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pela matriz
A =
(
0 \u22121
1 0
)
.
O polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T (ou de A) e´
pC(x) = det(xI\u2212A) = det
(
x 1
\u22121 x
)
= x2 + 1 .
Como esse polino\u2c6mio na\u2dco possui ra\u131´zes reais, T na\u2dco possui autovalores.
Mas se U e´ o operador linear sobre C2 que e´ representado pela matriz A
em relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica, enta\u2dco U possui dois autovalores: i e \u2212i. \ufffd
Assim, ao discutirmos os autovalores de uma matriz A, precisamos
tomar o cuidado de estipular o corpo envolvido.
Exemplo 1.2
Seja A a matriz 3× 3 real
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed3 1 \u221212 2 \u22121
2 2 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
O polino\u2c6mio caracter\u131´stico de A e´
det(xI\u2212A) = det
\uf8eb\uf8ec\uf8edx\u2212 3 \u22121 1\u22122 x\u2212 2 1
\u22122 \u22122 x
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = x3 \u2212 5x2 + 8x\u2212 4 = (x\u2212 1)(x\u2212 2)2 .
Logo, 1 e 2 sa\u2dco os autovalores de A.
Seja T o operador linear sobre R3 representado por A em relac¸a\u2dco a` base
cano\u2c6nica.
Determinemos os autovetores de T associados aos autovalores 1 e 2.
Como
A\u2212 1 I = A\u2212 I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed2 1 \u221212 1 \u22121
2 2 \u22121
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
tem posto dois, temos que o nu´cleo de T \u2212 I tem dimensa\u2dco 1, ou seja, o
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espac¸o dos autovetores associados ao autovalor 1 tem dimensa\u2dco 1.
Sendo (T \u2212 I)(1, 0, 2) = (0, 0, 0), temos que v1 = (1, 0, 2) gera o nu´cleo de
T \u2212 I. Logo,
{v \u2208 R3 | Tv = v} = {k v1 | k \u2208 R}.
Consideremos agora a matriz
A\u2212 2I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed1 1 \u221212 0 \u22121
2 2 \u22122
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
Como o posto de A\u2212 2I tem dimensa\u2dco dois, o espac¸o dos autovetores de
T associados ao autovalor 2 tem dimensa\u2dco 1.
Sendo (T \u2212 2I)(1, 1, 2) = (0, 0, 0), temos que
{v | Tv = 2v} = {kv2 | k \u2208 R} ,
onde v2 = (1, 1, 2). \ufffd
Definic¸a\u2dco 1.5
Seja T um operador linear sobre o espac¸o V de dimensa\u2dco finita. Dizemos
que T e´ diagonaliza´vel se existe uma base de V formada por autovetores
de T .
Ou seja, T e´ diagonaliza´vel se seus autovetores geram o espac¸o V .
Se B = {\u3b11, . . . , \u3b1n} e´ uma base de autovetores de V e T(\u3b1i) = ci\u3b1i,
i = 1, . . . n, enta\u2dco
[T ]B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
c1 0 · · · 0
0 c2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · cn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
e´ uma matriz diagonal.
Exemplo 1.3
O operador linear T sobre R2 do exemplo 1.1 na\u2dco e´ diagonaliza´vel, pois T
na\u2dco possui autovalores em R. \ufffd
Exemplo 1.4
O operador linear T sobre R3 do exemplo 1.2 apesar de possuir dois au-
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tovalores 1 e 2 no corpo R, na\u2dco e´ diagonaliza´vel, pois os espac¸os dos
autovetores associados a esses autovalores te\u2c6m dimensa\u2dco 1. Portanto,
na\u2dco ha´ possibilidade de formar uma base de R3 constitu\u131´da de autoveto-
res de T . \ufffd
Suponhamos que o operador T : V \u2212\u2192 V seja diagonaliza´vel e que
c1, . . . , ck sa\u2dco os autovalores distintos de T . Seja B uma base ordenada
de V formada por autovetores de T . Enta\u2dco [T ]B e´ uma matriz diagonal,
cujos elementos da diagonal sa\u2dco os escalares ci, cada um repetido um
determinado nu´mero de vezes. Se ci esta´ repetido di vezes, podemos,
reordenando a base B, caso necessa´rio, fazer com que a matriz do ope-
rador tenha a forma em blocos:
[T ]B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
c1I1 O · · · O
O c2I2 · · · O
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O O · · · ckIk
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
onde Ij e´ a matriz unidade dj × dj.
Nesse caso, o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T e´ o produto de fatores
lineares:
pc(x) = (x\u2212 c1)
d1 . . . (x\u2212 ck)
dk
.
Portanto, se o corpo K na\u2dco for algebricamente fechado, estaremos
observando uma propriedade especial de T , ao dizermos que seu po-
lino\u2c6mio caracter\u131´stico tem uma tal fatorac¸a\u2dco.
Tambe´m podemos observar que a multiplicidade di do autovalor ci
como raiz do polino\u2c6mio caracter\u131´stico e´ igual a` dimensa\u2dco do espac¸o de
autovetores associado ao autovalor ci.
De fato, como [T \u2212 ciI]B e´ uma matriz diagonal com di zeros na
diagonal, temos que a dimensa\u2dco do nu´cleo de T \u2212 ciI e´ igual a di.
A relac¸a\u2dco entre a dimensa\u2dco do autoespac¸o e a multiplicidade do au-
tovalor como uma raiz do polino\u2c6mio caracter\u131´stico nos fornecera´ uma ma-
neira simples de verificar se um operador dado e´ ou na\u2dco diagonaliza´vel.
