Curso de cálculo avançado
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Curso de cálculo avançado


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1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 34
e que e´ local, no sentido em que:
X|U(f |U) = (Xf)|U (1.4.17)
Rec´\u131procamente, toda a derivac¸a\u2dco D em C\u221e(M) que satisfaz (1.4.17), define um campo
de vectores em X(M). Com efeito, se x \u2208 M e f \u2208 C\u221e(M), o nu´mero (Df)(x) depende
apenas do germe de f em x. Portanto existe um vector tangente Xx \u2208 TxM tal que
Xxf = (Df)(x), e a aplicac¸a\u2dco x 7\u2192 Xx e´ um campo de vectores diferencia´vel.
O conjunto X(M) dos campos de vectores de classe C\u221e em M , tem uma estrutura de
mo´dulo sobre o anel C\u221e(M), definindo fX como sendo o campo (fX)x = f(x)Xx. Por
outro lado, se X, Y \u2208 X(M) sa\u2dco vistos como derivac¸o\u2dces em C\u221e(M), enta\u2dco:
[X, Y ]
def
= XY \u2212 Y X (1.4.18)
e´ ainda uma derivac¸a\u2dco de C\u221e(M) que, pela observac¸a\u2dco anterior, define um campo de
vectores em X(M) que se chama o \u201cpare\u2c6ntisis de Lie\u201d de X e Y .
O pare\u2c6ntisis de Lie define uma aplicac¸a\u2dco X(M) × X(M) \u2192 X(M) que e´ IR-bilinear,
verifica:
[X,X] = 0
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 \u201cidentidade Jacobi\u201d (1.4.19)
e que portanto mune X(M) de estrutura de a´lgebra de Lie.
Ale´m disso:
[fX, gY ] = fg[X, Y ] + f(Xg)Y \u2212 g(Y f)X (1.4.20)
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.19 ... E\u2c6(i). Se F : M \u2192 N e´ um difeomorfismo e se X \u2208 X(M)
e´ um campo de vectores em M , define-se um campo de vectores F\u2217X \u2208 X(N) em N ,
chamado o \u201cpush-forward\u201d de X por F , atrave´s de:
F\u2217X = TF \u25e6X \u25e6 F\u22121 (1.4.21)
isto e´:
TM
TF\u2212\u2192 TN
X \u2191 \u2191 F\u2217X
M
F\u22121\u2190\u2212 N
E\u2c6(ii). Se F : M \u2192 N e´ um difeomorfismo e se Y \u2208 X(M) e´ um campo de vectores
em N , define-se um campo de vectores F \u2217Y \u2208 X(M) em M , chamado o \u201cpull-back\u201d de
Y por F , atrave´s de:
F \u2217X = TF\u22121 \u25e6 Y \u25e6 F (1.4.22)
isto e´:
TM
TF\u22121\u2190\u2212 TN
F \u2217Y \u2191 \u2191 Y
M
F\u2212\u2192 N
1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 35
\u2663 Exerc´\u131cio 1.11 ... Deduzir expresso\u2dces em coordenadas locais para F\u2217X e F \u2217X.
Nestas definic¸o\u2dces e´ essencial que F seja um difeomorfismo. Quando F : M \u2192 N na\u2dco e´
um difeomorfismo, podemos falar de campos de vectores F -relacionados:
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.20 ... Seja F : M \u2192 N uma aplicac¸a\u2dco diferencia´vel. Os campos de
vectores X \u2208 X(M) e Y \u2208 X(N) dizem-se \u201cF -relacionados\u201d, (notac¸a\u2dco X F\u223c Y ) se:
TF \u25e6X = Y \u25e6 F (1.4.23)
isto e´:
X
F\u223c Y se e so´ se
TM
TF\u2212\u2192 TN
X \u2191 \u2191 Y
M
F\u2212\u2192 N
\u2663 Proposic¸a\u2dco 1.3 ... E\u2c6(i). Se X \u2208 X(M) e Y \u2208 X(N), enta\u2dco:
X
F\u223c Y se e so´ se X(g \u25e6 F ) = Y g \u25e6 F \u2200g \u2208 C\u221e(N) (1.4.24)
E\u2c6(ii). Se X1, X2 \u2208 X(M) e Y1, Y2 \u2208 X(N), enta\u2dco:
X1
F\u223c Y1 e X2 F\u223c Y2 \u21d2 [X1, X2] F\u223c [Y1, Y2] (1.4.25)
\u2022 Demonstrac¸a\u2dco... (i). Se g \u2208 C\u221e(N) e x \u2208M , enta\u2dco:
X(g \u25e6 F ) = Y g \u25e6 F \u21d4 X(g \u25e6 F )(x) = (Y g \u25e6 F )(x)
\u21d4 Xx(g \u25e6 F ) = (Y g)(F (x))
\u21d4 (dFx(Xx))g = YF (x)g
\u21d4 (dFx)(Xx) = YF (x)
\u21d4 TF \u25e6X = Y \u25e6 F
(ii). Aplicar sucessivamente (i).
