e´ enta\u2dco:
pi([\u3b1, x,v]) = x
A estrutura de G-fibrado em (E,M, pi) e´ dada pelo atlas maximal \u3a6 que contem as trivi-
alizac¸o\u2dces locais \u3c6\u3b1 : pi\u22121(Ua)\u2192 U\u3b1 × F , definidas por:
\u3c6\u3b1 : ([\u3b1, x,v]) 7\u2192 (x,v)
Como:
\u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1 (x,v) = \u3c6\u3b2([\u3b1, x,v]) = \u3c6\u3b2([\u3b2, x, g\u3b2\u3b1(x) · v]) = (x, g\u3b2\u3b1(x) · v)
vemos que o cociclo de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco e´ de facto {g\u3b2\u3b1}\u3b1,\u3b2\u2208A.
¤.
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 22
Exemplo ...
A \u201cTira de Mo¨bius\u201d (infinita) e´ constru´\u131da pelo processo acima descrito, tomando M =
SS1, F = IR e G = IZ2 = {+1,\u22121} actuando em F = IR por multiplicac¸a\u2dco. Cobrimos a
circunfere\u2c6ncia SS1 por dois abertos U1, U2, cada um difeomorfo a um intervalo aberto, e de tal
forma que U1 \u2229 U2 seja a reunia\u2dco de dois intervalos abertos disjuntos I e J . Como func¸o\u2dces de
transic¸a\u2dco tomamos:
\u3c612(x) = +1 se x \u2208 I, e \u3c621(x) = \u22121 se x \u2208 J
Ha´ ainda um aspecto que importa discutir, que se relaciona com a existe\u2c6ncia de mais
do que um cociclo de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco, associado a uma mesma cobertura aberta {U\u3b1}
deM , e que da´ origem ao mesmo G-fibrado, constru´\u131do pelo processo anterior de colagem.
Mais precisamente, suponhamos que a estrutura de G-fibrado em \u3be = (E,M, pi, F,G) e´
definida por dois atlas de trivializac¸o\u2dces locais \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)} e \u3a6\u2dc = {(U\u3b1, \u3c6\u2dc\u3b1)}, associados
a uma mesma cobertura aberta {U\u3b1} de M . Os cociclos correspondentes de func¸o\u2dces de
transic¸a\u2dco sa\u2dco respectivamente:
g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2192 G g\u3b2\u3b1(x) = \u3c6\u3b2,x \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1,x \u2208 G \u2282 Diff(F )
g\u2dc\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2192 G g\u2dc\u3b2\u3b1(x) = \u3c6\u2dc\u3b2,x \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b1,x \u2208 G \u2282 Diff(F )
Consideremos o diagrama:
U\u3b1 × F \u3c6\u2dc
\u22121
\u3b1\u2212\u2192 pi\u22121(U\u3b1) \u3c6\u3b1\u2212\u2192 U\u3b1 × F
pi1 \u2198 pi \u2193 \u2199 pi1
U\u3b1
Se os dois atlas \u3a6 e \u3a6\u2dc definem a mesma estrutura de G-fibrado em \u3be = (E,M, pi, F,G),
enta\u2dco para cada \u3b1, as duas trivializac¸o\u2dces locais (U\u3b1, \u3c6\u3b1) e (U\u3b1, \u3c6\u2dc\u3b1) sa\u2dco G-compat´\u131veis, no
sentido em que existe uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel:
h\u3b1 : U\u3b1 \u2212\u2192 G
tal que a func¸a\u2dco \u3c6\u3b1 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b1 : U\u3b1 × F \u2192 U\u3b1 × F , e´ do tipo:
\u3c6\u3b1 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b1 (x,v) = (x, h\u3b1(x) · v) \u2200(x,v) \u2208 U\u3b1 × F
Neste caso, temos enta\u2dco que:
(x, h\u3b2(x)g\u2dc\u3b2\u3b1(x) · v) = (\u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b2 )(x, g\u2dc\u3b2\u3b1(x) · v)
= (\u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b2 \u25e6 \u3c6\u2dc\u3b2 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b1 )(x,v)
= (\u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b1 )(x,v)
= (\u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1 \u25e6 \u3c6\u3b1 \u25e6 \u3c6\u2dc\u22121\u3b1 )(x,v)
= (\u3c6\u3b2 \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1 )(x, h\u3b1(x) · v)
= (x, g\u3b2\u3b1(x)h\u3b1(x) · v)
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 23
e portanto:
h\u3b2(x)g\u2dc\u3b2\u3b1(x) = g\u3b2\u3b1(x)h\u3b1(x) \u2200x \u2208 U\u3b1 \u2229 U\u3b2 (1.3.8)
ou de forma equivalente:
g\u2dc\u3b2\u3b1(x) = h\u3b2(x)
\u22121g\u3b2\u3b1(x)h\u3b1(x) \u2200x \u2208 U\u3b1 \u2229 U\u3b2 (1.3.9)
Diz-se enta\u2dco que os dois cociclos g\u3b2\u3b1 e g\u2dc\u3b2\u3b1 sa\u2dco \u201ccohomo´logos\u201d. O facto de exigir
que h\u3b1(x) pertenc¸a ao grupo de estrutura G, significa que quando g\u3b2\u3b1(x) varia em G,
h\u3b2(x)
\u22121g\u3b2\u3b1(x)h\u3b1(x)
= g\u2dc\u3b2\u3b1(x) gera todos os elementos de G. Por isso, os fibrados constru´\u131dos por colagem a
partir de dois cociclos cohomo´logos de func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco, diferem apenas na forma de
atribuir coordenadas em cada fibra e sa\u2dco portanto isomorfos.
