Apostila de Eletrônica Digital
84 pág.

Apostila de Eletrônica Digital


DisciplinaEletrônica Digital5.823 materiais47.401 seguidores
Pré-visualização15 páginas
Álgebra Booleana é uma técnica matemática usada quando consideramos problemas de
natureza lógica. Em 1847, um matemático inglês chamado George Boole, desenvolveu as leis
básicas e regras matemáticas que poderiam ser aplicadas em problemas de lógica dedutiva.
Até 1938, estas técnicas se limitaram a serem usadas no campo matemático. Nesta época,
Claude Shammon, um cientista do Be1 Laboratories, percebeu a utilidade de tal álgebra
quando aplicada no equacionamento e análise de redes de multicontatos. Com o
desenvolvimento dos computadores, o uso da álgebra de Boole no campo da eletrônica
cresceu, de modo que ela é hoje ferramenta fundamental, para engenheiros e matemáticos no
desenvolvimento de projetos lógicos. Originalmente a álgebra de Boole foi baseada em
proposições que teriam como resultado serem falsas ou verdadeiras. Shammon usou a álgebra
de Boole para equacionar uma malha de contatos que poderiam estar abertos ou fechados.
No campo de computadores é usada na descrição de circuitos, podendo assumir os estágios
lógicos 1 ou 0. É fácil perceber que a lógica de Boole é extremamente interrelacionada com o
sistema de numeração binária, já que ambos trabalham com duas variáveis.
__________________________________________________________________________________________
Senai
Departamento Regional do Espírito Santo
21
1.4.1 - Postulados e Teoremas Booleanos
Toda teoria de Boole está fundamentada 7 postulados apresentados a seguir:
P1 - X = 0 ou X = 1 P5 - 1 + 1 = 1
P2 - 0 . 0 = 0 P6-1 . 0 = 0 . 1 = 0
P3 - 1 . 1 = 1 P7 - 1 + 0 = 0 + 1 = 1
P4 - 0 + 0 = 0
Compare estes postulados com as definições de adição lógica e multiplicação lógica,
apresentadas anteriormente.
Fundamentado nos postulados Booleanos, um número de teoremas pode agora ser
apresentado.
O teorema em álgebra de Boole é uma relação fundamental entre as variáveis Booleanas. O
uso dos teoremas irá permitir simplificações nas equações lógicas e manipulações em
circuitos lógicos das mais variadas formas. Analisemos cada um dos teoremas.
T1 - Lei comutativa T2- Lei Associativa
(a) A + B = B + A (a) (A + B) + C = A + (B + C)
(b) A . B = B . A (b) (A . B) . C = A . (B . C)
T3 - Lei distribuitiva T4 - Lei da identidade
(a) A . (B + C) = A . B + A . C (a) A + A = A
(b) A + (B . C) = (A + B) . (A + C) (b) A . A = A
T5 - Lei da Negação T6 - Lei de redundância
(a) ( A ) = A (a) A + A . B = A
(b) ( A ) = A (b) A . (A + B) = A
T7 -(a) 0 + A = A T8 - (a) A + A = 1
 (b) 1 . A = A (b) A . A = 0
 (c) 1 + A = 1
 (d) 0 . A = 0
T9 -(a) A + A . B = A + B T10 - Teorema de Morgan
 (b) A . ( A + B) = A . B (a) A + B = A . B
(b) A . B = A + B
Observe que todos os teoremas são divididos em duas partes, portanto, são duais entre si.
O termo dual significa que as operações OR e AND são intercambiáveis.
Para se obter o dual de um teorema, basta substituir os "1" por "0" e vice-versa, e substituir a
função lógica AND por OR e vice-versa. Observe o exemplo a seguir:
T1 - Lei comutativa T6 - (a) A + A . B = A
(a) A + B = B + A (b) A . (A + B) = A
(b) A . B = B . A 
__________________________________________________________________________________________
Senai
Departamento Regional do Espírito Santo
22
T8 - (a) A + A = 1
 (b) A . A = 0
Os três primeiros teoremas mostram que as leis básicas de comutação, associação e
distribuição de álgebra convencional são também válidas para as variáveis Booleanas. A lei
da navegação só é aplicável à lógica de duas variáveis, como é o caso da álgebra de Boole. A
lei redundância pode ser facilmente comprovada da seguinte maneira:
(a) A + A . B = A Colocando A em evidência (b) A . (A + B) = A
A . ( 1+ B) = A A . A + A . B = A
A = A [T7 (b)] A + A . B = A
 A . (1 + B) = A [T7 (b) ]
 A . 1 = A
 A = A
Os teoremas T7 e T8 são regras da álgebra Booleana.