Lema 1.3
Suponhamos que T\u3b1 = c\u3b1. Se f e´ um polino\u2c6mio arbitra´rio, enta\u2dco
f(T)(\u3b1) = f(c)\u3b1 .
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Prova.
Seja f = anxn + . . .+ a1x+ a0. Enta\u2dco,
f(T)(\u3b1) = (anT
n + . . .+ a1T + a0I)(\u3b1)
= anT
n(\u3b1) + . . .+ a1T(\u3b1) + a0I(\u3b1)
= anc
n\u3b1+ . . .+ a1c\u3b1+ a0\u3b1
= (anc
n + . . .+ a1c+ a0)\u3b1
= f(c)\u3b1 .
\ufffd
Lema 1.4
Seja T um operador linear sobre um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco finita.
Sejam c1, . . . , ck os autovalores distintos de T e seja Wi, i = 1, . . . , k, o
espac¸o dos autovetores associado ao autovalor ci. Se W = W1+ . . .+Wk
e Bi e´ uma base ordenada de Wi, enta\u2dco B = B1 \u222a . . . \u222a Bk e´ uma base
ordenada de W. Em particular, dimW = dimW1 + . . .+ dimWk.
Prova.
Seja v1 + . . . + vk = 0, onde vi \u2208 Wi, i = 1, . . . , k, e seja f um polino\u2c6mio
arbitra´rio.
Como T(vi) = civi, temos, pelo lema anterior, que
0 = f(T)(0) = f(T)v1 + . . .+ f(T)vk = f(c1)v1 + . . .+ f(ck)vk .
Sejam f1, . . . , fk polino\u2c6mios tais que
fi(cj) = \u3b4ij =
\uf8f1\uf8f2\uf8f31 , i = j ;0 , i 6= j .
Enta\u2dco,
0 = fi(T)(0) =
k\u2211
j=1
fi(cj)vj =
k\u2211
j=1
\u3b4ijvj = vi .
Como W = W1 + . . . + Wk e´ o espac¸o gerado por todos os autovetores
de T , temos que B = B1 \u222a . . . \u222a Bk gera W, onde Bi e´ uma base de Wi,
i = 1, . . . , k.
Seja Bi = {vi1, . . . , vini} , i = i, . . . , k, e seja
a11v
1
1 + . . .+ a
1
n1
v1n1 + a
2
1v
2
1 + . . .+ a
2
n2
v2n2 + . . .+ a
k
1v
k
1 + . . .+ a
k
nk
vknk = 0 ,
uma combinac¸a\u2dco linear nula dos vetores de B.
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Fazendo vi = ai1vi1 + . . . + ainivini \u2208Wi, temos que v1 + . . . + vk = 0. Pelo
provado acima, vi = 0 para cada i = 1, . . . , k.
Logo, ai1vi1+. . .+ainivini = 0 para todo i = 1, . . . , k. Como {vi1, . . . , vini} = Bi
e´ um conjunto LI, temos que ai1 = . . . = aini = 0 para todo i = 1, . . . , k.
Provando, assim, que B e´ um conjunto LI de vetores de V .
Como B e´ LI e gera W, temos que B = B1 \u222a . . . \u222a Bk e´ uma base de W e,
portanto,
dimW = dimW1 + . . .+ dimWk .
\ufffd
Teorema 1.2
Seja T um operador linear sobre um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco finita.
Sejam c1, . . . , ck os autovalores distintos de T e seja Wi o nu´cleo de T\u2212ciI.
As seguintes afirmac¸o\u2dces sa\u2dco equivalentes:
(a) T e´ diagonaliza´vel.
(b) O polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T e´
pc = (x\u2212 c1)
d1 . . . (x\u2212 ck)
dk ,
onde dk = dimWk .
(c) dimV = dimW1 + . . .+ dimWk.
Prova.
Ja´ provamos (a)=\u21d2(b).
(b)=\u21d2(c) Suponhamos que pC = (x\u2212 c1)d1 . . . (x\u2212 ck)dk.
Enta\u2dco, grau(pC) = dimV = d1 + . . .+ dk = dimW1 + . . .+ dimWk .
Pelo lema anterior, dim(W1 + . . .+Wk) = dimV .
Logo, V = W1 + . . .+Wk.
(c)=\u21d2(a) Suponhamos, agora, que dimV = dimW1 + . . .+ dimWk.
Como dimW = dimW1 + . . . + dimWk, onde W = W1 + . . . +Wk, temos
que dimW = dimV .
Enta\u2dco, V = W, ou seja, os autovetores de T geram V . \ufffd
O ana´logo do teorema acima para matrizes pode ser formulado da
seguinte maneira:
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Teorema 1.3
Seja A uma matriz n × n com entradas no corpo K e sejam c1, . . . , ck
os autovalores distintos de A em K. Para cada i, seja Wi o espac¸o dos
vetores colunas em Kn×1 tais que
(A\u2212 ciI)X = 0 ,
e seja Bi uma base ordenada de Wi.
Os vetores das bases B1, . . . ,Bk podem ser reunidos para formar as colu-
nas P1, . . . , P` de uma matriz P.
Enta\u2dco, a matriz A e´ semelhante sobre K a uma matriz diagonal se, e so´
se, ` = n, ou seja, se, e so´ se, P e´ uma matriz quadrada.
Nesse caso, P e´ invert\u131´vel e P\u22121AP e´ diagonal.
Exemplo 1.5
Seja T o operador linear sobreR3 representado