Introdução à Álgebra Linear.pdf
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Frensel 117 Instituto de Matema´tica - UFF
Decomposic¸a\u2dco de um polino\u2c6mio em fatores primos
Multiplicando essa igualdade por g, obtemos que g = h · f · g + ` · p · g.
Como p divide f ·g, temos que p divide h · f ·g. Ale´m disso, p divide ` ·p ·g.
Logo, p divide g. \ufffd
Corola´rio 4.1
Se p e´ um polino\u2c6mio primo que divide o produto f1 · . . . · fn, enta\u2dco p divide
um dos polino\u2c6mios f1, . . . , fn.
Prova.
Faremos a demonstrac¸a\u2dco por induc¸a\u2dco sobre n.
Pelo teorema anterior, o resultado e´ va´lido para n = 2.
Suponhamos que o resultado seja va´lido para n = k e que p divide f1 · . . . ·
fk+1 .
Como p divide f1 · . . . · fk · fk+1 temos, pelo teorema anterior, que p divide
fk+1 ou p divide f1 · . . . · fk.
Isto e´, p divide fk+1 ou, pela hipo´tese de induc¸a\u2dco, p divide fj, para algum
j = 1, . . . , k.
Assim, em qualquer caso, f divide algum fj, j = 1, . . . , k+ 1. \ufffd
Teorema 4.2
Todo polino\u2c6mio f \u2208 K[x] unita´rio e na\u2dco-constante pode ser decomposto
como um produto de polino\u2c6mios primos em K[x] de uma u´nica maneira, a
menos da ordem dos fatores.
Prova.
Provaremos o resultado por induc¸a\u2dco sobre o grau de f.
Se grau(f) = 1, enta\u2dco f e´ irredut\u131´vel e, portanto, primo.
Suponhamos que o teorema seja va´lido para polino\u2c6mios de grau < n e
que grau f = n+ 1.
Se f e´ primo, enta\u2dco nada temos a provar.
Se f na\u2dco e´ primo, isto e´, f e´ redut\u131´vel, existem polino\u2c6mios g, h \u2208 K[x]
na\u2dco-constantes e unita´rios, tais que f = g · h.
Como grau(g) < n e grau(h) < n, temos, por hipo´tese de induc¸a\u2dco, que g e
h podem ser decompostos como produtos de polino\u2c6mios primos unita´rios
J. Delgado - K. Frensel 118 Instituto de Matema´tica - UFF
Decomposic¸a\u2dco de um polino\u2c6mio em fatores primos
em K[x]. Logo, f tambe´m pode ser decomposto como um produto de
polino\u2c6mios primos.
Suponhamos agora, que
f = p1 · . . . · pm = q1 · . . . · qn ,
onde p1, . . . , pm, q1, . . . , qn \u2208 K[x] sa\u2dco polino\u2c6mios primos unita´rios.
Se m = 1 ou n = 1, enta\u2dco m = n = 1.
Suponhamos enta\u2dco que m > 1 e n > 1.
Como p1 divide q1 · . . . · qn, temos que p1 divide algum qj, j = 1, . . . , n.
Sendo p1 e qj primos unita´rios, temos que p1 = qj.
Reordenando os polino\u2c6mios qi, caso seja necessa´rio, podemos supor que
p1 = q1.
Logo,
p1 · p2 · . . . · pm = p1 · q2 · . . . · qn ,
e, portanto, p2 · . . . · pm = q2 · . . . · qn.
O teorema se segue agora pela hipo´tese de induc¸a\u2dco, pois esse polino\u2c6mio
tem grau menor que grau(f). \ufffd
Observac¸a\u2dco 4.1
Na decomposic¸a\u2dco de um polino\u2c6mio unita´rio na\u2dco-constante em produto
de fatores primos unita´rios, alguns fatores podem repetir-se. Assim, se
p1, . . . , pr sa\u2dco os fatores primos unita´rios distintos que ocorrem na de-
composic¸a\u2dco de um polino\u2c6mio unita´rio na\u2dco-constante f, enta\u2dco
f = pn11 · . . . · pnrr ,
sendo o expoente ni o nu´mero de vezes que o fator primo pi ocorre nessa
decomposic¸a\u2dco. Essa decomposic¸a\u2dco de f em produto de pote\u2c6ncias de
fatores primos e´ u´nica, a menos da ordem dos fatores, e se denomina a
decomposic¸a\u2dco prima´ria de f.