T9 pode ser demonstrado como a seguir:
 __
A + A . B = A + B Expandindo a Equação
(A + A ) . (A + B) = A + B [T3(b)] ( Fatoração)
1 . (A + B) = A + B [T8(a)]
A + B = A + B [T7(b)]
O teorema T10 é conhecido como teorema de Morgan e é uma das mais importantes
ferramentas na manipulação de circuitos lógicos.
1.4.2 - Simplificação Lógica
Aplicando-se os teoremas e postulados Booleanos podemos simplificar equações lógicas, e
com isto minimizar a implementação de circuitos lógicos. Vamos analisar como pode ser feita
a simplificação lógica na série de exemplos a seguir:
Exemplo 1
Considere que a saída de um circuito lógico deve obedecer à seguinte equação:
 __ __
S = A + A . B + A . B
Se este circuito fosse implementado desta forma através de portas lógicas, teríamos o circuito
da figura 17.
__________________________________________________________________________________________
Senai
Departamento Regional do Espírito Santo
23
Utilizando-se teoremas de Boole, vamos simplificar a equação dada.
A + A . B + A . B = (A + A . B ) + A . B
 = A + A . B [T6 (a)]
 = A + B [T9 (a)]
A equação resultante pode ser implementada através do circuito da figura 18, ou seja, uma
simples porta OR. Isto significa que os dois circuitos representam a mesma função lógica.
Naturalmente o circuito simplificado é o ideal, visto que executa a mesma função lógica com
um número reduzido de portas lógicas.
Exemplo 2
Simplifique a expressão A . (A . B + C)
Solução:
A . (A . B + C) = A . A . B + A . C [T3(a)]
 = A . B + A . C [T4(b)]
 = A . (B + C) [T3(a)]
1.4.3 - Manipulações Lógicas
Os teoremas de Boole são mais úteis na manipulação de variáveis lógicas do que
propriamente na simplificação. Isto porque, um circuito após simplificado pode não estar em
sua forma minimizada, e este processo de minimização se torna trabalhoso, em determinados
casos, quando feito através de simplificações lógicas. Considere a seguinte equação lógica:
S=A + B. Suponha que seja necessário implementá-la através de portas lógicas NAND.
__________________________________________________________________________________________
Senai
Departamento Regional do Espírito Santo
24
Aplicando o teorema de de Morgan na equação acima e negando duplamente o resultado,
temos:
A + B = A . B [ De Morgan ]
A + B = A . B [ Dupla negação ]
Observe a figura:
Na realidade, qualquer expressão lógica pode ser manipulada de forma a ser totalmente
implementada através de portas NAND ou NOR, como mostrado nos seguintes exemplos:
Exemplo 3
1) Implemente as seguintes expressões lógicas
a)D = A + B . C
b) W = X . Y + X . Z
Solução:
a) A + B . C = A + B . C ( Dupla negação)
A + B . C = A . B . C (De Morgan)
.
b) XY + X Z = XY + X Z [ Dupla negação]
 .
 XY + XZ = XY . XZ [De Morgan]
__________________________________________________________________________________________
Senai
Departamento Regional do Espírito Santo
25
2) implemente as seguintes expressões lógicas com portas NOR.
a) X . Y + Z
b) (U + V) . (X + Y + Z )
Solução:
a) Utilizando uma dupla negação no primeiro membro da equação, teremos:
 .
X . Y + Z = X . Y + Z
Aplicando De Morgan no termo complemento em (1) temos:
 .
 ____ ____
X . Y + Z = X + Y + Z
Finalmente, negando duplamente a equação completa temos:
 .
 _______________
____ ______
X + Y +Z = X + Y + Z
b) Utilizando uma dupla negação na equação temos:
 .
 ___ __