Introdução à Álgebra Linear.pdf
362 pág.

Introdução à Álgebra Linear.pdf


DisciplinaÁlgebra Linear I19.361 materiais281.638 seguidores
Pré-visualização50 páginas
1. {L(v1), . . . , L(vn)} e´ LI.
Com efeito, temos
J. Delgado - K. Frensel 64 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
\u3bb1L(v1) + . . .+ \u3bbnL(vn) = 0
=\u21d2 L(\u3bb1v1 + . . .+ \u3bbnvn) = 0
=\u21d2 \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbnvn = 0
=\u21d2 \u3bb1 = . . . = \u3bbn = 0 .
2. {L(v1), . . . , L(vn)} gera L(V).
Sejam v \u2208 L(V) e u = \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbnvn \u2208 V tal que L(u) = v. Enta\u2dco,
v = L(u) = L(\u3bb1v1 + . . .+ \u3bbnvn) = \u3bb1L(v1) + . . .+ \u3bbnL(vn).
Caso II. L\u22121(0) 6= {0}.
\u2022 Seja {v1, . . . , vn} uma base de V e seja w \u2208 L(V).
Enta\u2dco existe v = \u3bb1v1 + . . . + \u3bbnvn \u2208 V tal que L(v) = w, ou seja w =
\u3bb1L(v1) + . . .+ \u3bbnL(vn).
Logo, {L(v1), . . . , L(vn)} gera o espac¸o L(V), que tem, portanto, dimensa\u2dco
finita.
\u2022 Sejam {u1, . . . , uk} base de L\u22121(0) e {w1 = L(v1), . . . , wm = L(vm)} base
de L(V).
Afirmac¸a\u2dco. {u1, . . . , uk, v1, . . . , vm} e´ uma base de V .
1. Vejamos primeiro que o conjunto e´ LI.
Sejam \u3bb1, . . . , \u3bbk, µ1, . . . , µm \u2208 K tais que
\u3bb1u1 + . . .+ \u3bbkuk + µ1v1 + . . .+ µmvm = 0.
Enta\u2dco,
L(\u3bb1u1 + . . .+ \u3bbkuk + µ1v1 + . . .+ µmvm) = 0
=\u21d2 \u3bb1L(u1) + . . .+ \u3bbkL(uk) + µ1L(v1) + . . .+ µmL(vm) = 0
=\u21d2 \u3bb10 + . . .+ \u3bbk0 + µ1w1 + . . .+ µmwm = 0
=\u21d2 µ1w1 + . . .+ µmwm = 0
=\u21d2 µ1 = . . . = µm = 0
=\u21d2 \u3bb1u1 + . . .+ \u3bbkuk = 0
=\u21d2 \u3bb1 = . . . = \u3bbk = 0 .
2. Vejamos agora que o conjunto gera V .
Seja v \u2208 V . Como L(v) \u2208 L(V), existem µ1, . . . , µm \u2208 K tais que
L(v) = µ1w1 + . . .+ µmwm .
Logo,
J. Delgado - K. Frensel 65 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
L
(
v\u2212
m\u2211
j=1
µjvj
)
= L(v) \u2212
m\u2211
j=1
µjL(vj) = L(v) \u2212
m\u2211
j=1
µjwj = 0 ,
ou seja, v\u2212
m\u2211
j=1
µjvj \u2208 L\u22121(0). Enta\u2dco, existem \u3bb1, . . . , \u3bbk \u2208 K tais que
v\u2212
m\u2211
j=1
µjvj =
k\u2211
i=1
\u3bbiui ,
isto e´,
v = \u3bb1u1 + . . .+ \u3bbkuk + µ1v1 + . . .+ µmvm .
Portanto, {u1, . . . , uk, v1, . . . , vm} e´ uma base de V e
dimV = k+m = dimL\u22121(0) + dimL(V) .
Como quer\u131´amos demonstrar. \ufffd
Teorema 1.3
Seja A uma matriz m× n com entradas no corpo K. Enta\u2dco,
posto-linha(A) =posto-coluna(A).
Prova.
Seja a transformac¸a\u2dco linear
T : Kn×1 \u2212\u2192 Km×1
X 7\u2212\u2192 AX .
Como para todo X =
(x1
.
.
.
xn
)
\u2208 Kn×1, vale AX = x1A1 + . . . + xnAn, onde
A1, . . . , An sa\u2dco as colunas de A, temos que o espac¸o-coluna de A e´ a
imagem da transformac¸a\u2dco T . Portanto, posto-coluna(A) =posto(T).