¤.
1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 36
1.4.4 O Fibrado Cotangente T \u2217M . 1-formas diferenciais
Consideremos agora o fibrado cotangente T \u2217M . Este fibrado e´ mais um exemplo de
fibrado vectorial sobre M , obtido por \u201cdualizac¸a\u2dco\u201d de TM . Vamos detalhar a construc¸a\u2dco
de T \u2217M . Como conjunto:
T \u2217M def=
\u22c3
x\u2208M
T \u2217xM (reunia\u2dco disjunta) (1.4.26)
onde T \u2217xM e´ o espac¸o dual a TxM , i.e., o espac¸o vectorial das formas lineares \u3b8x : TxM \u2192
IR (ditos tambe´m \u201ccovectores tangentes em x\u201d). Um ponto de T \u2217M sera´ notado por
\u3b8x se \u3b8x \u2208 T \u2217xM . Existe uma projecc¸a\u2dco natural:
T \u2217M
pi \u2193
M
definida por pi(\u3b8x) = x
A topologia e a estrutura diferencia´vel definem-se de forma completamente ana´loga a`
que se utilizou na construc¸a\u2dco do fibrado tangente, usando agora as cartas locais de T \u2217M
do tipo seguinte:
(pi\u22121(U);x1 \u25e6 pi, · · · , xn \u25e6 pi, p1, · · · , pn)
onde (U, \u3c6) = (U ; x1, · · · , xn) e´ uma carta local de M , e pi sa\u2dco as func¸o\u2dces reais definidas
em pi\u22121(U) atrave´s de pi(\u3b8x) = \u3b8x( \u2202\u2202xi |x). Mais concretamente, as coordenadas locais
de cada ponto \u3b8x \u2208 pi\u22121(U) sa\u2dco dadas pelas coordenadas locais xi(x) de x = pi(\u3b8x) e
pelas coordenadas de \u3b8x \u2208 T \u2217xM na base de covectores (dxi)x, dual a` base de vectores
coordenados \u2202
\u2202xi
|x, i.e., (dxi)x
(
\u2202
\u2202xj
|x
)
= \u3b4ij e \u3b8x =
\u2211
pi (dx
i)x.
Vemos portanto que:
\u3b8x \u2208 pi\u22121(U) 7\u2192 (x1(x), · · · , xn(x), p1(\u3b8x), · · · , pn(\u3b8x))
define um homeomorfismo de pi\u22121(U) sobre o aberto \u3c6(U)× IRn \u2282 IR2n.
Vejamos agora como sa\u2dco as aplicac¸o\u2dces de mudanc¸a de coordenadas locais. Suponhamos
que os dom\u131´nios de duas cartas locais (pi\u22121(U\u3b1);xi\u3b1, p\u3b1 i) e (pi
\u22121(U\u3b2);xi\u3b2, p\u3b2 i) se intersectam.
Enta\u2dco a aplicac¸a\u2dco de mudanc¸a de coordenadas e´ a aplicac¸a\u2dco de classe C\u221e, definida num
aberto de IR2n e com valores em IR2n, que em notac¸a\u2dco vectorial tem a forma:
(x\u3b1,p\u3b1) 7\u2192 (x\u3b2,p\u3b2) = (\u3d5\u3b2\u3b1(x\u3b1),p\u3b1
[
J\u3d5\u3b2\u3b1(x\u3b1)
]\u22121
) (1.4.27)
onde mais uma vez \u3d5\u3b2\u3b1 e´ a func¸a\u2dco de mudanc¸a de coordenadas, das \u3b1-coordenadas para
as \u3b2-coordenadas, e J\u3d5\u3b2\u3b1 a respectiva matriz Jacobiana (ver (1.1.4)). Nesta fo´rmula p\u3b1
e p\u3b2 sa\u2dco interpretados como vectores-linha. De facto:
p\u3b1 i = \u3b8x(
\u2202
\u2202xi\u3b1
|x) = \u3b8x
(
[J\u3d5\u3b2\u3b1(x)]
j
i
\u2202
\u2202xj\u3b2
|x
)
= p\u3b2 j [J\u3d5\u3b2\u3b1(x)]
j
i
1.4. Os Fibrados Tangente TM e Cotangente T \u2217M 37
ou de forma equivalente:
p\u3b2 j = p\u3b1 i
(
[J\u3d5\u3b2\u3b1(x)]
\u22121)i
j
Um atlas {(U\u3b1, \u3d5\u3b1)} para M , induz uma estrutura de fibrado vectorial (real) difer-
encia´vel em T \u2217M , definida pelo atlas de trivializac¸o\u2dces locais:
pi\u22121(U\u3b1)
\u3c6\u3b1\u2212\u2192 U\u3b1 × IRn
