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os poss\u131´veis candidatos a serem o polino\u2c6mio minimal de T sa\u2dco
(x\u2212 1)2(x\u2212 2) e (x\u2212 1)(x\u2212 2)2.
Por (I), temos
(A\u2212 I)(A\u2212 2I)2 =
\uf8eb\uf8ed2 0 \u221212 0 \u22121
4 0 \u22122
\uf8f6\uf8f8 \uf8eb\uf8ed1 1 \u221212 0 \u22121
2 2 \u22122
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed0 0 00 0 0
0 0 0
\uf8f6\uf8f8
.
Logo, o polino\u2c6mio minimal de T e´ o seu polino\u2c6mio caracter\u131´stico. \ufffd
Exemplo 2.3
Seja T o operador linear sobreR2 representado, em relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica,
pela matriz
A =
(
0 \u22121
1 0
)
.
Como vimos no exemplo 1.1, o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T e´ x2 + 1, que
na\u2dco possui ra\u131´zes reais.
Considerando A como uma matriz 2×2 complexa, temos que (x+ i)(x\u2212 i)
e´ o seu polino\u2c6mio caracter\u131´stico, com ra\u131´zes i e \u2212i.
Logo, i e \u2212i sa\u2dco, tambe´m, ra\u131´zes do polino\u2c6mio minimal de A, considerada
tanto como uma matriz real quanto como uma matriz complexa.
Sendo
A2 + I =
(
0 \u22121
1 0
) (
0 \u22121
1 0
)
+
(
1 0
0 1
)
=
(
\u22121 0
0 \u22121
)
+
(
1 0
0 1
)
=
(
0 0
0 0
)
,
temos que x2 + 1 e´ o polino\u2c6mio minimal de A, considerada como uma
matriz real.
Portanto, x2 + 1 e´ o polino\u2c6mio minimal do operador T . \ufffd
Teorema de Cayley-HamiltonTeorema 2.2
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita n sobre o corpo K e seja T
um operador linear sobre V .
Se pc \u2208 K[x] e´ o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T , enta\u2dco pc(T) = O.
Em outras palavras, o polino\u2c6mio minimal divide o polino\u2c6mio caracter\u131´stico
de T .
Prova.
J. Delgado - K. Frensel 153 Instituto de Matema´tica - UFF
Polino\u2c6mios Anuladores
Seja L = {q(T) |q \u2208 K[x]}.
Pelo visto nas sec¸o\u2dces anteriores, L e´ uma a´lgebra linear comutativa com
elemento unidade sobre o corpo K. Em particular, L e´ um anel comutativo
com elemento unidade.
Seja B = {v1, . . . , vn} uma base de V e seja A a matriz que representa T
em relac¸a\u2dco a` base B. Enta\u2dco,
T(vi) =
n\u2211
j=1
Ajivj , 1 \u2264 i \u2264 n .
Essas equac¸o\u2dces podem ser escritas como
n\u2211
j=1
(\u3b4ijT \u2212AjiI) vj = 0 , 1 \u2264 i \u2264 n .
Seja B a matriz n× n sobre L com entradas
Bij = \u3b4ijT \u2212AjiI .
Quando n = 2, temos
B =
(
T \u2212A11I \u2212A21I
\u2212A12I T \u2212A22I
)
,
e
det(B) = (T \u2212A11I)(T \u2212A22I) \u2212A12A21I
= T 2 \u2212 (A11 +A22)T + (A11A22 \u2212A12A21)I
= pc(T) ,
onde
pc = x
2 \u2212 (Tr A)x+ det(A)
e´ o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T .
Para n > 2, temos tambe´m que
det(B) = pc(T) ,
pois o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T , pc, e´ o determinante da matriz xI\u2212A,
cujas entradas sa\u2dco os polino\u2c6mios
(xI\u2212A)ij = \u3b4ijx\u2212Aij .