Como X \u2208 T\u22121(0) se, e somente se, T(X) = AX = 0, temos que T\u22121(0) e´
o espac¸o soluc¸a\u2dco S do sistema homoge\u2c6neo AX = 0.
Pelo teorema anterior, temos que
dimS + posto-coluna(A) = n . (1)
Ja´ provamos tambe´m que se r e´ a dimensa\u2dco do espac¸o-linha de A, enta\u2dco
n\u2212 r e´ a dimensa\u2dco do espac¸o soluc¸a\u2dco S.
Logo,
dimS + posto-linha(A) = n . (2)
J. Delgado - K. Frensel 66 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
De (1) e (2), obtemos que
posto-linha(A) =posto-coluna(A).
\ufffd
Definic¸a\u2dco 1.4
Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo K, T e L transformac¸o\u2dces
lineares de V em W e c \u2208 K. Definimos as transformac¸o\u2dces L + T e cL de
V em W, da seguinte maneira:
(L+ T)(v) = L(v) + T(v) ,
(cL)(v) = c L(v) ,
\u2200v \u2208 V .
Proposic¸a\u2dco 1.2
As transformac¸o\u2dces L+ T e cL sa\u2dco lineares.
Prova.
Sejam u, v \u2208 V e \u3bb \u2208 K. Enta\u2dco:
\u2022 (L+ T)(\u3bbu+ v) = L(\u3bbu+ v) + T(\u3bbu+ v)
= \u3bbL(u) + L(v) + \u3bbT(u) + T(v)
= \u3bb(L(u) + T(u)) + L(v) + T(v)
= \u3bb(L+ T)(u)) + (L+ T)(v)
e
\u2022 (cL)(\u3bbu+ v) = c(L(\u3bbu+ v))
= c(\u3bbL(u) + L(v))
= c\u3bbL(u) + cL(v)
= \u3bb(cL(u)) + cL(v)
= \u3bb(cL)(u) + (cL)(v) .
Como quer\u131´amos demonstrar. \ufffd
Definic¸a\u2dco 1.5
Se V e W sa\u2dco espac¸os vetoriais, designamos por L(V,W) o conjunto cujos
elementos sa\u2dco todas as transformac¸o\u2dces lineares de V em W:
L(V,W) = {L : V \u2212\u2192W |L e´ transformac¸a\u2dco linear}.
J. Delgado - K. Frensel 67 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
Teorema 1.4
Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo K. O conjunto L(V,W) com
as operac¸o\u2dces de adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco por escalares definidas acima e´
um espac¸o vetorial sobre K.
Prova.
Atividade. \ufffd
Teorema 1.5
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco n sobre o corpo K e W um
espac¸o vetorial de dimensa\u2dco m sobre o corpo K. Enta\u2dco, o espac¸o L(V,W)
tem dimensa\u2dco finita igual a mn.
Prova.
Sejam B = {v1, . . . , vn} e B \u2032 = {w1, . . . , wm} bases ordenadas de V e W,
respectivamente.
Para cada i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, seja Lij \u2208 L(V,W) tal que{
Lij(vj) = wi
Lij(vk) = 0 se k 6= j ,
=\u21d2 Lij(vk) = \u3b4jkwi .
Vamos mostrar que {Lij | i = 1, . . .m e j = 1, . . . , n} e´ uma base de L(V,W).
Seja L : V \u2212\u2192W uma transformac¸a\u2dco linear e sejam Aij \u2208 K tais que,
L(vj) =
m\u2211
i=1
Aijwi , 1 \u2264 j \u2264 n
\u2022 Verifiquemos que L =
n\u2211
j=1
m\u2211
i=1
AijLij.
Seja U =
n\u2211
j=1
m\u2211
i=1
AijLij. Enta\u2dco,
U(vk) =
n\u2211
j=1
m\u2211
i=1
AijLij(vk)
=
m\u2211
i=1
n\u2211
j=1
AijLij(vk)
=
m\u2211
i=1
Aikwi
= L(vk) .
J. Delgado - K. Frensel 68 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
Logo, U = L e, portanto, {Lij | i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n} gera L(V,W).
\u2022 Vejamos agora que {Lij | i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n} e´ LI. \u2190\u2212Ao lado ...
Estamos designando O a
transformac¸a\u2dco linear nula, ou
seja, O : V \u2212\u2192W e´ dada por
O(v) = 0, \u2200v \u2208 V .
