Introdução à Álgebra Linear.pdf
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D(\u3b11, . . . , \u3b1n) = 0 ,
ou seja, D e´ alternada.
Sendo D uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada, do teorema anterior segue que
D(A) = det(A) ·D(I) .
Mas D(I) = det(IB) = det(B). Portanto,
det(AB) = D(A) = det(A) · det(B) .
Como quer\u131´amos demonstrar. \ufffd
Observac¸a\u2dco 5.4
1. Como as permutac¸o\u2dces sa\u2dco func¸o\u2dces bijetoras do conjunto {1, . . . , n}
sobre si mesmo, podemos definir o produto das permutac¸o\u2dces \u3c3 e \u3c4 como
sendo a func¸a\u2dco composta
\u3c3 \u25e6 \u3c4(i) = \u3c3(\u3c4(i)) , i = 1, . . . , n .
Se E indica a permutac¸a\u2dco ide\u2c6ntica (ou identidade), E(i) = i, enta\u2dco cada \u3c3
possui uma inversa \u3c3\u22121 tal que \u3c3 \u25e6 \u3c3\u22121 = \u3c3\u22121 \u25e6 \u3c3 = E .
Enta\u2dco, o conjunto das permutac¸o\u2dces de grau n, com o produto dado pela
composic¸a\u2dco, e´ um grupo, denominado grupo sime´trico de grau n.
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Propriedades dos Determinantes
2. Sejam \u3c3 e \u3c4 permutac¸o\u2dces de grau n, e sejam e1, . . . , en as linhas da
matriz identidade n× n.
SejaA a matriz de linhas e\u3c41 , . . . , e\u3c4n e seja B a matriz de linhas e\u3c31 , . . . , e\u3c3n .
A i\u2212e´sima linha da matriz A tem exatamente um elemento na\u2dco-nulo, a sa-
ber o 1 na coluna \u3c4i.
Assim, a i\u2212e´sima linha da matrizAB e´ e\u3c4iB = e\u3c3(\u3c4i), pois e\u3c4iB e´ a \u3c4i\u2212e´sima
linha da matriz B. Logo, AB = (e\u3c3\u3c41 , . . . , e\u3c3\u3c4n).
Como det(A) = sinal \u3c4, det(B) = sinal \u3c3 e det(AB) = sinal (\u3c3\u3c4), temos,
pelo teorema anterior, que
sinal (\u3c3 \u25e6 \u3c4) = (sinal \u3c4) · (sinal \u3c3) .
Enta\u2dco, \u3c3 \u25e6 \u3c4 e´ uma permutac¸a\u2dco par se \u3c3 e \u3c4 sa\u2dco ambas pares ou ambas
\u131´mpares, enquanto \u3c3 \u25e6 \u3c4 e´ \u131´mpar se uma das permutac¸o\u2dces e´ par e a outra
e´ \u131´mpar.
6. Propriedades dos Determinantes
(1) det(At) = det(A)
De fato, sendo
det(At) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)At(1, \u3c31) . . . At(n, \u3c3n)
=
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)A(\u3c31, 1) . . . A(\u3c3n, n) ,
e A(\u3c3i, i) = A(j, \u3c3\u22121j), para \u3c3(i) = \u3c3i = j, temos
det(At) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3)A(1, \u3c3\u22121(1)) . . . A(n, \u3c3\u22121(n)) .
Ale´m disso, como \u3c3 · \u3c3\u22121 e´ a permutac¸a\u2dco ide\u2c6ntica, temos que
(sinal \u3c3)(sinal \u3c3\u22121) = 1,
ou seja, sinal \u3c3\u22121 = sinal \u3c3.
Logo,
det(At) =
\u2211
\u3c3
(sinal \u3c3\u22121)A(1, \u3c3\u22121(1)) . . . A(n, \u3c3\u22121(n)) = det(A) ,
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Propriedades dos Determinantes
pois quando \u3c3 percorre todas as permutac¸o\u2dces de grau n, \u3c3\u22121 tambe´m o
faz.
