Introdução à Álgebra Linear.pdf
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V um espac¸o vetorial sobre o corpo K. Um funcional linear sobre V
e´ uma transformac¸a\u2dco linear f : V \u2212\u2192 K.
Exemplo 2.1
Seja f : Kn \u2212\u2192 K um funcional linear. Enta\u2dco,
f(x1, . . . , xn) = f
(
n\u2211
i=1
xiei
)
=
n\u2211
i=1
xif(ei) ,
onde {e1, . . . , en} e´ a base cano\u2c6nica de Kn. Todo funcional linear sobre Kn
e´ da forma:
f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . .+ anxn ,
onde ai \u2208 K, i = 1, . . . , n, e [a1, . . . , an] e´ a matriz de f em relac¸a\u2dco a` base
cano\u2c6nica de Kn e a` base {1} de K. \ufffd
Exemplo 2.2
Seja A uma matriz n× n sobre o corpo K. O trac¸o de A e´ o escalar
Tr A = A11 +A22 + . . .+Ann .
A func¸a\u2dco trac¸o
Tr : Kn×n \u2212\u2192 K
A 7\u2212\u2192 Tr A ,
e´ um funcional linear, pois
Tr (\u3bbA+ B) =
n\u2211
i=1
(\u3bbA+ B)ii = \u3bb
n\u2211
i=1
Aii +
n\u2211
i=1
Bii = \u3bb Tr A+ Tr B .
\ufffd
Exemplo 2.3
Seja C([a, b],R) o espac¸o das func¸o\u2dces cont\u131´nuas definidas no intervalo
[a, b] com valores reais. Enta\u2dco,
I : C([a, b],R) \u2212\u2192 R
f 7\u2212\u2192 \u222bb
a
f(x)dx .
e´ um funcional linear. \ufffd
J. Delgado - K. Frensel 83 Instituto de Matema´tica - UFF
Funcionais Lineares
Definic¸a\u2dco 2.2
O espac¸o L(V,K) de todos os funcionais lineares sobre V e´ chamado de
espac¸o dual de V e se designa por V?.
Sabemos que se V tem dimensa\u2dco finita, enta\u2dco V? tambe´m e´, e temos
dimV? = dimV .
Teorema 2.1
Seja V um espac¸o vetorial sobre K e seja B = {v1, . . . , vn} uma base de V .
Enta\u2dco, existe uma u´nica base B? = {f1, . . . , fn} de V? tal que fi(vj) = \u3b4ij,
\u2200 i, j = 1, . . . , n.
Para cada funcional linear f \u2208 V?, temos
f =
n\u2211
i=1
f(vi) fi ,
e para todo v \u2208 V , temos
v =
n\u2211
i=1
fi(v) vi .
Prova.
Dada a base B = {v1, . . . , vn}, sejam fi : V \u2212\u2192 K, i = 1, . . . , n, os fun-
cionais lineares que satisfazem
fi(vj) = \u3b4ij, \u2200 j = 1, . . . , n.
Para mostrar que B? = {f1, . . . , fn} e´ uma base de V?, basta mostrar que
os funcionais f1, . . . , fn sa\u2dco LI.
De fato, suponhamos que
Ao lado ...
Estamos designando O o
funcional linear zero definido
por: O(v) = 0 , \u2200 v \u2208 V .
n\u2211
i=1
cifi = O .
Enta\u2dco,
0 =
n\u2211
i=1
cifi(vj) =
n\u2211
i=1
ci\u3b4ij = cj , \u2200 j = 1, . . . , n .
Logo, B? = {f1, . . . , fn} e´ uma base de V?.
Seja, agora, f \u2208 V?. Enta\u2dco, existem c1, . . . , cn \u2208 K, tais que
f =
n\u2211
i=1
cifi .
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Funcionais Lineares
Como f(vj) =
n\u2211
i=1
cifi(vj) = cj , \u2200 j = 1, . . . , n, temos que
f =
n\u2211
i=1
f(vi) fi .
Seja v \u2208 V . Enta\u2dco, existem \u3bb1, . . . , \u3bbn \u2208 K, tais que v =
n\u2211
i=1
\u3bbivi.