Na pra´tica, os g\u3b2\u3b1 sa\u2dco as \u201ctransformac¸o\u2dces de gauge\u201d necessa´rias para construir o
fibrado a partir da colagem dos va´rios produtos U\u3b1×F , enquanto que os h\u3b1 correspondem
a` \u201cliberdade de gauge\u201d de que dispo\u2c6mos em cada carta U\u3b1...
\u2663 Exerc´\u131cio 1.8 ... Mais precisamente, mostrar que a aplicac¸a\u2dco \u3a8 : E \u2192 E definida por:
\u3c6\u3b1(\u3a8[\u3b1, x,v])
def
= (x, h\u3b1(x) · v)
e´ um difeomorfismo que preserva as fibras de E pi\u2192M , isto e´, pi \u25e6\u3a8 = pi.
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.11 ... Uma \u201csecc¸a\u2dco\u201d de um G-fibrado \u3be = (E,M, pi, F,G,\u3a6), e´ uma
aplicac¸a\u2dco diferencia´vel \u3c3 :M \u2192 E, tal que pi \u25e6 \u3c3 = 1M .
Uma \u201csecc¸a\u2dco local\u201d de um G-fibrado \u3be = (E,M, pi, F,G,\u3a6), e´ uma aplicac¸a\u2dco difer-
encia´vel \u3c3 : U \u2192 E, definida num aberto U \u2282M , tal que pi \u25e6 \u3c3 = 1U .
\u2663 Exerc´\u131cio 1.9 ... Seja \u3be = (E,M, pi, F,G,\u3a6) um G-fibrado, e {g\u3b2\u3b1}\u3b1,\u3b2\u2208A o cociclo de
func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco associado a \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)}\u3b1\u2208A.
Suponha que, para cada \u3b1 \u2208 A, e´ dada uma aplicac¸a\u2dco:
\u3c3\u3b1 : U\u3b1 \u2212\u2192 F
tal que:
\u3c3\u3b2(x) = g\u3b2\u3b1(x)\u3c3\u3b1(x) \u2200x \u2208 U\u3b1 \u2229 U\u3b2 (1.3.10)
Mostre que {\u3c3\u3b1}\u3b1\u2208A determina cano`nicamente uma secc¸a\u2dco de \u3be, e que toda a secc¸a\u2dco de \u3be pode
ser constru´\u131da desta forma.
O conjunto das secc¸o\u2dces (resp., locais) diferencia´veis de \u3be = (E,M, pi, F,G,\u3a6), sera´
notado por \u393(E) (resp., \u393U(E)).
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 24
1.3.3 Exemplo. A fibrac¸a\u2dco de Hopf
A chamada \u201cfibrac¸a\u2dco de Hopf\u201d (ou monopolo magne´tico de Dirac), e´ o fibrado com
grupo de estrutura G, em que:
\u2022 o espac¸o total e´ a esfera de dimensa\u2dco 3 em IR4 \u223c= C2:
E = SS3 = {(w = (w0, w1) \u2208 C2 : |w0|2 + |w1|2 = 1}
\u2022 a base e´ a esfera SS2 de dimensa\u2dco 2. Convem considerar SS2 como sendo obtida
por colagem (ou identificac¸a\u2dco) de duas co´pias de C:
SS2 = C0 \u222a\u3d510 C1
atrave´s da inversa\u2dco \u3d510 : C
\u2217
0 = C0 \u2212 {0} \u2192 C\u22171 = C1 \u2212 {0} dada por \u3d510(z) = 1z . De
facto, \u3d510 pode ser vista como a aplicac¸a\u2dco de mudanc¸a de coordenadas, associada
a duas projecc¸o\u2dces estereogra´ficas da esfera, a partir dos seus po´los norte e sul,
respectivamente.
\u2022 o grupo de estrutura G, e´ o grupo U(1) = {\u3bb \u2208 C : |\u3bb| = 1} \u223c= SS1.
\u2022 a fibra tipo e´ SS1, e o grupo de estrutura U(1), actua na fibra tipo F = SS1 por
multiplicac¸a\u2dco a` esquerda.
\u2022 a projecc¸a\u2dco de fibrado e´ a aplicac¸a\u2dco pi : SS3 \u2192 SS2, dada por:
pi(w0, w1) =
{
w1/w0 \u2208 C0 se w0 6= 0
w0/w1 \u2208 C1 se w1 6= 0
Note que se w0, w1 sa\u2dco ambos na\u2dco nulos, as duas definic¸o\u2dces coincidem em SS2. Por
outro lado, se u,w \u2208 SS3, enta\u2dco pi(u) = pi(w) se e so´ se w = \u3bbu, para algum
\u3bb \u2208 U(1).
A estrutura de G-fibrado e´ agora definida pelo atlas maximal que contem as cartas
trivializadoras (C0, \u3c60) e (C1, \u3c61) onde:
\u3c60 : pi
\u22121(C0)\u2192 C0 × SS1 definida por \u3c60(w0, w1) = (w
1
w0
,
w0
|w0|) (1.3.11)
\u3c61 : pi
\u22121(C1)\u2192 C1 × SS1 definida por \u3c61(w0, w1) = (w
0
w1
,
w1
|w1|)
Como a aplicac¸a\u2dco \u3c61 \u25e6 \u3c6\u221210 : C\u22170 × SS1 \u2192 C\u22171 × SS1 e´ dada por:
\u3c61 \u25e6 \u3c6\u221210 (z, \u3bb) = (
1
z
,
z
|z| \u3bb)
vemos que ela e´ da forma (z, \u3bb) 7\u2192 (\u3d510(z), g10(z)