Introdução à Álgebra Linear.pdf
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Operadores Nilpotentes
Caso geral.
Seja \u3b4k = dim(Ker(Nk)). Cada bloco j × j, com j \u2264 k \u2212 1, contribui com j
dimenso\u2dces ao Ker(Nk), pois Ker(Nj) \u2282 Ker(Nk) e xj e´ o polino\u2c6mio unita´rio
associado a um bloco j× j.
Se j \u2265 k, cada bloco j× j contribui com k dimenso\u2dces ao Ker(Nk). De fato,
se {w,N(w), . . . , Nj\u22121(w)} e´ a parte da base B de V que da´ origem a um
bloco de ordem k× k, temos, fazendo wi = Ni\u22121(w), i = 1, . . . , j, que
Nk(wi) = N
k(Ni\u22121)(w) = Nk+i\u22121(w) = 0.
se, e so´ se, k+ i\u2212 1 \u2265 j, ou seja i \u2265 j\u2212 k+ 1.
Enta\u2dco, Nk(wi) = 0 para k valores
j\u2212 (k\u2212 1), j\u2212 (k\u2212 2), . . . , j\u2212 (k\u2212 k)
de i. Provamos, assim, que
\u3b4k = 1\u3bd1 + 2\u3bd2 + . . .+ (k\u2212 1)\u3bdk\u22121 + k(\u3bdk + . . .+ \u3bdn) .
Como
\u3b4k\u22121 = \u3bd1 + 2\u3bd2 + . . . (k\u2212 1)\u3bdk\u22121 + (k\u2212 1)(\u3bdk + . . .+ \u3bdn) ,
e
\u3b4k = \u3bd1 + 2\u3bd2 + . . .+ (k\u2212 1)\u3bdk\u22121 + k\u3bdk + k(\u3bdk+1 + . . .+ \u3bdn) ,
temos que
\u3b4k \u2212 \u3b4k\u22121 = \u3bdk + . . .+ \u3bdn .
Logo,
2\u3b41 \u2212 \u3b42 = \u3b41 \u2212 (\u3b42 \u2212 \u3b41) = \u3bd1 + . . .+ \u3bdn \u2212 (\u3bd2 + . . .+ \u3bdn) = \u3bd1
\u2212\u3b4k\u22121 + 2\u3b4k \u2212 \u3b4k+1 = (\u3b4k \u2212 \u3b4k\u22121) \u2212 (\u3b4k+1 \u2212 \u3b4k)
= \u3bdk + . . .+ \u3bdn \u2212 (\u3bdk+1 + . . .+ \u3bdn)
= \u3bdk , se 1 < k < n
\u2212\u3b4n\u22121 + \u3b4n = \u3bdn .
\ufffd
Exemplo 2.1
Seja T o operador linear sobre R3 que e´ representado em relac¸a\u2dco a` base
cano\u2c6nica pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 01 0 0
0 2 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
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Ca´lculo da Forma Cano\u2c6nica dos Operadores Nilpotentes
Como
A2 =
\uf8eb\uf8ed0 0 01 0 0
0 2 0
\uf8f6\uf8f8 \uf8eb\uf8ed0 0 01 0 0
0 2 0
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed0 0 00 0 0
2 0 0
\uf8f6\uf8f8 ,
e
A3 =
\uf8eb\uf8ed0 0 00 0 0
2 0 0
\uf8f6\uf8f8 \uf8eb\uf8ed0 0 01 0 0
0 2 0
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed0 0 00 0 0
0 0 0
\uf8f6\uf8f8 ,
temos que T e´ um operador nilpotente de ordem 3, com polino\u2c6mio minimal
x3.
Assim, a forma cano\u2c6nica de T possui somente um bloco de ordem 3× 3:
B =
\uf8eb\uf8ed0 0 01 0 0
0 1 0
\uf8f6\uf8f8 .
Ou seja, a matriz A e´ semelhante a` matriz B. \ufffd
Exemplo 2.2
Seja T o operador linear sobreR4 representado em relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica
pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0
0 0 0 0
6 7 0 0
8 9 0 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Como \u3b41 = dim(Ker(T)) = 2, temos que a matriz de T na forma cano\u2c6nica
tem 2 blocos. Surgem, enta\u2dco, duas possibilidades:
\u2022 um bloco 3× 3 e um bloco 1× 1;
\u2022 dois blocos 2× 2.