Se
n\u2211
j=1
m\u2211
i=1
AijLij = O, enta\u2dco
n\u2211
j=1
m\u2211
i=1
AijLij(vk) = 0 \u2200k \u2208 {1, . . . , n}
=\u21d2 m\u2211
i=1
n\u2211
j=1
AijLij(vk) =
\u2211m
i=1Aikwi = 0 \u2200k \u2208 {1, . . . , n}
=\u21d2 Aik = 0 \u2200k \u2208 {1, . . . , n} e \u2200i \u2208 {1, . . . ,m} .
Mostrando o desejado. \ufffd
Notac¸a\u2dco ...
A composta T \u25e6 L de duas
transformac¸o\u2dces lineares
costuma ser escrita tambe´m
usando a notac¸a\u2dco de
justaposic¸a\u2dco TL.
Proposic¸a\u2dco 1.3
Sejam V , W, Z espac¸os vetoriais sobre o corpo K, e L : V \u2212\u2192 W, T :
W \u2212\u2192 Z transformac¸o\u2dces lineares.
Enta\u2dco, a func¸a\u2dco composta T \u25e6 L : V \u2212\u2192 Z e´ linear, onde
T \u25e6 L(v) = T(L(v)) , \u2200v \u2208 V .
Prova.
Sejam v,w \u2208 V e \u3bb \u2208 K. Enta\u2dco,
(T \u25e6 L)(\u3bbv+w) = T(L(\u3bbv+w))
= T(\u3bbL(v) + L(w))
= \u3bbT(L(v)) + T(L(w))
= \u3bb(T \u25e6 L)(v) + (T \u25e6 L)(w) .
Logo, T \u25e6 L e´ uma transformac¸a\u2dco linear. \ufffd
Exemplo 1.4
Sejam A uma matriz m×n com entradas no corpoK e B uma matriz p×m
com entradas em K.
Consideremos as transformac¸o\u2dces lineares T : Kn×1 \u2212\u2192 Km×1 e
U : Km×1 \u2212\u2192 Kp×1, dadas por T(X) = AX e U(Y) = BY.
Enta\u2dco, U \u25e6 T : Kn×1 \u2212\u2192 Kp×1 e´ dada por
(U \u25e6 T)(X) = U(T(X)) = U(AX) = BAX .
Logo, U \u25e6 T e´ a multiplicac¸a\u2dco a` esquerda pela matriz produto BA. \ufffd
J. Delgado - K. Frensel 69 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco Linear - noc¸o\u2dces ba´sicas
Definic¸a\u2dco 1.6
Se V e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo K, um operador linear sobre V
e´ uma transformac¸a\u2dco linear de V em V .
Observac¸a\u2dco 1.4
\u2022 Se U, T \u2208 L(V,V) enta\u2dco U \u25e6 T \u2208 L(V,V). Assim, o espac¸o possui uma
multiplicac¸a\u2dco definida sobre si por meio da composic¸a\u2dco.
\u2022 Se T \u2208 L(V,V), usaremos a notac¸a\u2dco T 0 = I e Tn = T \u25e6 . . . \u25e6 T (n vezes),
para n = 1, 2, 3, . . ..
\u2022 A operac¸a\u2dco de composic¸a\u2dco na\u2dco e´ comutativa, isto e´, nem sempre L\u25e6T =
T \u25e6 L.
Exemplo 1.5
Seja V o espac¸o dos polino\u2c6mios com coeficientes em K e sejam D e M
os operadores:
D : V \u2212\u2192 V
p(x) = c0 + c1x+ . . .+ cnx
n 7\u2212\u2192 D(p)(x) = c1 + 2c2x+ . . .+ ncnxn\u22121 ,
e
M : V \u2212\u2192 V
p(x) = c0 + c1x+ . . .+ cnx
n 7\u2212\u2192M(p)(x) = xp(x) = c0x+ c1x2 + . . .+ cnxn+1 .
Enta\u2dco,
(DM)(p)(x) = D(M(p))(x) = D(q(x)) ,
onde q(x) = c0x+ c1x2 + . . .+ cnxn+1.
Logo,
(DM)(p)(x) = c0 + 2c1x+ . . .+ (n+ 1)cnx
n
,
De modo ana´logo, obtemos
(MD)(p)(x) = M(D(p))(x) = c1x+ 2c2x
2 + . . .+ ncnx
n
.
Logo, DM\u2212MD = I 6= O. \ufffd
Proposic¸a\u2dco 1.4
Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo K, U, T1 e T2 operadores line-
ares sobre V e \u3bb \u2208 K. Enta\u2dco,
a. IU = UI = U ;
b. U(T1 + T2) = UT1 +UT2 ; (T1 + T2)U = T1U+ T2U ;
J. Delgado - K. Frensel 70 Instituto de Matema´tica - UFF
Transformac¸a\u2dco