Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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· \u3bb), e portanto a func¸a\u2dco de transic¸a\u2dco
entre estas duas trivializac¸o\u2dces e´ (mo´dulo a identificac¸a\u2dco \u3d510):
g10(z) =
z
|z| \u2208 U(1)
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 25
Figure 1.1: Fibrac¸a\u2dco de Hopf
.
o que mostra que temos um U(1)-fibrado sobre SS2. Mais detalhes podem ser vistos em
[Nab], por exemplo.
Existem dois tipos de G-fibrados, que te\u2c6m para no´s especial interesse:
\u2022 no primeiro tipo, a fibra F e´ um espac¸o vectorial V , de dimensa\u2dco finita sobre um
corpo K (= IR,C ou IH), e o grupo de estrutura e´ um subgrupo G de G`(V ), o
grupo linear geral de V .
\u2022 no segundo caso, a fibra F e´ \u201cigual\u201d ao grupo de estrutura G !... Por exemplo a
fibrac¸a\u2dco de Hopf e´ deste tipo. Este caso sera´ estudado numa secc¸a\u2dco posterior.
Analisemos para ja´ com detalhe o primeiro caso.
1.3.4 Fibrados Vectoriais
Neste caso temos a seguinte:
1.3. Fibrados. Fibrados Vectoriais 26
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.12 ... Uma estrutura de \u201cfibrado vectorial\u201d (diferencia´vel) num fi-
brado \u3be = (E,M, V, pi), consiste de um \u201catlas de trivializac¸o\u2dces locais\u201d \u3a6 = {(U\u3b1, \u3c6\u3b1)}\u3b1\u2208A
que satisfazem as condic¸o\u2dces seguintes:
\u2022 Os abertos U\u3b1 \u2282M cobrem M .
\u2022 As func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco g\u3b2\u3b1(x) def= \u3c6\u3b2,x \u25e6 \u3c6\u22121\u3b1,x : V \u2212\u2192 V , sa\u2dco aplicac¸o\u2dces difer-
encia´veis que tomam valores num subgrupo de Lie G de G`(V ):
g\u3b1\u3b2 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2212\u2192 G \u2286 G`(V ) (1.3.12)
\u2022 O atlas \u3a6 e´ maximal.
Neste caso chamaremos a \u3be = (E,M, pi,G, V,\u3a6) um G-fibrado vectorial sobre M . Quando
K = IR o fibrado diz-se \u201creal\u201d, quando K = C diz-se \u201ccomplexo\u201d e quando K = IH
diz-se \u201cquaternio´nico\u201d. A K-dimensa\u2dco de V diz-se o \u201crank\u201d do fibrado.
O aspecto fundamental desta definic¸a\u2dco e´ que a estrutura linear da fibra tipo V , pode
ser transferida para cada fibra Ex: se (U, \u3c6) e´ uma trivializac¸a\u2dco local, munimos cada fibra
Ex (x \u2208 U), da estrutura de K-espac¸o vectorial, exigindo que:
\u3c6x : Ex
\u223c=\u2212\u2192 V
seja um K-isomorfismo de espac¸os vectoriais. Esta definic¸a\u2dco e´ independente da identi-
ficac¸a\u2dco escolhida de Ex com V , uma vez que as func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco tomam valores no
grupo G`(V ) dos automorfismos lineares de V .
