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+
5
6
b2 \u2212
2
3
b4
x3 = \u2212
1
6
b2 +
1
3
b4 .
(1)
c. Sejam
\u3b1 \u20321 = (1, 0, 2, 0)
\u3b1 \u20322 = (0, 2, 0, 1)
\u3b1 \u20323 = (0, 0, 0, 3) .
Mostrar que \u3b1 \u20321 , \u3b1 \u20322 , \u3b1 \u20323 formam uma base de W.
J. Delgado - K. Frensel 58 Instituto de Matema´tica - UFF
Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
Como os vetores \u3b1 \u20321 , \u3b1 \u20322 , \u3b1 \u20323 sa\u2dco todos da forma (y1, y2, y3, y4), com y3 =
2y1, temos que eles pertencem a W. ´E fa´cil verificar que esses vetores
sa\u2dco LI e, portanto, formam uma base de W.
d. Determinar a matriz P de mudanc¸a da base B \u2032 = {\u3b1 \u20321 , \u3b1 \u20322 , \u3b1 \u20323} para a
base B = {\u3b11 , \u3b12 , \u3b13}.
Usando (1), temos que
x1 = 1 \u2212
1
3
(0) +
2
3
(0) = 1
x2 = \u22121 +
2
6
(0) \u2212
2
3
(0) = \u22121
x3 = \u2212
1
6
(0) +
1
3
(0) = 0 ,
sa\u2dco as coordenadas de \u3b1 \u20321 = (b1, b2, b3, b4) = (1, 0, 2, 0) na base B, ou
seja, \u3b1 \u20321 = 1\u3b11 \u2212 1\u3b12.
Analogamente, obtemos \u3b1 \u20322 = \u3b12 e \u3b1 \u20323 = 2\u3b11 \u2212 2\u3b12 + \u3b13. Logo, como
Pj = [\u3b1
\u2032
j]B e´ a j\u2212e´sima coluna da matriz de mudanc¸a de base P, temos
que
P =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 1 0 2\u22121 1 \u22122
0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8.
\u2022 Vamos agora resolver o mesmo exemplo usando a matriz B com vetores
coluna \u3b11, \u3b12 e \u3b13:
B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 \u22122
2 2 0
2 0 \u22124
1 1 3
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Para isto, determinemos Y = (y1, y2, y3, y4) de modo que o sistema
BX = Y
tenha soluc¸a\u2dco.
Como \uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 \u22122 y1
2 2 0 y2
2 0 \u22124 y3
1 1 3 y4
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 \u22122 y1
0 2 4 y2 \u2212 2y1
0 0 0 y3 \u2212 2y1
0 1 5 y4 \u2212 y1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
J. Delgado - K. Frensel 59 Instituto de Matema´tica - UFF
Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
\u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 \u22122 y1
0 0 \u22126 y2 \u2212 2y4
0 1 5 y4 \u2212 y1
0 0 0 y3 \u2212 2y1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 \u22122 y1
0 0 1 \u22121/6(y2 \u2212 2y4)
0 1 5 y4 \u2212 y1
0 0 0 y3 \u2212 2y1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 0 y1 \u2212 1/3y2 + 2/3y4
0 1 0 \u2212y1 + 5/6y2 \u2212 2/3y4
0 0 1 1/6(2y4 \u2212 y2)
0 0 0 y3 \u2212 2y1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Logo, a condic¸a\u2dco para que o sistema BX = Y admita soluc¸a\u2dco e´ y3 = 2y1.
Enta\u2dco, \u3b2 = (b1, b2, b3, b4) \u2208W se, e somente se, b3 = 2b1.
Seja
R =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 0 00 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
4×3
.
a matriz reduzida por linhas a` forma em escada equivalente por linhas a
B e seja
P =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 \u22121/3 0 2/3
\u22121 5/6 0 \u22122/3
0 \u22121/6 0 2/6
\u22122 0 1 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8
4×4
,
a matriz invert\u131´vel tal que R = PB.
Sejam \u3b2 = (b1, b2, b3, b4) \u2208 W e x1, x2, x3 as coordenadas de \u3b2 na base
{\u3b11 , \u3b12 , \u3b13}, isto e´,
\u3b2 = x1\u3b11 + x2\u3b12 + x3\u3b13 .
Logo, BX = Y, onde X =
(
x1
x2
x3
)
e Y =
\uf8eb\uf8edb1b2
b3
b4
\uf8f6\uf8f8
.
Como RX = PBX = PY, temos que
x1 = b1 \u2212
1
3
b2 +
2
3
b4
x2 = \u2212b1 +
5
6
b2 \u2212
2
3
b4
x3 = \u2212
1
6
b2 +
2
6
b4 .