Assim, todo divisor unita´rio de f e´ da forma
p\u3bd11 · . . . · p\u3bdrr ,
onde 0 \u2264 \u3bdi \u2264 ni, \u2200i = 1, . . . , r.
Em particular, o m.d.c de uma colec¸a\u2dco finita de polino\u2c6mios na\u2dco-constantes
e unita´rios f1, . . . , fn e´
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Decomposic¸a\u2dco de um polino\u2c6mio em fatores primos
ps11 · . . . · pskk ,
onde p1, . . . , pk sa\u2dco os polino\u2c6mios primos que aparecem nas decomposic¸o\u2dces
de todos os polino\u2c6mios f1, . . . , fn e, para cada i = 1, . . . , k, o expo-
ente si e´ o menor dos expoentes com que o polino\u2c6mio pi aparece nas
decomposic¸o\u2dces dos polino\u2c6mios f1, . . . , fn.
Se os polino\u2c6mios f1, . . . , fn na\u2dco possuem fatores primos em comum, eles
sa\u2dco primos entre si.
Exemplo 4.2
Sejam a, b, c \u2208 K escalares distintos. Enta\u2dco, x \u2212 a, x \u2212 b e x \u2212 c sa\u2dco
polino\u2c6mios primos unita´rios distintos em K[x].
Logo,
((x\u2212 b)n · (x\u2212 c)s, (x\u2212 a)m · (x\u2212 c)s+1) = (x\u2212 c)s ,
e
((x\u2212 b)n · (x\u2212 c)s, (x\u2212 a)m · (x\u2212 c)s, (x\u2212 b)n(x\u2212 a)m) = 1 .
\ufffd
Teorema 4.3
Seja f um polino\u2c6mio unita´rio na\u2dco-constante sobre o corpo K e seja
f = pn11 · . . . · pnkk ,
a decomposic¸a\u2dco de f em (produto de pote\u2c6ncias de) fatores primos.
Para cada j, 1 \u2264 j \u2264 k, seja
fj =
f
p
nj
j
=
\u220f
i6=j
pnii ,
Enta\u2dco, fi, . . . , fk sa\u2dco primos entre si.
Teorema 4.4
Seja f um polino\u2c6mio sobre o corpo K com derivada f \u2032. Enta\u2dco, f e´ um
produto de polino\u2c6mios primos distintos se, e somente se, f e f \u2032 sa\u2dco primos
entre si.
Prova.
(\u21d0=) Suponhamos que na decomposic¸a\u2dco de f em fatores primos algum
polino\u2c6mio primo p esteja repetido, ou seja, f = p2 ·h, para algum h \u2208 K[x].
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Decomposic¸a\u2dco de um polino\u2c6mio em fatores primos
Enta\u2dco, f \u2032 = 2p · p \u2032 · h + p2 · h \u2032. Logo, p tambe´m divide f \u2032, na\u2dco sendo,
portanto, f e f \u2032 primos entre si.
(=\u21d2) Suponhamos que f = p1 · . . . · pk, onde p1, . . . , pk sa\u2dco polino\u2c6mios
primos unita´rios e distintos.
Seja
fj =
f
pj
=
\u220f
i 6=j
pi .
Enta\u2dco,
f \u2032 = p \u20321 · f1 + . . .+ p \u2032k · fk .
Seja p um polino\u2c6mio primo que divide f e f \u2032. Enta\u2dco, p = pi para algum
i = 1, . . . , k. Como pi divide fj, para j 6= i, e pi divide f \u2032, temos que p = pi
divide p \u2032i · fi.
Enta\u2dco, p divide p \u2032i ou p divide fi.
