Introdução à Álgebra Linear.pdf
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em relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica
pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed 5 \u22126 \u22126\u22121 4 2
3 \u22126 \u22124
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
Vamos calcular o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de A por meio de operac¸o\u2dces
elementares sobre linhas e colunas da matriz xI\u2212A \u2208 (R[x])3×3:
det(xI\u2212A) = det
\uf8eb\uf8ec\uf8edx\u2212 5 6 61 x\u2212 4 \u22122
\u22123 6 x+ 4
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = det
\uf8eb\uf8ec\uf8edx\u2212 5 0 61 x\u2212 2 \u22122
\u22123 \u2212x+ 2 x+ 4
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
= (x\u2212 2)det
\uf8eb\uf8ec\uf8edx\u2212 5 0 61 1 \u22122
\u22123 \u22121 x+ 4
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = (x\u2212 2)det
\uf8eb\uf8ec\uf8edx\u2212 5 0 61 1 \u22122
\u22122 0 x+ 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
= (x\u2212 2)det
(
x\u2212 5 6
\u22122 x+ 2
)
= (x\u2212 2) ((x\u2212 5)(x+ 2) + 12) .
= (x\u2212 2)(x2 \u2212 3x+ 2) = (x\u2212 2)2(x\u2212 1) .
Enta\u2dco, 1 e 2 sa\u2dco os autovalores de T , e
A\u2212 I =
\uf8eb\uf8ed 4 \u22126 \u22126\u22121 3 2
3 \u22126 \u22125
\uf8f6\uf8f8 e A\u2212 2I =
\uf8eb\uf8ed 3 \u22126 \u22126\u22121 2 2
3 \u22126 \u22126
\uf8f6\uf8f8
.
J. Delgado - K. Frensel 147 Instituto de Matema´tica - UFF
Formas Cano\u2c6nicas Elementares
Como A\u2212I na\u2dco e´ invert\u131´vel e posto (A\u2212I) \u2265 2, pois (4,\u22126,\u22126) e (\u22121, 3, 2)
sa\u2dco LI, temos que posto (A\u2212 I) = 2.
Ale´m disso, e´ claro que posto (A\u2212 2I) = 1.
Sejam W1 e W2 os espac¸os dos autovetores associados aos autovalores
1 e 2, respectivamente.
Como dimW1 = 3 \u2212 2 = 1 e dimW2 = 3 \u2212 1 = 2, temos, pelo teorema
anterior, que T e´ diagonaliza´vel, pois dimW1 + dimW2 = 1+ 2 = dimR3.
´E fa´cil ver que o nu´cleo de T \u2212 I e´ gerado pelo vetor \u3b11 = (3,\u22121, 3), e
assim, {\u3b11} e´ uma base de W1.
O nu´cleo de T\u22122I, isto e´, o espac¸o W2, e´ formado pelos vetores (x1, x2, x3)
tais que x1 = 2x2 + 2x3. Logo, por exemplo, os vetores
\u3b12 = (2, 1, 0) , e \u3b13 = (2, 0, 1) ,
formam uma base de W2.
Enta\u2dco, B = {\u3b11, \u3b12, \u3b13} e´ uma base de R3 e [T ]B e´ a matriz diagonal
D =
\uf8eb\uf8ed1 0 00 2 0
0 0 2
\uf8f6\uf8f8
.
Assim, D = P\u22121AP, onde
P =
\uf8eb\uf8ed 3 2 2\u22121 1 0
3 0 1
\uf8f6\uf8f8 ,
e´ a matriz de mudanc¸a de base da base B para a base cano\u2c6nica. \ufffd
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Polino\u2c6mios Anuladores
2. Polino\u2c6mios Anuladores
Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo K e seja T : V \u2212\u2192 V um
operador sobre V .
Enta\u2dco, o conjunto
I = {p \u2208 K[x] |p(T) = O} ,
e´ um ideal da a´lgebra K[x] dos polino\u2c6mios com coeficientes em K.
De fato, sejam p, q \u2208 K[x] e seja \u3bb \u2208 K. Como
(\u3bbp+ q)(T) = \u3bbp(T) + q(T) ,
e
(pq)(T) = p(T)q(T) ,
temos que \u3bbp+ q \u2208 I se p, q \u2208 I e pq \u2208 I se p \u2208 I.