Como conseque\u2c6ncia da igualdade det(At) = det(A), temos que a
func¸a\u2dco det(A) e´, tambe´m, uma func¸a\u2dco n\u2212linear alternada das colunas da
matriz A.
(2) Se a matriz B e´ obtida da matriz A somando-se um mu´ltiplo de uma
linha (coluna) a outra linha (coluna), enta\u2dco det(B) = det(A).
De fato, sejam \u3b11, . . . , \u3b1n as linhas de A e seja B a matriz obtida de
A somando-se c\u3b1j a \u3b1i, onde i < j.
Como det e´ uma func¸a\u2dco linear da i\u2212e´sima linha, temos
det(B) = det(A) + cdet(\u3b11, . . . , \u3b1i\u22121, \u3b1j, \u3b1i+1, . . . , \u3b1j, . . . , \u3b1n) = det(A) .
(3) Seja
(
A B
O C
)
uma matriz n × n na forma de blocos, onde A e´ uma
matriz r× r, C e´ uma matriz s× s (com r+ s = n), B e´ uma matriz r× s e
O indica a matriz nula s× r. Enta\u2dco
det
(
A B
O C
)
= det(A) · det(C)
De fato, definamos a func¸a\u2dco
D(A,B,C) = det
(
A B
O C
)
.
Se fixarmos A e B, enta\u2dco D e´ alternada e s\u2212linear como uma func¸a\u2dco
das linhas de C. Assim, pelo teorema 5.2,
D(A,B,C) = det(C) ·D(A,B, I) ,
onde I e´ a matriz identidade s × s. Subtraindo das linhas de B mu´ltiplos
das linhas de I, obtemos, pela propriedade anterior, que
D(A,B, I) = D(A,O, I) .
Como D(A,O, I) e´ alternada e r\u2212linear como uma func¸a\u2dco das linhas
de A, temos, pelo teorema 5.2, que
D(A,O, I) = det(A) ·D(I,O, I) .
Mas D(I,O, I) = det
(
Ir O
O Is
)
= det(In) = 1.
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Propriedades dos Determinantes
Logo,
D(A,B,C) = det(C) ·D(A,B, I) = det(C) ·D(A,O, I)
= det(C) · det(A) ·D(I,O, I) = det(A) · det(C) .
Por um racioc\u131´nio ana´logo, ou tomando transpostas, verificamos que
det
(
A O
B C
)
= det(A) det(C) .
Exemplo 6.1
Seja A \u2208 Q4×4 a matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 \u22121 2 3
2 2 0 2
4 1 \u22121 \u22121
1 2 3 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Subtraindo das linhas 2, 3 e 4 mu´ltiplos convenientes da primeira linha,
obtemos a matriz \uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 \u22121 2 3
0 4 \u22124 \u22124
0 5 \u22129 \u221213
0 3 1 \u22123
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
que tem, pela propriedade (2), o mesmo determinante que a matriz A.
Subtraindo da linha 3, 5
4
da linha 2 e subtraindo da linha 4, 3
4
da linha 2,
obtemos a matriz
B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 \u22121 2 3
0 4 \u22124 \u22124
0 0 \u22124 \u22128
0 0 4 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
cujo determinante e´ igual ao da matriz A. Como B e´ uma matriz em forma
de blocos, temos que
det(A) = det(B) = det
(
1 \u22121
0 4
)
· det
(
\u22124 \u22128
4 0
)
= 4× 32 = 128.
\ufffd
No teorema 5.1, provamos que se n > 1 e se D e´ uma func¸a\u2dco deter-
minante sobre as matrizes (n\u2212 1)× (n\u2212 1), enta\u2dco
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Propriedades dos Determinantes
Ej(A) =
n\u2211
i=1
(\u22121)i+jAijDij(A)
e´ uma func¸a\u2dco determinante sobre as matrizes n×n, para todo j = 1, . . . , n.
Pela unicidade da func¸a\u2dco determinante, temos, para cada j = 1, . . . , n,
det(A) =
n\u2211
i=1
(\u22121)i+jAij det(A(i | j) ) .