Como fi(v) = \u3bbi, temos que v =
\u2211
i=1
fi(v)vi. \ufffd
Definic¸a\u2dco 2.3
A base B? = {f1, . . . , fn} de V? e´ dita dual da base B = {v1, . . . , vn} de V .
Exemplo 2.4
Seja V o espac¸o das func¸o\u2dces polinomiais de R em R de grau \u2264 2. Sejam
t1, t2, t3 tre\u2c6s nu´meros reais distintos e L1, L2, L3 os funcionais lineares
sobre V definidos por Li(p) = p(ti), \u2200p \u2208 V .
Esses funcionais sa\u2dco LI, pois se
c1L1 + c2L2 + c3L3 = O,
temos que ciL1(p) + c2L2(p) + c3L3(p) = 0 , \u2200p \u2208 V .
Fazendo p = 1, p = x e p = x2, temos que:
c1 +c2 +c3 = 0
c1t1 +c2t2 +c3t3 = 0
c1t
2
1 +c2t
2
2 +c3t
2
3 = 0 .
(1)
Como\uf8eb\uf8ec\uf8ed 1 1 1t1 t2 t3
t21 t
2
2 t
2
3
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 1 10 t2 \u2212 t1 t3 \u2212 t1
0 t22 \u2212 t
2
1 t
2
3 \u2212 t
2
1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1
0 1 t3\u2212t1
t2\u2212t1
0 t2 + t1
t23\u2212t
2
1
t2\u2212t1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0
t2\u2212t1\u2212(t3\u2212t1)
t2\u2212t1
0 1 t3\u2212t1
t2\u2212t1
0 t2 + t1
t23\u2212t
2
1
t2\u2212t1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 t2\u2212t3
t2\u2212t1
0 1 t3\u2212t1
t2\u2212t1
0 0
(t3\u2212t1)(t3\u2212t2)
t2\u2212t1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2212\u2192
\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
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Funcionais Lineares
temos que a matriz
(
1 1 1
t1 t2 t3
t21 t
2
2 t
2
3
)
e´ invert\u131´vel.
Logo, o sistema (1) possui somente a soluc¸a\u2dco trivial c1 = c2 = c3 = 0.
Como dimV? = dimV = 3 o conjunto LI {L1, L2, L3} e´ uma base de V?.
Qual e´ a base {p1, p2, p3} de V cuja base dual e´ {L1, L2, L3}?
Tal base deve satisfazer
Li(pj) = pj(ti) = \u3b4ij , \u2200 i, j = 1, . . . , n .
Essas func¸o\u2dces polinomiais sa\u2dco dadas por:
p1(x) =
(x\u2212 t2)(x\u2212 t3)
(t1 \u2212 t2)(t1 \u2212 t3)
p2(x) =
(x\u2212 t1)(x\u2212 t3)
(t2 \u2212 t1)(t2 \u2212 t3)
p3(x) =
(x\u2212 t1)(x\u2212 t2)
(t3 \u2212 t1)(t3 \u2212 t2)
.
Assim, para todo p \u2208 V , temos que
p = L1(p)p1 + L2(p)p2 + L3(p)p3 ,
ou seja,
p = p(t1)p1 + p(t2)p2 + p(t3)p3 .
Portanto, se c1, c2, c3 sa\u2dco nu´meros reais arbitra´rios, existe uma u´nica
func¸a\u2dco polinomial p sobre R, de grau \u2264 2, tal que p(ti) = ci, i = 1, 2, 3.
Essa func¸a\u2dco polinomial e´
p = c1p1 + c2p2 + c3p3 .
\ufffd
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco n e seja f : V \u2212\u2192 K um
funcional linear na\u2dco-nulo. Enta\u2dco, o nu´cleo de f tem dimensa\u2dco n \u2212 1, pois
o posto de f e´ 1.
Definic¸a\u2dco 2.4
Todo subespac¸o de dimensa\u2dco n \u2212 1 de um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco
n e´ chamado um hiperplano ou um subespac¸o de codimensa\u2dco 1.
Observac¸a\u2dco 2.1
Todo subespac¸o W de codimensa\u2dco 1 de um espac¸o vetorial V de di-
mensa\u2dco n e´ o nu´cleo de um funcional linear na\u2dco-nulo.