Como det(xI \u2212 A) = det ((xI\u2212A)t), temos, tambe´m, que pc e´ o determi-
nante da matriz xI\u2212At, cujas entradas sa\u2dco os polino\u2c6mios
(xI\u2212At)ij = \u3b4ijx\u2212Aji.
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Polino\u2c6mios Anuladores
Pela definic¸a\u2dco de B, temos que
n\u2211
j=1
Bijvj = 0 , 1 \u2264 i \u2264 n . (I)
Seja B\u2dc = Adj B. Enta\u2dco, por (I), temos que
n\u2211
j=1
B\u2dckiBijvj = 0 , 1 \u2264 i, k \u2264 n .
Somando em relac¸a\u2dco a i, temos
n\u2211
i=1
n\u2211
j=1
B\u2dckiBijvj = 0 =\u21d2 n\u2211
j=1
(
n\u2211
i=1
B\u2dckiBij
)
vj = 0 . (II)
Como B\u2dcB = det(B) I, temos que
n\u2211
i=1
B\u2dckiBij = \u3b4kj det(B) .
Logo, por (II), temos
n\u2211
j=1
\u3b4kj det(B)vj = 0 =\u21d2 det(B)vk = 0, 1 \u2264 k \u2264 n.
Assim, provamos que pc(T) = det(B) = 0, ou seja, que o polino\u2c6mio carac-
ter\u131´stico de T anula T . \ufffd
Observac¸a\u2dco 2.5
Como o polino\u2c6mio minimal pm divide o polino\u2c6mio caracter\u131´stico pc e os
dois polino\u2c6mios possuem as mesmas ra\u131´zes, temos que, se pc se fatora
como
pc = (x\u2212 c1)
d1 . . . (x\u2212 ck)
dk ,
onde c1, . . . , ck sa\u2dco as ra\u131´zes distintas e dj \u2265 1 para todo j, enta\u2dco
pm = (x\u2212 c1)
r1 . . . (x\u2212 ck)
rk ,
com 1 \u2264 rj \u2264 dj, para todo j = 1, . . . , k.
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Subespac¸os Invariantes
3. Subespac¸os Invariantes
Definic¸a\u2dco 3.1
Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo K e T um operador linear sobre
V . Dizemos que um subespac¸o W de V e´ invariante por T , se para todo
vetor v \u2208W, o vetor T(v) pertence, tambe´m, a W.
Ou seja, W e´ um subespac¸o invariante por T se T(W) \u2282W.
Exemplo 3.1
Seja T : V \u2212\u2192 V um operador linear. Enta\u2dco, os seguintes subespac¸os de
V sa\u2dco invariantes por T :
\u2022W = V ;
\u2022W = {0};
\u2022W = T(V) = Im(T) (a imagem de T );
\u2022W = T\u22121(0) = Ker(T) (o nu´cleo de T ). \ufffd
Exemplo 3.2
Seja K um corpo e seja D o operador derivac¸a\u2dco sobre o espac¸o K[x] dos
polino\u2c6mios com coeficientes em K.
Seja n um inteiro positivo e seja W o subespac¸o de K[x] formado pelos
polino\u2c6mios de grau \u2264 n.
Enta\u2dco W e´ invariante por D. \ufffd
Exemplo 3.3
Sejam T,U : V \u2212\u2192 V operadores lineares sobre V que comutam, isto e´
T U = UT .
Enta\u2dco, W = U(V), a imagem de U, e N = U\u22121(0), o nu´cleo de U, sa\u2dco
subespac¸os invariantes por T .
De fato, se v \u2208W, existe w \u2208 V tal que U(w) = v. Logo,
T(v) = T(U(w)) = U(T(w)) \u2208W .
Analogamente, se v \u2208 N, U(v) = 0. Logo,
U(T(v)) = T(U(v)) = T(0) = 0 ,
ou seja, T(v) \u2208 N. \ufffd
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Subespac¸os Invariantes
Um tipo particular de operador que comuta com T e´ um operador
U = g(T), onde g e´ um polino\u2c6mio.
Por exemplo, U = T \u2212 cI, onde c e´ um autovalor de T .