\ufffd
J. Delgado - K. Frensel 59 Instituto de Matema´tica - UFF
Equivale\u2c6ncia por Linhas \u2013 resumo
J. Delgado - K. Frensel 60 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸o\u2dces Lineares
1. Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
Definic¸a\u2dco 1.1
Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo K. Uma transformac¸a\u2dco
linear de V em W e´ uma func¸a\u2dco T : V \u2212\u2192W tal que:
T(v+w) = T(v) + T(w) , \u2200v,w \u2208 V ,
T(\u3bb v) = \u3bb T(v) , \u2200v \u2208 V , \u3bb \u2208 K .
Observac¸a\u2dco 1.1
a. T(\u3bb1v1 + . . . + \u3bbnvn) = \u3bb1T(v1) + . . . + \u3bbnT(vn), \u2200v1, . . . , vn \u2208 V e
\u3bb1, . . . , \u3bbn \u2208 K.
b. T(0) = 0 (com efeito, T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) =\u21d2 T(0) = 0).
Exemplo 1.1
Seja A uma matriz m× n sobre o corpo K. Enta\u2dco,
T : Kn×1 \u2212\u2192 Km×1
X 7\u2212\u2192 AX e T : Km \u2212\u2192 KnX 7\u2212\u2192 XA = (AtXt)t ,
sa\u2dco transformac¸o\u2dces lineares \ufffd
Notac¸a\u2dco ...
A matriz transposta da matriz
A, designada At, e´ a matriz
cujas linhas sa\u2dco as
respectivas colunas de A.
Observac¸a\u2dco 1.2
Toda transformac¸a\u2dco linear T : Kn×1 \u2212\u2192 Km×1 e´ da forma acima.
De fato, sejam {e1, . . . , en} a base cano\u2c6nica de Kn×1, {e1, . . . , em} a base
cano\u2c6nica de Km×1 e Aij \u2208 K, i = 1, . . .m, j = 1, . . . n, tais que
61
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
T(ej) =
m\u2211
i=1
Aijei .
Enta\u2dco,
T(X) = T
(x1
.
.
.
xn
)
= T(x1e1 + . . .+ xnen)
=
n\u2211
j=1
xj T(ej) =
n\u2211
j=1
m\u2211
i=1
xjAijei =
m\u2211
i=1
(
n\u2211
j=1
Aijxj
)
ei
= AX .
Verifique ...
Que o conjunto C([a, b];R)
das func¸o\u2dces cont\u131´nuas do
intervalo [a, b] em R e´ um
subespac¸o do espac¸o vetorial
real F([a, b],R) que consiste
de todas as func¸o\u2dces do
intervalo [a, b] sobre R.
Exemplo 1.2
Seja V = C([a, b];R) o espac¸o vetorial real das func¸o\u2dces cont\u131´nuas de [a, b]
em R. Enta\u2dco, a transformac¸a\u2dco T : V \u2212\u2192 V definida por:
T : V \u2212\u2192 V
f 7\u2212\u2192 T(f) = Tf onde
Tf : [a, b] \u2212\u2192 R
x 7\u2212\u2192 Tf(x) = \u222bx
a
f(s)ds ,
e´ linear. \ufffd
Exemplo 1.3
Seja V o espac¸o vetorial dos polino\u2c6mios com coeficientes no corpo K.
Enta\u2dco, a transformac¸a\u2dco derivac¸a\u2dco T : V \u2212\u2192 V definida por f 7\u2212\u2192 Df:
(Df)(x) = c1 + 2 c2x+ . . .+ ncnx
n\u22121
,
onde f(x) = c0 + c1x+ . . . cnxn, e´ linear. \ufffd
Teorema 1.1
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo K e seja
{v1, . . . , vn} uma base de V . Seja W um espac¸o vetorial sobre K e sejam
w1, . . . , wn vetores em W. Enta\u2dco, existe uma u´nica transformac¸a\u2dco linear
L : V \u2212\u2192W, tal que L(vi) = wi, para todo i = 1, . . . , n.
Prova.
Unicidade.
Sejam L, T : V \u2212\u2192W transformac¸o\u2dces lineares tais que L(vi) = T(vi) = wi,
para todo i = 1, . . . , n.
Seja v \u2208 V um vetor arbitra´rio. Como {v1, . . . , vn} e´ uma base de V , exis-
tem escalares u´nicos \u3bb1, . . . , \u3bbn \u2208 K, tais que v = \u3bb1v1, . . . , \u3bbnvn.