O ideal I pode ser o ideal nulo, isto e´, o ideal formado apenas pelo
polino\u2c6mio nulo. Mas veremos agora que isto na\u2dco ocorre quando o espac¸o
vetorial V e´ de dimensa\u2dco finita.
De fato, se dimV = n, temos que dimL(V,V) = n2. Logo, os n2 + 1
operadores I, T, . . . , Tn2 , sa\u2dco LD. Isto e´, existem escalares c0, c1, . . . , cn2
em K na\u2dco todos nulos tais que
c0I+ c1T + . . .+ cn2T
n2 = O .
Enta\u2dco, o polino\u2c6mio
p = c0 + c1x+ . . .+ cn2x
n2
e´ um polino\u2c6mio na\u2dco-nulo de grau \u2264 n2 que pertence ao ideal I.
Como I e´ um ideal na\u2dco-nulo, existe um u´nico polino\u2c6mio unita´rio
p \u2208 K[x] tal que I = pK[x].
Ou seja, se f \u2208 K[x], temos: f(T) = O se, e somente se, existe
q \u2208 K[x] tal que f = pq.
Definic¸a\u2dco 2.1
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo K e seja
T : V \u2212\u2192 V um operador linear. O polino\u2c6mio minimal de T , designado pm,
e´ o u´nico gerador unita´rio do ideal dos polino\u2c6mios com coeficientes em K
que anulam T .
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Polino\u2c6mios Anuladores
Observac¸a\u2dco 2.1
Nenhum polino\u2c6mio sobre K que anule T tem grau menor que o de pm.
Definic¸a\u2dco 2.2
Se A e´ uma matriz n×n com entradas no corpo K, definimos o polino\u2c6mio
minimal de A como sendo o u´nico gerador unita´rio do ideal formado pelos
polino\u2c6mios de K[x] que anulam A.
Observac¸a\u2dco 2.2
Se o operador T e´ representado, em relac¸a\u2dco a alguma base ordenada B
de V , pela matriz A = [T ]B, enta\u2dco T e A te\u2c6m o mesmo polino\u2c6mio minimal.
De fato, se f \u2208 K[x], temos que
f(T) = O\u21d0\u21d2 [f(T)]B = 0\u21d0\u21d2 f([T ]B) = O\u21d0\u21d2 f(A) = O .
Observac¸a\u2dco 2.3
Seja F um subcorpo do corpo K e suponhamos que A seja uma matriz
n×n com entradas no corpo F. Enta\u2dco, o polino\u2c6mio minimal de A, quando
considerada como uma matriz de Fn×n, e´ igual ao polino\u2c6mio minimal de
A, quando considerada como uma matriz de Kn×n.
Seja pm \u2208 F[x] o polino\u2c6mio minimal de A, considerada como uma matriz
de Fn×n.
Como pm \u2208 K[x] e pm(A) = O, temos que o polino\u2c6mio minimal pm \u2208 K[x]
de A considerada como uma matriz de Kn×n, tem grau \u2264 grau(pm).
Seja pm = xk + ak\u22121xk\u22121 + . . .+ a1x+ a0. Enta\u2dco,
Ak + ak\u22121A
k\u22121 + . . .+ a1A+ a0I = O .
Ou seja, o vetor (ak\u22121, . . . , a0) \u2208 Kk e´ soluc¸a\u2dco de um sistema de n2
equac¸o\u2dces lineares de k inco´gnitas da forma BX = Y, onde B \u2208 Fn2×k
e Y \u2208 Fn2×1.
Enta\u2dco, pelo que foi provado anteriormente, o sistema BX = Y possui uma
soluc¸a\u2dco (bk\u22121, . . . , b0) \u2208 Fk. Ou seja, o polino\u2c6mio
q = xk + bk\u22121x
k\u22121 + . . .+ b1x+ b0 \u2208 F[x]
anula a matriz A. Logo, grau(q) = grau(pm) \u2265 grau(pm) .
Enta\u2dco, grau(pm) = grau(pm).
J. Delgado - K. Frensel 150 Instituto de Matema´tica - UFF
Polino\u2c6mios Anuladores
Ale´m disso, como pm \u2208 K[x] e´ o gerador unita´rio do ideal de K[x] dos
polino\u2c6mios que anulam A, pm \u2208 K[x], pm(A) = O e pm e´ unita´rio, temos
que pm = pm.
Teorema 2.1
Seja T um operador linear sobre um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco n
(ou, seja A uma matriz n × n). Os polino\u2c6mios caracter\u131´stico e minimal
de T (respectivamente, de A) possuem as mesmas ra\u131´zes, a menos de
multiplicidade.
