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- UFF
Coordenadas
v1 = (cos \u3b8, sen \u3b8) e v2 = (\u2212 sen \u3b8, cos \u3b8),
e a base cano\u2c6nica B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.
Como [vi]B = Pi (i\u2212e´sima coluna de P), i = 1, 2, temos que B \u2032 = {v1, v2} e´
uma base ordenada de R2 tal que
[v]B = P[v]B \u2032 , \u2200v \u2208 R2 .
Logo,
[v]B \u2032 = P\u22121[v]B , \u2200v \u2208 R2 .
Enta\u2dco, se v = (x, y) = xe1 + ye2, temos que
[v]B \u2032 =
(
x \u2032
y \u2032
)
= P\u22121[v]B =
(
cos \u3b8 sen \u3b8
\u2212sen\u3b8 cos \u3b8
) (
x
y
)
,
ou seja,
x \u2032 = cos \u3b8 x+ sen \u3b8y
y \u2032 = \u2212 sen \u3b8 x+ cos \u3b8y .
\ufffd
Exemplo 4.3
A. Verifiquemos que os vetores v1 = (\u22121, 0, 0), v2 = (4, 2, 0) e v3 =
(5,\u22123, 8) formam uma base de R3.
Para isso, basta mostrar que a matriz
A =
\uf8eb\uf8ed\u22121 4 50 2 \u22123
0 0 8
\uf8f6\uf8f8
cuja j\u2212e´sima coluna e´ Aj = [vj]B, onde B = {e1, e2, e3} e´ a base cano\u2c6nica
de R3, e´ invert\u131´vel.
De fato, vamos efetuar operac¸o\u2dces elementares na matriz A, e na matriz
identidade, para tentar transforma´-la numa matriz reduzida por linhas a`
forma em escada.\uf8eb\uf8ed\u22121 4 50 2 \u22123
0 0 8
\uf8f6\uf8f8 \u2190\u2192
\uf8eb\uf8ed1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6\uf8f8
\u2193 \u2193\uf8eb\uf8ed1 \u22124 \u221250 1 \u22123/2
0 0 1
\uf8f6\uf8f8 \u2190\u2192
\uf8eb\uf8ed\u22121 0 00 1/2 0
0 0 1/8
\uf8f6\uf8f8
J. Delgado - K. Frensel 53 Instituto de Matema´tica - UFF
Coordenadas
\u2193 \u2193\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 0 \u2212110 1 \u22123/2
0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u2190\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u22121 2 00 1/2 0
0 0 1/8
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
\u2193 \u2193\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u2190\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u22121 2 11/80 1/2 3/16
0 0 1/8
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
Como a matriz A e´ equivalente por linhas a` matriz identidade, temos que
A e´ invert\u131´vel e
A\u22121 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u22121 2 11/80 1/2 3/16
0 0 1/8
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
B. Determinemos, agora, as coordenadas x \u20321, x \u20322, x \u20323 do vetor v = (x1, x2, x3)
em relac¸a\u2dco a` base B \u2032 = {v1, v2, v3}.
Como [v]B = A[v]B \u2032, temos
[v]B \u2032 = A\u22121[v]B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u22121 2 11/80 1/2 3/16
0 0 1/8
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8edx1x2
x3
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
ou seja,
x \u20321 = \u2212x1 + 2 x2 +
11
8
x3
x \u20322 =
1
2
x2 +
3
16
x3
x \u20323 =
1
8
x3 .
Em particular, v = (1, 2, 16) = 25v1 + 5v2 + 2v3 . \ufffd
J. Delgado - K. Frensel 54 Instituto de Matema´tica - UFF
Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
5. Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
Definic¸a\u2dco 5.1
Seja A uma matriz m × n sobre o corpo K. O espac¸o-linha de A e´ o
subespac¸o de Kn gerado pelos vetores-linhas de A, e o posto-linha de A
e´ a dimensa\u2dco do espac¸o-linha de A.
Seja A uma matriz como na definic¸a\u2dco e seja P uma matriz k×m so-
bre K. Enta\u2dco, o produto B = PA e´ uma matriz k×n cujas linhas B1, . . . , Bk
sa\u2dco combinac¸o\u2dces lineares dos vetores-linhas de A:
Bi = Pi1\u3b11 + . . .+ Pim\u3b1m .