Mas, como A2 = O, temos que pm = x2 e´ o polino\u2c6mio minimal de T , ou
seja, T e´ nilpotente de ordem 2.
Logo, a matriz B na forma cano\u2c6nica de T tem dois blocos 2× 2, ou seja,
B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
sendo A semelhante a B. \ufffd
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Exemplo 2.3
Seja T o operador linear sobre R5 que e´ representado em relac¸a\u2dco a` base
cano\u2c6nica pela matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 2 3 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Como A2 = 0, temos que pm = x2 e´ o polino\u2c6mio minimal de T e, portanto,
T e´ nilpotente de ordem 2.
Ale´m disso, \u3b41 = dim(Ker(N)) = 3, ou seja, a matriz de T na forma
cano\u2c6nica tem 3 blocos, sendo o primeiro deles uma matriz 2× 2.
Logo, a matriz B, forma cano\u2c6nica de A, tem dois blocos 2 × 2 e um bloco
1× 1, ou seja,
B =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
sendo A semelhante a B \ufffd
Exemplo 2.4
Determine todas as formas cano\u2c6nicas poss\u131´veis de uma matriz 10× 10 A,
cujo polino\u2c6mio minimal e´ pm = x3 e cujo posto e´ 6. Determine, tambe´m,
para cada caso poss\u131´vel, a dimensa\u2dco de Ker(A2).
Como posto (A) = 6, temos que \u3b41 = dim(Ker(A)) = 4, ou seja, a forma
cano\u2c6nica de A tem 4 blocos.
Ale´m disso, \u3b43 = dim(Ker(A3)) = 10, pois x3 e´ o polino\u2c6mio minimal de A.
Sendo
\u3bd1 = 2\u3b41 \u2212 \u3b42 = 8\u2212 \u3b42 \u2265 0
\u3bd2 = \u2212\u3b41 + 2\u3b42 \u2212 \u3b43 = 2\u3b42 \u2212 14 \u2265 0
\u3bd3 = \u2212\u3b42 + \u3b43 = \u2212\u3b42 + 10 \u2265 0 .
temos que 7 \u2264 \u3b42 \u2264 8.
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Se \u3b42 = Ker(N2) = 7, \u3bd1 = 1, \u3bd2 = 0 e \u3bd3 = 3, ou seja, a matriz na forma
cano\u2c6nica tem 3 blocos 3× 3 e um bloco 1× 1, sendo, portanto,\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
.
Se \u3b42 = Ker(A2) = 8, enta\u2dco \u3bd1 = 0, \u3bd2 = 2 e \u3bd3 = 2, ou seja, a matriz na
forma cano\u2c6nica tem dois blocos 3× 3 e dois blocos 2× 2, sendo, portanto,\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
.
\ufffd
Vamos, agora, mostrar um me´todo para determinar uma base B de
V de modo que [N]B esta´ na forma cano\u2c6nica.
Suponhamos que N seja um operador nilpotente de ordem k, ou
seja, Nk = O e Nk\u22121 6= O.
Afirmac¸a\u2dco: Nk\u22121(V) Nk\u22122(V) . . . N(V) N0(V) = V .
De fato, temos que, para j \u2264 k\u2212 1, Nk\u2212j(V) \u2282 Nk\u2212j\u22121(V).
Resta mostrar que Nk\u2212j(V) 6= Nk\u2212j\u22121(V) .
Seja
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N : Nk\u2212j\u22121(V) \u2212\u2192 Nk\u2212j(N) \u2282 Nk\u2212j\u22121(V).
Se
Nk\u2212j(V) = N(Nk\u2212j\u22121(V)) = Nk\u2212j\u22121(V) ,
ter\u131´amos que N|Nk\u2212j\u22121(V) seria sobrejetora e, portanto, injetora, que e´ uma
contradic¸a\u2dco, conforme provaremos abaixo.
Seja w \u2208 V tal que Nk\u22121(w) 6= 0. Como
Nk\u22121(w) = Nk\u2212j\u22121(Nj(w)) \u2208 Nk\u2212j\u22121(V) e N(Nk\u22121(w)) = 0 ,
temos que N|Nk\u2212j\u22121(V) na\u2dco e´ injetora.
Seja {u1, . . . , u\u3bdk} uma base de Nk\u22121(V).
Enta\u2dco, existemw11, . . . , w1\u3bdk \u2208 V tais queNk\u22121(w1i ) = ui, i = 1, . . . , \u3bdk.