Como p = pi na\u2dco aparece na decomposic¸a\u2dco
\u220f
j6=i
pj, temos que pi na\u2dco
divide fi.
Tambe´m pi na\u2dco divide p \u2032i, pois grau(pi) > grau(p \u2032i).
Com isso verificamos que nenhum polino\u2c6mio primo divide f e f \u2032 simulta-
neamente. Ou seja f e f \u2032 sa\u2dco primos entre si. \ufffd
Definic¸a\u2dco 4.2
O corpo K e´ dito algebricamente fechado se todo polino\u2c6mio primo sobre
K tem grau 1, isto e´, se todo polino\u2c6mio primo unita´rio sobre K e´ da forma
x\u2212 c.
Maneiras equivalentes para definir um corpo algebricamente fechado:
\u2022 Um corpo K e´ algebricamente fechado se todo polino\u2c6mio unita´rio na\u2dco-
constante f \u2208 K[x] se expressa na forma:
f = (x\u2212 c1)
\u3bd1 · . . . · (x\u2212 ck)\u3bdk ,
onde c1, . . . , ck \u2208 K sa\u2dco escalares distintos e \u3bd1, . . . , \u3bdk sa\u2dco inteiros positi-
vos.
Os escalares c1, . . . , ck sa\u2dco
as ra\u131´zes de f e os inteiros
\u3bd1, . . . , \u3bdk sa\u2dco as respectivas
multiplicidades dessas ra\u131´zes.
\u2022 Um corpo K e´ algebricamente fechado se todo polino\u2c6mio na\u2dco-constante
f \u2208 K[x] possui uma raiz em K. Ou seja, existe c \u2208 K tal que f(c) = 0.
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Determinantes
Exemplo 4.3
O corpo C dos nu´meros complexos e´ algebricamente fechado (Teorema
fundamental da ´Algebra). \ufffd
Exemplo 4.4
Se f e´ um polino\u2c6mio unita´rio com coeficientes reais e c e´ uma raiz com-
plexa de f, enta\u2dco c e´ tambe´m uma raiz de f.
Portanto, o conjunto das ra\u131´zes de f e´ da forma:
{t1, . . . , ts, c1, . . . , cr, c1, . . . , cr} ,
onde t1, . . . , ts \u2208 R e c1, . . . , cr \u2208 C.
Logo, f se decompo\u2dce em C[x] sob a forma:
f = (x\u2212 t1) · . . . · (x\u2212 ts) · (x\u2212 c1) · (x\u2212 c1) · . . . · (x\u2212 cr) · (x\u2212 cr) ,
ou seja, f se decompo\u2dces em R[x] sob a forma:
f = (x\u2212 t1) · . . . · (x\u2212 ts) · p1 · . . . · pr ,
onde pi = (x \u2212 ci) · (x \u2212 ci) = x2 \u2212 (ci + ci) x + |ci|2 e´ um polino\u2c6mio primo
de grau 2 em R[x], i = 1, . . . , r.
Assim, todo polino\u2c6mio primo em R[x] tem grau 1 ou grau 2. \ufffd
5. Determinantes
Definic¸a\u2dco 5.1
Um anel e´ um conjunto F, munido de duas operac¸o\u2dces:
(x, y) \u2212\u2192 x+ y (adic¸a\u2dco)
e
(x, y) \u2212\u2192 x · y = xy (multiplicac¸a\u2dco),
que satisfazem as seguintes propriedades:
Lembre que um conjunto G e´
um grupo em relac¸a\u2dco a uma
operac¸a\u2dco ? : G×G \u2212\u2192 G se
a operac¸a\u2dco e´ associativa,
possui elemento neutro e todo
elemento de G possui inverso
em relac¸a\u2dco a` operac¸a\u2dco. Ale´m
disso, quando a operac¸a\u2dco e´
comutativa, o grupo e´ dito
comutativo ou Abeliano.
1. F e´ um grupo comutativo em relac¸a\u2dco a` adic¸a\u2dco;
2. A multiplicac¸a\u2dco e´ associativa:
(xy)z = x(yz) , \u2200