pi \u2198 \u2199 pi1
U\u3b1 \u2282M
onde ({.}t representa aplicac¸a\u2dco linear transposta):
\u3c6\u3b1 : \u3b8x 7\u2192 (x, [(d\u3d5\u3b1)\u22121x ]t(\u3b8x))
As correspondentes func¸o\u2dces de transic¸a\u2dco sa\u2dco dadas por:
g\u3b2\u3b1 : U\u3b1 \u2229 U\u3b2 \u2192 G`(n, IR) g\u3b2\u3b1(x) = [(J\u3d5\u3b2\u3b1(x))\u22121]t (1.4.28)
Fica desta forma estabelecida uma segunda \u201cdefinic¸a\u2dco f´\u131sica\u201d de vector cotangente
a M em x, como sendo uma classe de equivale\u2c6ncia de triplos:
(\u3b1, x,v) \u2208 {\u3b1} × U\u3b1 × IRn
relativamente a` relac¸a\u2dco de equivale\u2c6ncia:
(\u3b1, x,v) \u223c (\u3b2, y,w) sse x = y e w = [(J\u3d5\u3b2\u3b1(x)\u22121]t v (1.4.29)
\u2663 Definic¸a\u2dco 1.21 ... Um \u201c1-forma diferencial\u201d (ou campo de covectores) em M
e´ uma secc¸a\u2dco diferencia´vel do fibrado cotangente:
\u3b8 :M \u2192 T \u2217M
Portanto uma 1-forma diferencial \u3b8 associa a cada ponto p \u2208 M um covector tangente
\u3b8(p) \u2208 T \u2217pM , de tal forma que se:
\u3b8(x) =
\u2211
i
\u3b8i(x) dx
i x = (x1, · · · , xn) (1.4.30)
e´ a representac¸a\u2dco local de \u3b8 em coordenadas locais, enta\u2dco as func¸o\u2dces componentes \u3b8i sa\u2dco
de classe C\u221e.
1.5. Fibrado de Referenciais. Fibrados Principais 38
1.5 Fibrado de Referenciais. Fibrados Principais
1.5.1 Convenc¸o\u2dces de a´lgebra linear
Considere um espac¸o vectorial V de dimensa\u2dco r, sobre um corpo K. Seja B(V ) o conjunto
de todas as bases (ou referenciais) em V . Uma base e \u2208 B(V ) sera´ representada por uma
matriz-linha:
e = [e1 e2 · · · er]
ou simplesmente por e = ea. O grupo linear geral G`(V ) \u223c= G`(r,K) actua a` direita de
B(V ) atrave´s de:
e · g = e\u302 onde e\u302 e´ a base e\u302b def= ea gab (1.5.1)
com g = (gab ) \u2208 G`(r,K). De facto:
(e · gh)a = eb(gh)ba = eb gbchca = (e · g)chca = ((e · g) · h)a
isto e´ e · gh = (e · g) · h, o que mostra que de facto a acc¸a\u2dco e´ a` direita. Ale´m disso a
acc¸a\u2dco e´ \u201ctransitiva\u201d (qualquer base pode ser transformada numa qualquer outra atrave´s
de uma matriz conveniente de G`(r,K)) e \u201clivre\u201d (duas matrizes distintas transformam
uma certa base em bases diferentes).
Por vezes e´ u´til encarar um referencial e \u2208 B(V ) como um isomorfismo (representado
pela mesma letra):
e : Kr \u2212\u2192 V
e = eia. Neste caso a acc¸a\u2dco direita de G`(r,K) em B(V ), e´ dada pela composta e·g = e\u25e6g:
Kr
g\u2212\u2192 Kr e\u2212\u2192 V
Seja v \u2208 V um vector de V , e e, e\u302 \u2208 B(V ) duas bases relacionadas por e\u302 = e · g.
Representemos por \u3bea (resp., \u3be\u2c6a), as coordenadas de v na base e (resp., na base e\u302).
Enta\u2dco:
v = \u3bea ea = \u3be\u2c6
b e\u302b = \u3be\u2c6
b ea g
a
b
donde se deduz que \u3bea = gab \u3be\u2c6
b, ou de forma equivalente:
\u3be\u2c6b = (g\u22121)ba \u3be
a
Portanto:
eb 7\u2192 e\u302b = ea gab \u21d2 \u3beb 7\u2192 \u3be\u2c6b = (g\u22121)ba \u3bea (1.5.2)
isto e´ as componentes de um vector v \u2208 V transformam-se com \u201cvaria\u2c6ncia\u201d