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i < j.
Se j = i+ 1, D(A) = 0, pois A tem duas linhas adjacentes iguais.
Se j > i+ 1, a matriz B, obtida transpondo as linhas j e i+ 1 da matriz A,
tem duas linhas adjacentes iguais e, portanto, D(B) = 0. Mas, como,
D(A) = \u2212D(B) ,
temos que D(A) = 0. \ufffd
Definic¸a\u2dco 5.5
Se n > 1 e A e´ uma matriz n× n com entradas no anel F, indicamos por
A(i | j) a matriz (n\u2212 1)× (n\u2212 1) obtida de A, retirando-se a sua i\u2212e´sima
linha e a sua j\u2212e´sima coluna.
Se D e´ uma func¸a\u2dco (n \u2212 1)\u2212linear e A e´ uma matriz n × n, escrevemos
Dij = D(A(i | j) ).
Teorema 5.1
Seja n > 1 e seja D uma func¸a\u2dco (n\u22121)\u2212linear alternada sobre as matrizes
(n\u2212 1)× (n\u2212 1) com entradas no anel F.
Para cada j, 1 \u2264 j \u2264 n, a func¸a\u2dco Ej definida por
Ej(A) =
n\u2211
i=1
(\u22121)i+jAijDij(A)
e´ uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada sobre as n× n matrizes A.
Se D e´ uma func¸a\u2dco determinante, enta\u2dco cada Ej tambe´m o e´.
Prova.
Como D e´ (n \u2212 1)-linear e Dij(A) independe da i\u2212e´sima linha, temos
que Dij e´ uma func¸a\u2dco linear de todas as linhas, exceto a i\u2212e´sima. Mas,
como a func¸a\u2dco A 7\u2212\u2192 Aij e´ linear com respeito apenas a` i\u2212e´sima linha
de A, temos que AijDij e´ uma func¸a\u2dco n\u2212linear de A.
Logo, Ej e´ n\u2212linear, pois uma combinac¸a\u2dco linear de func¸o\u2dces n\u2212lineares
e´ n\u2212linear.
Para mostrar que Ej e´ alternada, basta mostrar, pelo lema anterior, que
Ej(A) = 0 sempre que A tiver duas linhas adjacentes iguais.
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Determinantes
Suponhamos que \u3b1k = \u3b1k+1. Se i 6= k e i 6= k + 1, a matriz A(i | j) tem
duas linhas iguais e, portanto, Dij(A) = 0.
Logo,
Ej(A) = (\u22121)
k+jAkjDkj(A) + (\u22121)
k+1+jA(k+1)jD(k+1)j(A) .
Como \u3b1k = \u3b1k+1, temos que
Akj = A(k+1)j e A(k | j) = A(k+ 1 | j) .
Enta\u2dco, Ej(A) = 0.
Suponhamos, agora, queD seja uma func¸a\u2dco determinante, ou sejaD(In\u22121) =
1, onde estamos designando In\u22121 a matriz identidade (n\u2212 1)× (n\u2212 1).
Se In e´ a matriz identidade n× n, temos que In(j | j) = In\u22121, 1 \u2264 j \u2264 n, e
Inij = 0, se i 6= j.
Logo,
Ej(I
n) = D( In(j | j) ) = D(In\u22121) = 1 ,
ou seja, Ej e´ uma func¸a\u2dco determinante. \ufffd
Corola´rio 5.1
Seja F um anel comutativo com elemento unidade e seja n um inteiro
positivo. Enta\u2dco existe uma func¸a\u2dco determinante sobre Fn×n.
Prova.
Ja´ provamos a existe\u2c6ncia da func¸a\u2dco determinante para n = 1 e n = 2. O
corola´rio segue por induc¸a\u2dco, pois o teorema anterior nos diz como cons-
truir uma func¸a\u2dco determinante sobre matrizes n×n, a partir de uma func¸a\u2dco
determinante sobre matrizes (n\u2212 1)× (n\u2212 1).