Mais interessante ainda, se V tem uma estrutura adicional podemos transferir essa
estrutura para cada Ex, mais uma vez de forma independente da identificac¸a\u2dco escolhida
de Ex com V , desde que as func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco tomem valores no subgrupo G de G`(V ),
que preserva essa estrutura. Assim por exemplo, suponhamos que V e´ um espac¸o vectorial
real (resp., complexo) munido de um produto interno g : V × V \u2192 IR (resp., produto
herm\u131´tico g : V × V \u2192 C). Enta\u2dco se supo\u2c6mos que as func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco tomam valores
no grupo ortogonal Og(V ) (resp., grupo unita´rio Ug(V )) dos automorfismos lineares de
V , que preservam g, podemos definir um produto interno (resp., produto herm\u131´tico) em
cada Ex pondo:
gx([\u3b1, x,v], [\u3b1, x,w])
def
= g(v,w)
De facto esta definic¸a\u2dco e´ consistente, uma vez que se:
[\u3b2, x,v\u2032] \u223c [\u3b1, x,v] e [\u3b2, x,w\u2032] \u223c [\u3b1, x,w]
enta\u2dco:
v\u2032 = g\u3b2\u3b1(x)v e w\u2032 = g\u3b2\u3b1(x)w
e portanto:
g(v\u2032,w\u2032) = gx([\u3b1, x,v\u2032], [\u3b1, x,w\u2032]) = gx([\u3b1, x, g\u3b2\u3b1(x)v], [\u3b1, x, g\u3b2\u3b1(x)w])
= g(g\u3b2\u3b1(x)v, g\u3b2\u3b1(x)w) = g(v,w)
ja´ que g\u3b2\u3b1(x) e´ uma transformac¸a\u2dco ortogonal (resp., unita´ria) de V .
1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 27
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.13 ... Um \u201cmorfismo\u201d entre K-fibrados vectoriais (E1,M, pi1) e
(E2,M, pi2), sobre M , e´ uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel \u3a6 : E1 \u2192 E2 que comuta com as
projecc¸o\u2dces (preserva fibras), e tal que a restric¸a\u2dco a cada fibra e´ uma aplicac¸a\u2dco K-linear:
\u3a6p = \u3a6|(E1)p : (E1)p \u2192 (E2)p.
\u3a6 e´ um isomorfismo se \u3a6 e´ um difeomorfismo cuja restric¸a\u2dco a cada fibra e´ um K-
isomorfismo linear. Neste caso os fibrados dizem-se isomorfos.
(E1,M, pi1) diz-se um \u201csubfibrado\u201d de (E2,M, pi2), se E1 e´ uma subvariedade de E2
e se (E1)p e´ um subespac¸o de (E2)p, \u2200p \u2208M .
O K-fibrado vectorial trivial de rank r, sobre M , e´ o fibrado:
\u3c4 rK
def
= (M ×Kr,M, pi1,\u3a6)
onde \u3a6 e´ o atlas maximal contendo a identidade. Mais geralmente, um fibrado vectorial
\u3be = (E,M, pi,\u3a6) diz-se trivial se fo\u2c6r isomorfo a algum \u3c4 rK. Um tal isomorfismo diz-se
uma trivializac¸a\u2dco de \u3be.
O conjunto \u393(E) (resp., \u393U(E)) das secc¸o\u2dces (resp., locais) diferencia´veis de um K-
fibrado vectorial (E,M, pi), tem uma estrutura natural de mo´dulo sobre o anel C\u221e(M)
(resp., C\u221e(U)).
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.14 ... Seja (E,M, pi) um K-fibrado vectorial de rank r. Um \u201crefer-
encial local\u201d para E sobre um aberto U \u2286 M e´ um conjunto e = [e1 · · · er] de secc¸o\u2dces
locais ea \u2208 \u393U(E) tais que {ea(x)}ra=1 constituem uma base para a fibra Ex, para cada
x \u2208 U .
Referenciais locais existem sempre: se (U, \u3c6) e´ uma trivializac¸a\u2dco local, e se {ea}ra=1 e´
uma K-base para a fibra tipo V \u223c= Kr, podemos definir as secc¸o\u2dces locais:
ea : Ua \u2192 E atrave´s de ea(x) = \u3c6\u22121(x, ea) a = 1, · · · , r
Qualquer secc¸a\u2dco local \u3c3 \u2208 \u393U(E) exprime-se na forma:
\u3c3(x) =
\u2211
a
\u3c3a(x) ea(x) \u3c3
a \u2208 C\u221e(U) \u2200x \u2208 U
o que mostra que o C\u221e(M)-mo´dulo \u393(E) e´ localmente livre.