O escalar
Cij = (\u22121)
i+j det(A(i | j) )
e´ chamado o cofator i, j da matriz A.
A fo´rmula acima para det(A) e´ denominada o desenvolvimento de
det(A) pelos cofatores da j\u2212e´sima coluna, ou o desenvolvimento pelos
menores da j\u2212e´sima coluna.
Assim, a fo´rmula acima nos diz que, para cada j = 1, . . . , n,
det(A) =
n\u2211
i=1
AijCij , (I)
onde o cofator Cij e´ (\u22121)i+j vezes o determinante da matriz (n\u22121)×(n\u22121)
obtida de A retirando-se a i\u2212e´sima linha e a j\u2212e´sima coluna de A.
Se j 6= k, enta\u2dco,
n\u2211
i=1
AikCij = 0 . (II)
De fato, seja B a matriz obtida de A substituindo a sua j\u2212e´sima
coluna pela k\u2212e´sima coluna. Como B tem duas colunas iguais e B(i | j) =
A(i | j) , temos que
0 = det(B) =
n\u2211
i=1
(\u22121)i+jBij det(B(i | j) )
=
n\u2211
i=1
(\u22121)i+jAik det(A(i | j) )
=
n\u2211
i=1
AikCij .
Enta\u2dco, por (I) e (II), temos que
n\u2211
i=1
AikCij = \u3b4jk det(A) . (III)
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Propriedades dos Determinantes
A matriz transposta da matriz de cofatores de A e´ chamada a matriz
adjunta de A e se designa por Adj A, ou seja,
(Adj A)ij = Cji = (\u22121)i+j det(A(j | i) ) .
Por (III), temos que
n\u2211
i=1
(Adj A)jiAik = \u3b4jk det(A) ,
ou seja,
(Adj A) ·A = det(A) · I . (IV)
Vamos provar, agora, que A · (Adj A) = det(A) · I.
Como At(i | j) = A(j | i) t, temos
(\u22121)i+j det(At(i | j) ) = (\u22121)i+j det(A(j | i) ) ,
isto e´, o cofator i, j da matriz At e´ o cofator j, i da matriz A. Logo,
Adj (At) = (Adj A)t.
Assim, por (IV), temos que
Adj (At) ·At = det(At) · I = det(A) · I ,
e transpondo,
A · (Adj (At))t = det(A) · I ,
ou seja,
A · (Adj A) = det(A) · I ,
pois (Adj (At))t = Adj A.
Resumindo, temos
A · (Adj A) = (Adj A) ·A = det(A) · I
Da mesma forma que para matrizes sobre um corpo, definimos as
matrizes invert\u131´veis com entradas num anel comutativo com elemento uni-
dade.
Definic¸a\u2dco 6.1
Seja F um anel comutativo com elemento unidade, uma matriz A \u2208 Fn×n
e´ dita invert\u131´vel sobre F se existe uma matriz B \u2208 Fn×n, dita inversa de A,
tal que AB = BA = I.
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Propriedades dos Determinantes
Observac¸a\u2dco 6.1
Se a matriz A \u2208 Fn×n possui uma matriz inversa, enta\u2dco ela e´ u´nica e se
designa A\u22121.
De fato, se BA = AC = I, enta\u2dco
C = I C = (BA)C = B (AC) = B I = B .
Como
A · (Adj A) = (Adj A) ·A = det(A) · I ,
temos que se det(A) e´ invert\u131´vel em F, enta\u2dco A e´ uma matriz invert\u131´vel
sobre F e
A\u22121 = (det(A))\u22121 · Adj A .
Reciprocamente, se A e´ invert\u131´vel sobre F, det(A) e´ um elemento
invert\u131´vel do anel F, pois se BA = I, temos:
1 = det(I) = det(B) · det(A) .
Teorema 6.1
Seja F um anel comutativo com elemento unidade e seja A \u2208 Fn×n. Enta\u2dco
A e´ invert\u131´vel sobre F