O nosso objetivo agora e´ mostrar a unicidade da func¸a\u2dco determinante.
Suponhamos que D seja uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada sobre as ma-
trizes n × n sobre F. Seja A uma matriz n × n com entradas em F que
tem por linhas \u3b11, . . . , \u3b1n, e sejam e1, . . . , en as linhas da matriz identidade
n× n.
Como
\u3b1i =
n\u2211
j=1
A(i, j)ej , 1 \u2264 i \u2264 n ,
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Determinantes
temos que
D(A) = D
(
n\u2211
j=1
A(1, j)ej, \u3b12, . . . , \u3b1n
)
=
n\u2211
j=1
A(1, j)D(ej, \u3b12, . . . , \u3b1n) .
Se, agora, substituirmos \u3b12 por
n\u2211
k=1
A(2, k)ek, temos que
D(ej, \u3b12, . . . , \u3b1n) =
n\u2211
k=1
A(2, k)D(ej, ek, . . . , \u3b1n)
Assim,
D(A) =
\u2211
k,j
A(1, j)A(2, k)D(ej, ek, \u3b13, . . . , \u3b1n) .
Ou seja, se substituirmos cada linha \u3b1i por
n\u2211
k=1
A(i, k)ek, i = 1, . . . , n,
obteremos que
D(A) =
n\u2211
k1,...,kn=1
A(1, k1)A(2, k2) . . . A(n, kn)D(ek1 , ek2 , . . . , ekn) .
Como D e´ alternada, D(ek1 , ek2 , . . . , ekn) = 0 sempre que dois dos \u131´ndices
ki sa\u2dco iguais. \ufffd
Definic¸a\u2dco 5.6
Uma sequ¨e\u2c6ncia (k1, . . . , kn) de inteiros positivos menores ou iguais a n,
com a propriedade de na\u2dco existirem dois ki iguais, e´ denominada uma
permutac¸a\u2dco de grau n.
Uma permutac¸a\u2dco de grau n pode ser definida como uma func¸a\u2dco bijetora \u3c3
do conjunto {1, 2, . . . , n} em si mesmo. Tal func¸a\u2dco \u3c3 corresponde a` n\u2212upla
(\u3c31, \u3c32, . . . , \u3c3n) e e´ simplesmente uma regra para ordenar 1, 2, . . . , n de
outra maneira.
Assim,
D(A) =
\u2211
\u3c3
A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n)D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) ,
onde a soma e´ estendida a todas as permutac¸o\u2dces \u3c3 distintas de grau n.
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Determinantes
Como a sequ¨e\u2c6ncia (\u3c31, . . . , \u3c3n) pode ser obtida da sequ¨e\u2c6ncia (1, . . . , n)
apo´s um nu´mero finito m, 0 \u2264 m \u2264 n, de transposic¸o\u2dces de pares de ele-
mentos, e D e´ alternada, temos que
D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) = (\u22121)
mD(e1, . . . , en).
Em particular, se D e´ uma func¸a\u2dco determinante,
D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3m) = (\u22121)
m
,
onde m depende somente de \u3c3 e na\u2dco de D.
Com isto, podemos provar um fato ba´sico sobre permutac¸o\u2dces.
Proposic¸a\u2dco 5.1
O nu´mero de transposic¸o\u2dces de pares de elementos usadas para passar
da sequ¨e\u2c6ncia (1, 2, . . . , n) para a sequ¨e\u2c6ncia (\u3c31, . . . , \u3c3n) e´ sempre par ou
sempre \u131´mpar.
Prova.
Seja D uma func¸a\u2dco determinante sobre as matrizes n × n sobre F, cuja
existe\u2c6ncia ja´ foi provada.
Seja \u3c3 uma permutac¸a\u2dco de grau n e suponhamos que passamos de
(1, 2, . . . , n) a (\u3c31, . . . , \u3c3n) por meio de m transposic¸o\u2dces de pares (i, j),
i 6= j. Enta\u2dco, D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) = (\u22121)m .