Nesse caso, o nu´cleo de U, que e´ o espac¸o dos autovetores associ-
ados ao autovalor c, e´ invariante por T
Exemplo 3.4
Seja T o operador linear sobre R2 que e´ representado em relac¸a\u2dco a` base
cano\u2c6nica pela matriz
A =
(
0 \u22121
1 0
)
.
Enta\u2dco, os u´nicos subespac¸os de R2 que sa\u2dco invariantes por T sa\u2dco R2 e o
subespac¸o nulo.
De fato, qualquer outro subespac¸o invariante W teria dimensa\u2dco 1, ou seja,
W seria gerado por um vetor v na\u2dco-nulo.
Sendo W invariante por T , ter\u131´amos T(v) = \u3bbv, ou seja T teria um autova-
lor em R, o que e´ um absurdo, pois ja´ verificamos, no exemplo 1.1, que T
na\u2dco possui autovalores reais. \ufffd
Observac¸a\u2dco 3.1
Quando o subespac¸o W e´ invariante por T , T induz um operador linear TW
sobre o espac¸o W, definido por TW(v) = T(v), para todo v \u2208W.
Suponhamos que V tem dimensa\u2dco finita e que B = {v1, . . . , vn} e´ uma
base ordenada de V tal que B \u2032 = {v1, . . . , vr} seja uma base ordenada de
W, sendo r = dimW.
Seja A = [T ]B. Enta\u2dco,
T(vj) =
n\u2211
i=1
Aijvi , 1 \u2264 j \u2264 n .
Como W e´ invariante por T , temos que Aij = 0, para todos 1 \u2264 j \u2264 r e
i \u2265 r+ 1. Assim,
A =
(
B C
O D
)
,
onde B = [TW]B \u2032, e´ uma matriz r× r, C e´ uma matriz r× (n\u2212 r) e D e´ uma
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Subespac¸os Invariantes
matriz (n\u2212 r)× (n\u2212 r).
Lema 3.1
Seja W um subespac¸o invariante por T . Enta\u2dco, o polino\u2c6mio caracter\u131´stico
do operador TW divide o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T , e o polino\u2c6mio mini-
mal de TW divide o polino\u2c6mio minimal de T .
Prova.
Seja A =
(
B C
O D
)
, onde A = [T ]B e B = [TW]B \u2032.
Por causa da forma em blocos da matriz A, temos
det(xI\u2212A) = det(xI\u2212 B)det(xI\u2212D) .
Ou seja, o polino\u2c6mio caracter\u131´stico det(xI \u2212 B) de TW divide o polino\u2c6mio
caracter\u131´stico det(xI\u2212A) de T .
Como a k\u2212e´sima pote\u2c6ncia da matriz A tem a forma em blocos
Ak =
(
Bk Ck
O Dk
)
,
onde Ck e´ uma matriz r×(n\u2212r), temos que qualquer polino\u2c6mio que anula
A, tambe´m anula B.
Assim, o polino\u2c6mio minimal de B divide o polino\u2c6mio minimal de A. \ufffd
Observac¸a\u2dco 3.2
Seja T um operador linear sobre um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco finita
n. Sejam c1, . . . , ck os autovalores distintos de T e seja Wi, i = 1, . . . , k o
espac¸o dos autovetores associados ao autovalor ci.
Seja W = W1+ . . .+Wk o subespac¸o gerado por todos os autovetores de
T .
Se Bi, i = 1, . . . , k e´ uma base ordenada de Wi, ja´ sabemos, pelo lema
1.4, que B \u2032 = B1 \u222a . . . \u222a Bk e´ uma base ordenada de W e que dimW =
dimW1 + . . .+ dimWk.
Enta\u2dco, se B \u2032 = {v1, . . . , vr}, onde r = dimW, temos que
T(vi) = tivi, i = 1, . . . , r,
onde (t1, . . . , tr) = (c1, . . . , c1, . . . , ck, . . . , ck) com cada ci repetido dimWi
vezes.
J. Delgado - K. Frensel 158 Instituto