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De fato, seja {v1, . . . , vn\u22121} base de W e vn \u2208 V tal que {v1, . . . , vn\u22121, vn}
seja uma base de V .
Seja f : V \u2212\u2192 K o funcional linear dado por
f(vi) =
{
0 , se i 6= n
1 , se i = n .
Enta\u2dco, f e´ um funcional linear na\u2dco-nulo e v = \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbn\u22121vn\u22121 + \u3bbnvn
pertence ao nu´cleo de f se, e somente se,
f(v) = \u3bbn = 0 .
Ou seja, v pertence ao nu´cleo de f se, e so´ se, v = \u3bb1v1+ . . .+ \u3bbnvn \u2208W.
Definic¸a\u2dco 2.5
Seja S \u2282 V um subconjunto do espac¸o vetorial V .
O anulador de S e´ o conjunto S0 de todos os funcionais lineares f \u2208 V?
tais que f(v) = 0, \u2200 v \u2208 S.
Ou seja,
S0 = {f \u2208 V? | f(v) = 0 , \u2200 v \u2208 S}.
Observac¸a\u2dco 2.2
\u2022 S0 e´ um subespac¸o vetorial de V (verifique!).
\u2022 Se S = {0}, enta\u2dco S0 = V .
\u2022 Se S = V , enta\u2dco S0 = {O}, onde O : V \u2212\u2192 K e´ o funcional linear nulo.
Teorema 2.2
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita e seja W um subespac¸o de
V . Enta\u2dco,
dimW + dimW0 = dimV .
Prova.
Seja {v1, . . . , vk} uma base de W e sejam vk+1, . . . , vn vetores em V tais
que B = {v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn} seja uma base de V .
Seja {f1, . . . , fn} a base de V? dual da base B.
Vamos mostrar que {fk+1, . . . , fn} e´ uma base de W0.
Como fj(v) = 0, j \u2265 k+1, para todo v \u2208W, temos que fj \u2208W0, \u2200 j \u2265 k+1.
J. Delgado - K. Frensel 87 Instituto de Matema´tica - UFF
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Sendo que os funcionais lineares fk+1, . . . , fn sa\u2dco LI, basta mostrar que
{fk+1, . . . , fn} gera W0.
Seja f \u2208 V?. Enta\u2dco,
f =
n\u2211
i=1
f(vi)fi .
Logo, se f \u2208W0, temos que f(vi) = 0, para i = 1, . . . , k. Portanto,
f =
n\u2211
i=k+1
f(vi)fi .
Como quer\u131´amos demonstrar. \ufffd
Corola´rio 2.1
Todo subepac¸o vetorial W de dimensa\u2dco k de um espac¸o vetorial V de
dimensa\u2dco n e´ a intersec¸a\u2dco de n\u2212 k hiperplanos de V .
Prova.
Sejam fk+1, . . . , fn os funcionais lineares acima. Enta\u2dco W \u2282
n\u22c2
j=k+1
Nfj ,
onde Nfj = f\u22121j (0) e´ o nu´cleo de fj.
Se v \u2208
n\u22c2
j=k+1
Nfj , temos que fj(v) = 0, para todo j = k+ 1, . . . , n, isto e´, se
v = \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbnvn, enta\u2dco \u3bbj = 0, para j = k+ 1, . . . , n.
Logo, v = \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbkvk \u2208W.
Assim, W =
n\u22c2
j=k+1
Nfj = {v \u2208 V ; fj(v) = 0 , \u2200 j = k+ 1, . . . , n}. \ufffd
Corola´rio 2.2
Sejam W1, W2 subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco
finita.
Enta\u2dco W1 = W2 se, e somente se, W01 = W02 .
Prova.
(=\u21d2) o´bvio.
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(\u21d0=)Suponhamos que existe v \u2208 W1 tal que v 6\u2208 W2. Seja {v1, . . . , vk}
uma base de W2.
Como v 6\u2208W2, temos que {v1, . . . , vk, v} e´ LI.
Seja vk+1 = v, e sejam vk+1, . . . , vn \u2208 V tais que {v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn} e´
uma base de V .
Seja f : V \u2212\u2192 K um funcional