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Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
Logo, usando a linearidade de T e L, obtemos
T(v) = T
(
n\u2211
i=1
\u3bbivi
)
=
\u2211n
i=1 \u3bbiT(vi) =
\u2211n
i=1 \u3bbiL(vi) = L
(
n\u2211
i=1
\u3bbivi
)
= L(v) .
Existe\u2c6ncia.
Seja v = x1v1+. . .+xnvn \u2208 V um vetor arbitra´rio. Definimos a transformac¸a\u2dco
L : V \u2212\u2192W por
L(v) = x1w1 + . . .+ xnwn .
Afirmac¸a\u2dco: L e´ linear.
Sejam v = x1v1+ . . .+ xnvn e w = y1v1+ . . .+ynvn vetores de V e \u3bb \u2208 K.
Enta\u2dco, \u3bbv+w = (\u3bbx1 + y1)v1 + . . .+ (\u3bbxn + yn)vn \u2208 V e
L(\u3bbv+w) = (\u3bbx1 + y1)w1 + . . .+ (\u3bbxn + yn)wn
= \u3bbx1w1 + y1w1 + . . .+ \u3bbxnwn + ynwn
= \u3bb(x1w1 + . . .+ xnwn) + (y1w1 + . . .+ ynwn)
= \u3bbL(v) + L(w) .
ou seja, L e´ linear.
Ale´m disso, L(vi) = wi pela pro´pria definic¸a\u2dco de L. \ufffd
Definic¸a\u2dco 1.2
Seja L : V \u2212\u2192W uma transformac¸a\u2dco linear.
\u2022 L(V) = {w \u2208W | \u2203 v \u2208 V ; L(v) = w} e´ chamado imagem de L.
\u2022 L\u22121(0) = {v \u2208 V |L(v) = 0} e´ chamado nu´cleo de L.
Observac¸a\u2dco 1.3
\u2022 L(V) e´ um subespac¸o de W.
Sejam \u3bb \u2208 K e w1, w2 \u2208 L(V) \u2282W.
Enta\u2dco, existem v1, v2 \u2208 V tais que L(v1) = w1 e L(v2) = w2.
Logo,
L(\u3bbv1 + v2) = \u3bbL(v1) + L(v2) = \u3bbw1 +w2 ,
ou seja, \u3bbw1 +w2 \u2208 L(V).
\u2022 L\u22121(0) e´ um subespac¸o de V .
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Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
Sejam \u3bb \u2208 K e v1, v2 \u2208 L\u22121(0).
Enta\u2dco, L(v1) = L(v2) = 0 e L(\u3bbv1 + v2) = \u3bbL(v1) + L(v2) = 0, ou seja,
\u3bbv1 + v2 \u2208 L\u22121(0).
Lembre que ...
\u2022 Em geral, uma func¸a\u2dco e´ dita
injetiva se transforma
elementos distintos em
elementos distintos.
\u2022 Os termos injetora, injetiva e
monomorfismo sa\u2dco sino\u2c6nimos.
Proposic¸a\u2dco 1.1
Uma transformac¸a\u2dco linear L : V \u2212\u2192 W e´ injetora se, e somente se,
L\u22121(0) = {0}.
Prova.
(=\u21d2) Suponhamos L injetora.
Seja v \u2208 V . Enta\u2dco, v \u2208 L\u22121(0) se, e somente se, L(v) = 0 = L(0) se, e
somente se, v = 0. Logo, L\u22121(0) = {0}.
(\u21d0=) Suponhamos que L\u22121(0) = {0}.
Se L(v) = L(w), temos L(v \u2212 w) = L(v) \u2212 L(w) = 0, ou seja, v \u2212 w \u2208
L\u22121(0) = {0}. Logo, v\u2212w = 0, ou seja, v = w. \ufffd
Definic¸a\u2dco 1.3
Seja L : V \u2212\u2192 W uma transformac¸a\u2dco linear. Se V tem dimensa\u2dco finita,
dimL(V) e´ o posto de L, e dimL\u22121{0} e´ a nulidade de L.
Teorema 1.2
Seja L : V \u2212\u2192 W uma transformac¸a\u2dco linear. Se V e´ um espac¸o vetorial
de dimensa\u2dco finita, enta\u2dco L(V) e´ de dimensa\u2dco finita e
dimV = dim(L\u22121(0)) + dim(L(V)) .
Prova.
Caso I. L\u22121(0) = {0}.
Seja {v1, . . . , vn} base de V . Vamos mostrar que {L(v1), . . . , L(vn)} e´ uma
base de L(V).