Ale´m disso,
{w11,N(w
1
1), . . . , N
k\u22121(w11)} \u222a {w12,N(w12), . . . , Nk\u22121(w12)} \u222a . . .
\u222a {w1\u3bdk,N(w1\u3bdk), . . . , Nk\u22121(w1\u3bdk)} ,
e´ um conjunto LI, pois se
w =
\u3bdk\u2211
i=1
a1iw
1
i +
\u3bdk\u2211
i=1
a2iN(w
1
i ) + . . .+
\u3bdk\u2211
i=1
akiN
k\u22121(w1i ) = 0 ,
temos que Nk\u22121(w) = 0, ou seja,\u2211\u3bdk
i=1 a
1
iN
k\u22121(w1i ) = 0 ,
pois
Nk\u22121
(
\u3bdk\u2211
i=1
a
j+1
i N
j(w1i )
)
=
\u3bdk\u2211
i=1
a
j+1
i N
k+j\u22121(w1i ) = 0 ,
ja´ que k+ j\u2212 1 \u2265 k, para j \u2265 1.
Logo, a1i = 0, i = 1, . . . , \u3bdk, pois
{Nk\u22121(w11), . . . , N
k\u22121(w1\u3bdk)}
e´ um conjunto LI.
Aplicando Nk\u22122 ao vetor
\u3bdk\u2211
i=1
a2iN(w
1
i ) + . . .+
\u3bdk\u2211
i=1
akiN
k\u22121(w1i ) = 0 ,
obtemos que a21 = . . . = a2\u3bdk = 0.
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Prosseguindo dessa maneira, chegaremos que aji = 0, i = 1, . . . , \u3bdk,
j = 1, . . . , k.
\u2022 Os vetores do conjunto
{Nk\u22121(w11), . . . , N
k\u22121(w1\u3bdk)} \u222a {Nk\u22122(w11), . . . , Nk\u22122(w1\u3bdk)}
sa\u2dco LI e pertencem ao subespac¸o Nk\u22122(V).
Se esses vetores na\u2dco geram Nk\u22122(V), existem vetores u1, . . . , u\u3bdk\u22121
tais que Nk\u22122(u1), . . . , Nk\u22122(u\u3bdk\u22121) completam a base acima.
Afirmac¸a\u2dco: Podemos substituir cada ui por um vetor w2i de modo
que os vetores
Nk\u22122(w21), . . . , N
k\u22122(w2\u3bdk\u22121)
completem a base acima e, ale´m disso, Nk\u22121(w2i ) = 0, i = 1, . . . , \u3bdk\u22121.
De fato, como
N(Nk\u22122(ui)) = N
k\u22121(ui) \u2208 Nk\u22121(V) ,
existem escalares \u3bbi1, . . . , \u3bbi\u3bdk, tais que
N(Nk\u22122(ui)) = N
k\u22121(ui) = \u3bb
i
1N
k\u22121(w11) + . . .+ \u3bb
i
\u3bdk
Nk\u22121(w1\u3bdk) .
Enta\u2dco
N(Nk\u22122(ui \u2212 \u3bb
i
1w
1
1 \u2212 . . .\u2212 \u3bb
i
\u3bdk
w1\u3bdk)) = 0 .
Fazendo
w2i = ui \u2212 \u3bb
i
1w
1
1 \u2212 . . .\u2212 \u3bb
i
\u3bdk
w1\u3bdk ,
temos que Nk\u22121(w2i ) = 0 e
Nk\u22122(w2i ) = N
k\u22122(ui) \u2212 \u3bb
i
1N
k\u22122(w11) \u2212 . . .\u2212 \u3bb
i
\u3bdk
Nk\u22122(w1\u3bdk).
Logo, o subespac¸o gerado por
{Nk\u22121(w11), . . . , N
k\u22121(w1\u3bdk)} \u222a {Nk\u22122(w11), . . . , Nk\u22122(w1\u3bdk)}
\u222a {Nk\u22122(w21), . . . , Nk\u22122(w2\u3bdk\u22121)}
e´ igual ao subespac¸o Nk\u22122(V), gerado por
{Nk\u22121(w11), . . . , N
k\u22121(w1\u3bdk)} \u222a {Nk\u22122(w11), . . . , Nk\u22122(w1\u3bdk)}
\u222a {Nk\u22122(u1), . . . , Nk\u22122(u\u3bdk\u22121)}.
Ale´m disso,
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{Nk\u22121(w11), .