Prova.
\u2022 Seja pm o polino\u2c6mio minimal de T e seja c \u2208 K tal que pm(c) = 0.
Enta\u2dco, existe q \u2208 K[x] tal que pm = (x\u2212 c)q.
Como grau(q) < grau(pm), temos, pela definic¸a\u2dco de polino\u2c6mio minimal,
que q(T) 6= O. Existe, portanto, v \u2208 V tal que q(T)(v) 6= 0.
Seja w = q(T)(v). Enta\u2dco,
0 = pm(T)(v) = (T \u2212 cI)q(T)(v) = (T \u2212 cI)(w) .
Ou seja, c e´ autovalor de T .
\u2022 Suponhamos, agora, que c e´ um autovalor de T e que
T(v) = cv, v \u2208 V \u2212 {0}.
Enta\u2dco, pelo lema 1.3,
pm(T)(v) = pm(c)v.
Como pm(T) = O e v 6= 0, temos que pm(c) = 0. \ufffd
Observac¸a\u2dco 2.4
Seja T um operador linear diagonaliza´vel e sejam c1, . . . , ck os autovalores
distintos de T . Enta\u2dco
p = (x\u2212 c1) . . . (x\u2212 ck)
e´ o polino\u2c6mio minimal de T .
De fato, se v e´ um autovetor de T , enta\u2dco, algum dos operadores
T \u2212 c1I, . . . , T \u2212 ckI leva v em 0. Portanto,
p(T) = (T \u2212 c1I) . . . (T \u2212 ckI)(v) = 0 ,
para todo autovetor v. Como V possui uma base formada por autovetores,
temos que p(T) = O.
J. Delgado - K. Frensel 151 Instituto de Matema´tica - UFF
Polino\u2c6mios Anuladores
Ale´m disso, pelo teorema anterior, c1, . . . , ck sa\u2dco as ra\u131´zes do polino\u2c6mio
minimal. Logo, p = (x\u2212 c1) . . . (x\u2212 ck) e´ o polino\u2c6mio minimal do operador
diagonaliza´vel T .
Provamos, assim, que se T e´ um operador linear diagonaliza´vel, o
polino\u2c6mio minimal de T e´ um produto de fatores lineares distintos. Como
veremos mais tarde, essa propriedade caracteriza os operadores diago-
naliza´veis.
Exemplo 2.1
Seja T o operador linear sobreR3 representado em relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica,
pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ed 5 \u22126 \u22126\u22121 4 2
3 \u22126 \u22124
\uf8f6\uf8f8
No exemplo 1.5 vimos que o operador T e´ diagonaliza´vel e que o seu
polino\u2c6mio caracter\u131´stico e´ (x\u2212 2)2(x\u2212 1). Logo, pela observac¸a\u2dco anterior,
pm = (x\u2212 2)(x\u2212 1) e´ o polino\u2c6mio minimal de T . \ufffd
Exemplo 2.2
Seja T o operador linear sobreR3 representado, em relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica,
pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ed3 1 \u221212 2 \u22121
2 2 0
\uf8f6\uf8f8
Vimos, no exemplo 1.2, que o operador T na\u2dco e´ diagonaliza´vel e que
(x\u2212 1)(x\u2212 2)2 e´ o seu polino\u2c6mio caracter\u131´stico.
Sabemos, pelo teorema anterior, que 1 e 2 sa\u2dco as ra\u131´zes do polino\u2c6mio
minimal pm de T . Enta\u2dco, p = (x\u2212 1)k(x\u2212 2)`, para alguns k \u2265 1 e ` \u2265 1.
Como
(A\u2212 I)(A\u2212 2I) =
\uf8eb\uf8ed2 1 \u221212 1 \u22121
2 2 \u22121
\uf8f6\uf8f8 \uf8eb\uf8ed1 1 \u221212 0 \u22121
2 2 \u22122
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed2 0 \u221212 0 \u22121
4 0 \u22122
\uf8f6\uf8f8 (I)
na\u2dco e´ a matriz nula, temos que (x \u2212 1)(x \u2212 2) na\u2dco e´ o polino\u2c6mio minimal
de T .
Assim, obtemos que o grau do polino\u2c6mio minimal de T e´, pelo menos, tre\u2c6s
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Polino\u2c6mios Anuladores
e, enta\u2dco,