1.4 Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M
1.4.1 Vectores tangentes. O espac¸o tangente TxM . Diferenciais
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.15 ... Seja M uma variedade diferencia´vel e x \u2208M . No conjunto:\u22c3
U3x
C\u221e(U)
1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 28
de todas as func¸o\u2dces C\u221e, f : U \u2192 IR definidas num aberto U \u2286M que contem x, definimos
a relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia seguinte:
f : U \u2192 IR e´ equivalente a g : V \u2192 IR sse f e g coincidem num aberto W \u2282 U \u2229 V
Cada classe de equivale\u2c6ncia e´ chamada \u201cgerme\u201d de func¸a\u2dco C\u221e em x, e o conjunto dos
germes em x, nota-se por C\u221ex .
Por abuso de notac¸a\u2dco o germe representado por f : U \u2192 IR, sera´ notado pela mesma
letra f .
O conjunto C\u221ex , dos germes C
\u221e em x tem uma estrutura de a´lgebra comutativa com
unidade.
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.16 ... Um \u201cvector tangente\u201d a M em x e´ uma derivac¸a\u2dco pontual
Xx da a´lgebra C
\u221e
x , de germes C
\u221e em x , i.e., Xx : C\u221ex \u2192 IR satisfaz:
\u2022 Xx e´ IR-linear: Xx(af + bg) = aXx(f) + bXx(g)
\u2022 a \u201cregra de Leibniz\u201d: Xx(fg) = Xx(f) g(x) + f(x)Xx(g)
\u2200f, g \u2208 C\u221ex ; \u2200a, b \u2208 IR. O conjunto de todos os vectores tangentes a M em x, munido da
estrutura natural de espac¸o vectorial, diz-se o \u201cEspac¸o Tangente a M em x\u201d e nota-se
por TxM .
Note que a \u201cregra de Leibniz\u201d implica que Xx(1) = Xx(1) +Xx(1) (onde 1 representa
o germe da func¸a\u2dco constante e igual a 1), i.e., Xx(1) = 0 e por linearidade Xx(c) = 0.
Suponhamos que (U, \u3c6) = (U ;x1, · · · , xn) \u2208 F e´ uma carta local em M , com coorde-
nadas locais associadas xi. Se f \u2208 C\u221e(M), consideremos a representac¸a\u2dco local f \u25e6 \u3c6\u22121,
que como ja´ vimos, e´ uma func¸a\u2dco (de classe C\u221e) de n varia´veis reais xi:
(f \u25e6 \u3c6\u22121)(x1, · · · , xn)
Definimos enta\u2dco a \u201cderivada parcial\u201d de f em ordem a xi, em x, atrave´s de:
\u2202f
\u2202xi
(x)
def
= \u2202(f\u25e6\u3c6
\u22121)
\u2202xi
(\u3c6(x)) (1.4.1)
Notemos que \u2202f
\u2202xi
(x) esta´ bem definida no germe de f em x. Por outro lado e´ fa´cil provar
que e´ uma derivac¸a\u2dco de C\u221ex . Portanto, para cada i = 1, · · · , n:
\u2202
\u2202xi
|x : C\u221ex \u2192 IR definida por \u2202\u2202xi |x(f)
def
= \u2202f
\u2202xi
(x) (1.4.2)
e´ um vector tangente em x. De facto estes n vectores, ditos \u201cvectores coordenados\u201d,
constituem uma base para TxM - a base associada a`s coordenadas locais x
i:
1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 29
\u2663 Teorema 1.3 ... Se (U, \u3c6) = (U ;x1, · · · , xn) e´ uma carta local em torno de x,
enta\u2dco os vectores coordenados:
\u2202
\u2202xi
|x i = 1, · · · , n
definidos por (1.4.2), constituem uma base para TxM . Qualquer outro vector Xx \u2208 TxM
exprime-se nesta base atrave´s da combinac¸a\u2dco linear seguinte:
Xx =
\u2211n
i=1 Xx(x
i) \u2202
\u2202xi
|x (1.4.3)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... Seja Xx \u2208 TxM . Como Xx(c) = 0 podemos supo\u2c6r que \u3c6(x) = 0 \u2208 IRn
e ainda que (restringindo U , se necessa´rio), \u3c6(U) \u2282 IRn e´ uma bola B = B(0, ²) centrada
em 0.
\u2022 Qualquer func¸a\u2dco C\u221e g : B \u2192 IR pode ser escrita na forma: