Introdução à Álgebra Linear.pdf
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autoespac¸o de T associado a cj.
Reciprocamente, se existem k escalares distintos c1, . . . ck e k operado-
res lineares na\u2dco-nulos E1, . . . , Ek satisfazendo as condic¸o\u2dces (a), (b) e (c),
enta\u2dco T e´ diagonaliza´vel, c1, . . . , ck sa\u2dco os autovalores distintos de T e as
condic¸o\u2dces (d) e (e) sa\u2dco, tambe´m, satisfeitas.
Prova.
Suponha que T seja diagonaliza´vel, com autovalores distintos c1, . . . , ck.
Seja Wi o autoespac¸o associado ao autovalor ci. Enta\u2dco, pelo Teorema
5.2, (b), (c), (d) e (e) sa\u2dco satisfeitas. Basta, enta\u2dco, verificar que (a) e´
satisfeita.
Seja v \u2208 V .
Enta\u2dco,
v = E1(v) + . . .+ Ek(v) .
e
T(v) = T(E1(v)) + . . .+ T(Ek(v)) = c1E1(v) + . . .+ ckEk(v) ,
ou seja, T = c1E1 + . . .+ ckEk.
Suponhamos, agora, que sejam dados um operador linear T , escalares
distintos c1, . . . , ck e operadores na\u2dco-nulos E1, . . . , Ek satisfazendo (a), (b)
e (c).
Como EiEj = O, para i 6= j, temos, multiplicando ambos os membros
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Somas Diretas Invariantes
de I = E1 + . . . + Ek por Ei, que Ei = E2i . E, multiplicando a identidade
T = c1E1 + . . . + ckEk por Ei, resulta que TEi = ciE2i = ciEi, o que mostra
que todo vetor na imagem de Ei esta´ no nu´cleo de T \u2212 ciI.
Como Ei 6= O, existe um vetor na\u2dco-nulo no nu´cleo de T \u2212 ciI, ou seja ci e´
um autovalor de T . Ale´m disso, os escalares ci, i = 1, . . . , k sa\u2dco os u´nicos
autovalores de T . De fato, se c e´ um escalar arbitra´rio, temos
T \u2212 cI = (c1 \u2212 c)E1 + . . .+ (ck \u2212 c)Ek .
Logo, se (T \u2212 cI)(v) = 0, devemos ter (ci \u2212 c)Ei(v) = 0, i = 1, . . . , k, pois
V = E1(V)\u2295 . . .\u2295Ek(V), ja´ que EiEj = O, i 6= j, E2j = Ej e I = E1+ . . .+Ek.
Se v na\u2dco e´ o vetor nulo, existe i tal que Ei(v) 6= 0, de modo que ci \u2212 c = 0
para tal i.
O operador T e´ diagonaliza´vel, pois todo vetor na\u2dco-nulo na imagem de Ei
e´ um autovetor e todo vetor v se escreve na forma
v = E1(v) + . . .+ Ek(v) ,
ou seja, os autovetores de T geram V .
Resta provar que Ei(V) = Ker(T \u2212 ciI).
Se v \u2208 Ker(T \u2212 ciI), isto e´, se T(v) = civ, enta\u2dco
k\u2211
j=1
(cj \u2212 ci)Ej(v) = 0 .
Logo, (cj \u2212 ci)Ej(v) = 0 para todo j = 1, . . . , k.
Assim, Ej(v) = 0 para j 6= i, ou seja, v = Ei(v), mostrando que
Ker(T \u2212 ciI) \u2282 Ei(V).
Como ja´ provamos que Ei(V) \u2282 Ker(T \u2212 ciI), temos que Ker(T \u2212 ciI) =
Ei(V), para todo i = 1, . . . , k. \ufffd
Observac¸a\u2dco 6.1
Se g = a0 + a1x+ . . .+ anxn e´ um polino\u2c6mio em K[x], enta\u2dco
g(T) = g(c1)E1 + . . .+ g(ck)Ek ,
ou seja,
g(T) = an
k\u2211
i=1
cni Ei + . . .+ a0
k\u2211
i=1
Ei .
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De fato, basta provar que
Tm =
k\u2211
i=1
cmi Ei ,
para todo inteiro positivo m.
Faremos a demonstrac¸a\u2dco desse fato usando induc¸a\u2dco sobre m.
Se m = 1, temos que T =
k\u2211
i=1
ciEi.
Suponhamos o resultado va´lido para o inteiro m: Tm =
k\u2211
i=1
cmi Ei.
Enta\u2dco,
Tm+1 = Tm T =
(
k\u2211
i=1
cmi Ei
) (
k\u2211
j=1
cjEj
)
=
k\u2211
i=1
k\u2211
j=1
cmi cjEiEj =
k\u2211
i=1
cm+1i Ei ,
pois EiEj = O, se i 6= j, e E2i = Ei, para todo i = 1, . . . , k.
Observac¸a\u2dco 6.2
Se pj sa\u2dco os polino\u2c6mios de Lagrange correspondentes aos escalares
c1, . . . , ck, i.e.
pj =
\u220f
i6=j
x\u2212 ci
cj \u2212 ci
,
temos que
pj(T) =
k\u2211
i=1
pj(ci)Ei = Ei ,
pois pj(ci) = \u3b4ij. Logo, as projec¸o\u2dces Ei sa\u2dco polino\u2c6mios em T .
Observac¸a\u2dco 6.3
Daremos agora uma outra demonstrac¸a\u2dco do seguinte resultado:
T e´ diagonaliza´vel se, e somente se, o seu polino\u2c6mio minimal tem a forma
pm = (x\u2212 c1) . . . (x\u2212 ck) ,
onde c1, . . . , ck \u2208 K sa\u2dco escalares distintos.
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Se T e´ diagonaliza´vel, T = c1E1 + . . .+ ckEk, enta\u2dco,
g(T) = g(c1)E1 + . . .+ g(ck)Ek ,
para todo polino\u2c6mio g \u2208 K[x].
Logo, g(T) = O se, e somente se, g(ci) = 0, para todo i = 1 . . . , k.
Assim,
pm = (x\u2212 c1) . . . (x\u2212 ck) ,
e´ o polino\u2c6mio minimal de T .
Suponhamos agora que T seja um operador linear sobre V com polino\u2c6mio
minimal
pm = (x\u2212 c1) . . . (x\u2212 ck) ,
onde c1, . . . , ck \u2208 K sa\u2dco escalares distintos.
Sejam
pj =
\u220f
i 6=j
x\u2212 ci
cj \u2212 ci
,
os polino\u2c6mios de Lagrange correspondentes aos escalares c1, . . . , ck.
Enta\u2dco, pj(ci) = \u3b4ij e
g = g(c1)p1 + . . .+ g(ck)pk ,
para todo polino\u2c6mio g de grau \u2264 k\u2212 1.
Tomando os polino\u2c6mios g = 1 e g = x, obtemos que
1 = p1 + . . .+ pk (I)
x = c1p1 + . . .+ ckpk .
Observe que a segunda igualdade so´ e´ va´lida se k > 1. Mas, se k = 1, T
e´ um mu´ltiplo do operador identidade, sendo, portanto, diagonaliza´vel.
Seja Ej = pj(T). De (I), temos que
I = p1(T) + . . .+ pk(T) = E1 + . . .+ Ek ,
e
T = c1p1(T) + . . .+ ckpk(T) = c1E1 + . . .+ ckEk .
Observe que, se i 6= j, enta\u2dco pipj e´ divis\u131´vel pelo polino\u2c6mio minimal pm,
pois pipj conte´m x\u2212 c` como fator, para todo ` = 1, . . . , k.
Assim,
EiEj = pi(T)pj(T) = pipj(T) = O , se i 6= j .
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O Teorema da Decomposic¸a\u2dco Prima´ria
Ale´m disso, Ei 6= O, i = 1 . . . , k, pois Ei = pi(T) e pi e´ um polino\u2c6mio de
grau menor que o polino\u2c6mio minimal pm.
Como T = c1E1 + . . . + ckEk, I = E1 + . . . + Ek, EiEj = O, i 6= j, Ei 6= O,
i = 1, . . . , k, e c1, . . . , ck sa\u2dco distintos, temos, pelo Teorema 6.2, que T e´
diagonaliza´vel.
7. O Teorema da Decomposic¸a\u2dco Prima´ria
Ao estudar um operador T usando seus autovalores, iremos nos con-
frontar com dois problemas. Primeiro, T podera´ na\u2dco ter nenhum valor
caracter\u131´stico, que e´ uma deficie\u2c6ncia do corpo dos escalares, a saber, o
corpo na\u2dco e´ algebricamente fechado. Segundo, mesmo que o polino\u2c6mio
caracter\u131´stico se decomponha num produto de polino\u2c6mios de grau 1, po-
dem na\u2dco existir autovetores suficientes para gerar o espac¸o V , que e´,
evidentemente, uma deficie\u2c6ncia do operador T .
Por exemplo, seja T o operador sobre K3 representado, em relac¸a\u2dco
a` base cano\u2c6nica, pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed2 0 01 2 0
0 0 \u22121
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
O polino\u2c6mio caracter\u131´stico de T e´ (x\u2212 2)2(x+ 1).
Como
A\u2212 2I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 01 0 0
0 0 \u22123
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 e A+ I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed3 0 01 3 0
0 0 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
temos que
(A\u2212 2I)(A+ I) =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 03 0 0
0 0 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 6= O .
Logo, pm = (x\u2212 2)2(x+ 1) e´ o polino\u2c6mio minimal de T .
Como posto (A\u2212 2I) = posto (A+ I) = 2, temos que
dim(Ker(T \u2212 2I)) = dim(Ker(T + I)) = 1 ,
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O Teorema da Decomposic¸a\u2dco Prima´ria
ou seja,
Ker(T \u2212 2I)\u2295 Ker(T \u2212 I) 6= K3 .
Mas,
Ker((T \u2212 2I)2)\u2295 Ker(T + I) = K3 ,
pois e3 \u2208 Ker(T + I) e e1, e2 \u2208 Ker((T \u2212 2I)2), uma vez que
(A\u2212 2I)2 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 01 0 0
0 0 \u22123
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 01 0 0
0 0 \u22123
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 00 0 0
0 0 9
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
Mostraremos, no caso geral, que se
pm = (x\u2212 c1)
r1 . . . (x\u2212 ck)
rk
e´ o polino\u2c6mio minimal de T , onde c1, . . . , ck sa\u2dco escalares distintos, enta\u2dco
V = Ker((T \u2212 c1)r1)\u2295 . . .\u2295 Ker((T \u2212 ck)rk) .
Teorema da Decomposic¸a\u2dco
Prima´ria Teorema 7.1
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo K e seja T
um operador linear sobre V .
Seja pm = pr11 . . . prkk o polino\u2c6mio minimal de T , onde os pi \u2208 K[x] sa\u2dco
polino\u2c6mios primos unita´rios distintos e os ri sa\u2dco inteiros positivos.
Seja Wi = Ker(prii (T)) , i = 1, . . . , k.
Enta\u2dco,
(a) V = W1 \u2295 . . .\u2295Wk .
(b) T(Wi) \u2282Wi , i = 1, . . . , k .
(c) Se Ti = T |Wi, enta\u2dco o polino\u2c6mio minimal de Ti e´ prii .
Prova.
Para cada i, seja
fi =
p
p
ri
i
=
\u220f
j6=i
p
rj
j ,
Como p1, . . . , pk sa\u2dco polino\u2c6mios primos distintos, os polino\u2c6mios f1, . . . , fk
sa\u2dco primos entre si.
Assim, existem polino\u2c6mios g1, . . . , gk tais que
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O Teorema da Decomposic¸a\u2dco Prima´ria
k\u2211
i=1
figi = 1 .
Note, tambe´m, que se i 6= j, enta\u2dco fifj e´ divis\u131´vel pelo polino\u2c6mio