Se D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) = 1, m tem que ser par, e se D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) = \u22121, m
tem que ser \u131´mpar. \ufffd
Definic¸a\u2dco 5.7
Se o nu´mero de transposic¸o\u2dces de pares usadas para passar da sequ¨e\u2c6ncia
(1, . . . , n) a` sequ¨e\u2c6ncia (\u3c31, . . . , \u3c3n) e´ sempre par (\u131´mpar) dizemos que a
permutac¸a\u2dco e´ par (\u131´mpar).
Define-se, tambe´m, o sinal de uma permutac¸a\u2dco por
sinal \u3c3 =
\uf8f1\uf8f2\uf8f31 , se \u3c3 e´ par\u22121 , se \u3c3 e´ \u131´mpar .
Teorema 5.2
Seja F um anel comutativo com elemento unidade e seja n um inteiro posi-
tivo. Enta\u2dco existe exatamente uma func¸a\u2dco determinante sobre o conjunto
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Determinantes
das matrizes n×n com entradas em F, que designamos det e e´ dada por
det(A) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n) ,
sendo a soma estendida a todas as permutac¸o\u2dces distintas \u3c3 de grau n.
Se D e´ uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada arbitra´ria sobre Fn×n, enta\u2dco
D(A) = det(A) · D(I)
para toda matriz A \u2208 Fn×n.
Prova.
Ja´ verificamos que se D e´ uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada sobre Fn×n,
enta\u2dco
D(A) =
\u2211
\u3c3
A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n)D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) ,
sendo a soma estendida a todas as permutac¸o\u2dces distintas \u3c3 de grau n.
Logo, como D(e\u3c31 , . . . , e\u3c3n) = sinal \u3c3, temos
D(A) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n)D(I) , (I)
Provamos, assim, que
D(A) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n)
e´ a u´nica func¸a\u2dco determinante sobre Fn×n, que denotaremos por det(A).
Se D e´ uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada sobre Fn×n, enta\u2dco, por (I),
D(A) = det(A) ·D(I) .
\ufffd
Observac¸a\u2dco 5.3
Existem exatamente n ! = 1 · 2 · . . . · n permutac¸o\u2dces de grau n, pois se
\u3c3 e´ uma tal permutac¸a\u2dco, existem n escolhas poss\u131´veis para \u3c31; n \u2212 1
possibilidades para \u3c32; n\u2212 2 possibilidades para \u3c33, e assim por diante.
A fo´rmula
det(A) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n)
fornece det(A) como uma soma de n ! termos, um para cada permutac¸a\u2dco
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Determinantes
\u3c3 de grau n. Um termo gene´rico e´ um produto A(1, \u3c31) . . . A(n, \u3c3n) de n
entradas da matriz A, uma entrada de cada linha e uma de cada coluna,
acompanhado de um sinal + ou \u2212, conforme a permutac¸a\u2dco \u3c3 seja par ou
\u131´mpar.
Teorema 5.3
Seja F um anel comutativo com elemento unidade e sejam A e B matrizes
n× n com entradas em F. Enta\u2dco,
det(AB) = det(A) · det(B) .
Prova.
Definimos a func¸a\u2dco D(A) = det(AB). Indicando por \u3b11, . . . , \u3b1n as linhas
de A, temos que
D(\u3b11, . . . , \u3b1n) = det(\u3b11B, . . . , \u3b1nB) .
Como (c\u3b1i+\u3b1 \u2032i)B = c(\u3b1iB)+ (\u3b1 \u2032iB) e a func¸a\u2dco det e´ n\u2212linear, conclu\u131´mos
que D e´ n\u2212linear.
Se \u3b1i = \u3b1j, enta\u2dco \u3b1iB = \u3b1jB, e ja´ que det e´ alternada, temos