Logo, o espac¸o-linha de B e´ um subespac¸o do espac¸o-linha de A.
Se a matriz P e´ uma matriz invert\u131´vel (nesse caso m = k), ou seja,
B e A sa\u2dco linha-equivalentes, enta\u2dco o espac¸o-linha de A coincide com o
espac¸o-linha de B.
Teorema 5.1
Seja R uma matriz na\u2dco-nula m×n reduzida por linhas a` forma em escada.
Enta\u2dco os vetores-linhas na\u2dco-nulos de R formam uma base do espac¸o-linha
de R.
Prova.
Como os vetores-linhas na\u2dco-nulos de R, \u3c1i = (Ri1, . . . , Rin), i = 1, . . . , r,
geram o espac¸o-linha de R, basta mostrar que eles sa\u2dco LI.
Sejam k1 < . . . < kr tais que:
1. Rij = 0, se j < ki;
2. Rikj = \u3b4ij.
Seja \u3b2 = (b1, . . . , bn) um vetor do espac¸o-linha de R.
Enta\u2dco, \u3b2 = c1\u3c11 + . . .+ cr\u3c1r.
Como bkj =
r\u2211
i=1
ciRikj =
r\u2211
i=1
ci\u3b4ij = cj, temos que \u3b2 = bk1\u3c11 + . . .+ bkr\u3c1r.
Em particular, se c1\u3c11 + . . . + cr\u3c1r = 0, enta\u2dco cj e´ a bkj coordenada do
vetor nulo. Logo, cj = 0, para todo j = 1, . . . r. Assim, \u3c11, . . . , \u3c1k sa\u2dco LI \ufffd
J. Delgado - K. Frensel 55 Instituto de Matema´tica - UFF
Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
Teorema 5.2
Sejam m e n inteiros positivos e K um corpo.
Seja W um subespac¸o de Kn com dimW \u2264 m. Enta\u2dco existe exatamente
uma matriz m × n sobre K, reduzida por linhas a` forma em escada, cujo
espac¸o-linha e´ W.
Prova.
Existe\u2c6ncia. Como dimW \u2264 m, podemos tomar m vetores \u3b11, . . . , \u3b1m
em W, que geram W. Seja A a matriz m×n que tem esses vetores como
vetores-linhas.
Seja R uma matriz reduzida por linhas a` forma em escada equivalente por
linhas a` matriz A.
Enta\u2dco, o espac¸o-linha de R e´ W.
Unicidade. Seja R uma matriz m×n arbitra´ria reduzida por linhas a` forma
em escada cujo espac¸o-linha e´ W. Sejam \u3c11, . . . , \u3c1r os vetores-linhas na\u2dco-
nulos de R e suponhamos que o primeiro elemento na\u2dco-nulo de \u3c1i ocorra
na coluna ki, i = 1, . . . , r.
Na demonstrac¸a\u2dco do teorema anterior, vimos que se \u3b2 = (b1, . . . , bn) \u2208
W, enta\u2dco
\u3b2 =
\u2211r
i=1 bki\u3c1i.
Assim, todo vetor \u3b2 \u2208 W esta´ determinado quando as suas coordenadas
bkj , j = 1, . . . , r, sa\u2dco conhecidas.
Enta\u2dco, \u3c1i e´ o u´nico vetor em W cuja ki\u2212e´sima coordenada e´ 1 e cuja
kj\u2212e´sima coordenada e´ nula para j 6= i.
Suponhamos que \u3b2 6= 0. Como \u3b2 =
n\u2211
i=1
bki\u3c1i, temos que existe s \u2208
{1, . . . , r} tal que
\u3b2 =
r\u2211
i=s
bki\u3c1i , com bks 6= 0 .
Como Rij = 0 se i > s e j \u2264 ks, temos que
(0, . . . , 0, bks, . . . , bn) , bks 6= 0
Provamos, assim, que r e k1 < . . . < kr sa\u2dco determinados apenas pe-
los vetores de W, pois {k1, . . . , kn} e´ o conjunto dos inteiros positivos t,
J. Delgado - K. Frensel 56 Instituto de Matema´tica - UFF
Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
1 \u2264 t \u2264 n, tais que existe algum \u3b2 6= 0 em W, cuja primeira coordenada
na\u2dco-nula ocorre na coluna t.
Ale´m disso, para cada j = 1, . . . , r, existe apenas um vetor em W com
primeira coordenada na\u2dco-nula igual a 1 na coluna kj e ki\u2212e´sima coluna
nula se i \u2208 {1, . . . , r}, i 6= j. Logo, os vetores na\u2dco-nulos \u3c11, . . . , \u3c1r de R sa\u2dco
determinados de modo u´nico. \ufffd
Corola´rio 5.1
Cada matriz m × n A e´ equivalente por linhas a exatamente uma matriz
reduzida por linhas a` forma em escada.
Prova.
Sejam R e R \u2032 matrizes reduzidas por linhas a` forma em escada que sejam
equivalentes por linhas a` matriz A. Enta\u2dco, R e R \u2032 sa\u2dco equivalentes por
linhas e te\u2c6m, portanto, o mesmo espac¸o-linha. Logo, R = R \u2032. \ufffd
Corola´rio 5.2
Sejam A e B matrizes m × n sobre o corpo K. Enta\u2dco, A e B sa\u2dco equiva-
lentes por linha se, e somente se, possuem o mesmo espac¸o-linha.
Prova.
Ja´ sabemos que se A e B sa\u2dco equivalentes por linhas, enta\u2dco, possuem o
mesmo espac¸o-linha.
Suponhamos que A e B possuem o mesmo espac¸o-linha. Seja R a matriz
reduzida por linhas a` forma em escada que e´ equivalente por linhas a A, e
seja R \u2032 a matriz reduzida por linhas a` forma em escada que e´ equivalente
por linhas a B. Como o espac¸o-linha de A e´ igual ao espac¸o-linha de R e
o espac¸o-linha de B e´ igual ao espac¸o-linha de R \u2032 e o espac¸o-linha de A
e´ igual ao espac¸o-linha de B, temos que o espac¸o-linha de R e´ igual ao
espac¸o-linha de R \u2032. Logo, R = R \u2032 e A e´ equivalente por linhas a B. \ufffd
Exemplo 5.1
Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores:
\u3b11 = (1, 2, 2, 1)
\u3b12 = (0, 2, 0, 1)
\u3b13 = (\u22122, 0,\u22124, 3) .
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Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
a. Demonstrar que {\u3b11 , \u3b12 , \u3b13} e´ uma base de W.
Seja A a matriz com vetores-linha \u3b11 , \u3b12 , \u3b13. Enta\u2dco,
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 1 2 2 10 2 0 1
\u22122 0 \u22124 3
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192 R =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 0 2 00 1 0 0
0 0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192 Q = 1
6
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 6 \u22126 0\u22122 5 \u22121
4 \u22124 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
onde R e´ a matriz reduzida por linhas a` forma em escada equivalente por
linhas a A e Q e´ a matriz invert\u131´vel tal que R = QA.
Como o espac¸o-linha de A e´ igual ao espac¸o-linha de R e o posto de R e´
3, temos que o posto de A e´ 3 e, portanto, {\u3b11 , \u3b12 , \u3b13} e´ uma base de W.
b. Seja \u3b2 = (b1, b2, b3, b4) um vetor de W. Determine as coordenadas de
\u3b2 em relac¸a\u2dco a` base ordenada {\u3b11 , \u3b12 , \u3b13}.
Seja, {\u3c11 , \u3c12 , \u3c13} a base de W formada pelos vetores-linha de R. ´E fa´cil
ver que o espac¸o gerado por \u3c11 , \u3c12 e \u3c13 e´ formado pelos vetores \u3b2 para
os quais b3 = 2b1. Para um tal \u3b2, temos:
\u3b2 = b1\u3c11 + b2\u3c12 + b4\u3c14
= (b1, b2, b4)R
= (b1, b2, b4)QA
= x1\u3b11 + x2\u3b12 + x3\u3b13 ,
onde (x1, x2, x3) = (b1, b2, b4)Q, ou seja,
x1 = b1 \u2212
1
3
b2 +
2
3
b4
x2 = \u2212b1