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base B \u2032i pertence ao nu´cleo de
(T \u2212 \u3bbiI)
n
, ou seja, \u2dcWi \u2282 Ker((T \u2212 \u3bbiI)n) e que dim(Ker((T \u2212 \u3bbiI)n)) = `i.
Mas como dim( \u2dcWi) = `i, temos que \u2dcWi = Ker((T \u2212 \u3bbiI)n).
Fazendo o mesmo com os subespac¸os T\u2212invariantes Wi obtidos da
base B, vemos que Wj = Ker((T \u2212 cjI)n), j = 1, . . . , k. Como \u3bbi = c\u3c3i,
temos que
\u2dcWi = Ker((T \u2212 \u3bbiI)n) = Ker((T \u2212 c\u3c3iI)n) = W\u3c3i .
Logo,
[(T \u2212 c\u3c3iI)| \u2dcWi]B\u3c3i = A\u3c3i \u2212 c\u3c3iI ,
e
[(T \u2212 c\u3c3iI)| \u2dcWi]B \u2032i = \u2dcAi \u2212 c\u3c3iI = \u2dcAi \u2212 \u3bbiI ,
esta\u2dco na forma cano\u2c6nica racional. Pela unicidade, temos \u2dcAi = A\u3c3i.
Observac¸a\u2dco 3.1
(1) SejaK um corpo algebricamente fechado e T um operador linear sobre
um espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco finita sobre K. Enta\u2dco existe uma base
B tal que [T ]B esta´ na forma cano\u2c6nica de Jordan.
(2) O operador T e´ diagonaliza´vel se, e somente se, ni = di, ou seja,
dim(Ker(T \u2212 ciI)) e´ a multiplicidade de ci como raiz de pc, para todo
i = 1, . . . , k.
(3) Se o operador T e´ nilpotente, a forma cano\u2c6nica de Jordan de T e´ igual
a sua forma racional.
Exemplo 3.1
Seja T um operador linear sobre C2. Enta\u2dco o polino\u2c6mio caracter\u131´stico de
T pode ser (x\u2212 c1)(x\u2212 c2), com c1 6= c2, ou (x\u2212 c)2.
No primeiro caso, T e´ diagonaliza´vel e e´ representado em relac¸a\u2dco a
alguma base ordenada B por
[T ]B =
(
c1 0
0 c2
)
.
No segundo caso, o polino\u2c6mio minimal de T pode ser x\u2212 c ou (x\u2212 c)2.
Se pm = x\u2212 c, temos que T = cI e
[T ]B =
(
c 0
0 c
)
,
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Forma Cano\u2c6nica de Jordan
para qualquer base B de C2.
Se pm = (x\u2212 c)2, existe uma base B de C2 tal que
[T ]B =
(
c 0
1 c
)
.
Assim, toda matriz 2 × 2 sobre o corpo C e´ semelhante a uma matriz de
um dos dois tipos (
c 0
1 c
)
e
(
c1 0
0 c2
)
,
podendo ser c1 6= c2 ou c1 = c2. \ufffd
Exemplo 3.2
Seja A a matriz 3× 3 com entradas em C dada por
A =
\uf8eb\uf8ed2 0 0a 2 0
b c \u22121
\uf8f6\uf8f8
.
O polino\u2c6mio caracter\u131´stico de A e´ (x\u2212 2)2(x+ 1).
Se o polino\u2c6mio minimal de A e´ (x \u2212 2)2(x + 1), enta\u2dco A e´ semelhante a`
matriz
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ed2 0 01 2 0
0 0 \u22121
\uf8f6\uf8f8 ,
na forma cano\u2c6nica de Jordan.
Se pm = (x\u22122)(x\u22121), A e´ diagonaliza´vel e, portanto, semelhante a` matriz
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ed2 0 00 2 0
0 0 \u22121
\uf8f6\uf8f8
.
Como
(A\u2212 2I)(A+ I) =
\uf8eb\uf8ed 0 0 03a 0 0
ac 0 0
\uf8f6\uf8f8 ,
temos que A e´ semelhante a uma matriz diagonal se, e somente se, a = 0.
\ufffd
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Forma Cano\u2c6nica de Jordan
Exemplo 3.3
Seja A a matriz 4× 4 dada por
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 a 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
O polino\u2c6mio caracter\u131´stico de A e´ (x\u22122)4 e seu polino\u2c6mio minimal e´ (x\u22122)2
pois A e´ formada por dois blocos 2× 2.
O primeiro bloco da matriz na forma cano\u2c6nica semelhante a A tem tama-
nho 2× 2, e o nu´mero de blocos e´ dim(Ker(A\u2212 2I)).
Como
A\u2212 2I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 a 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
temos que dim(Ker(A\u2212 2I)) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f32 , se a 6= 0 ,3 , se a = 0 .
Logo, A e´ semelhante a
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 1 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , se a 6= 0 ,
e e´ semelhante a
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , se a = 0 .
Observe que essas matrizes possuem polino\u2c6mios caracter\u131´sticos e mini-
mais iguais, mas na\u2dco sa\u2dco semelhantes, pois possuem formas cano\u2c6nicas
de Jordan diferentes. \ufffd
Exemplo 3.4
Seja A a matriz 3× 3 dada por
A =
\uf8eb\uf8ed 2 1 0\u22121 \u22122 1
1 \u22121 1
\uf8f6\uf8f8 .
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Enta\u2dco,
pc = det(xI\u2212A) = det
\uf8eb\uf8edx\u2212 2 \u22121 01 x+ 2 \u22121
\u22121 1 x\u2212 1
\uf8f6\uf8f8
= (x\u2212 2)((x+ 2)(x\u2212 1) + 1) + (x\u2212 1) \u2212 1
= (x\u2212 2)(x2 + x\u2212 1+ 1) = (x\u2212 2)x(x+ 1) .
Logo, pm = pc e A e´ diagonaliza´vel, ou seja, A e´ semelhante a` matriz
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed2 0 00 0 0
0 0 \u22121
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
\ufffd
Exemplo 3.5
Seja A a matriz 4× 4 dada por
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 0 0 0
1 3 0 0
2 \u22121 1 0
2 1 1 3
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Como pc = (x\u2212 1)(x\u2212 2)(x\u2212 3)2 e dim(Ker(A\u2212 3I)) = 1, pois
A\u2212 3I =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u22121 0 0 0
1 0 0 0
2 \u22121 \u22122 0
2 1 1 0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
temos que pm = pc = (x\u2212 1)(x\u2212 2)(x\u2212 3)2.
Logo, a matriz na forma cano\u2c6nica de Jordan semelhante a A e´
\u2dcA =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
3 0 0 0
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
\ufffd
Exemplo 3.6
Determine todas as matrizes na forma cano\u2c6nica de Jordan com polino\u2c6mio
caracter\u131´stico
pc = (x\u2212 2)
3(x\u2212 3)4(x\u2212 1) ,
e polino\u2c6mio minimal
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Forma Cano\u2c6nica de Jordan
pm = (x\u2212 2)
2(x\u2212 3)2(x\u2212 1) .
Determine, tambe´m, em cada caso poss\u131´vel, as dimenso\u2dces dos autoes-
pac¸os E1, E2 e E3 associados aos autovalores 1, 2 e 3, respectivamente.
Podemos ver facilmente que dim(E1) = 1 e dim(E2) = 2.
Como o primeiro bloco associado ao autovalor 3 e´ 2 × 2 e 3 tem multipli-
cidade 4 como raiz do polino\u2c6mio caracter\u131´stico, podemos ter dim(E3) = 2
ou dim(E3) = 3.
Nas matrizes ao lado, os
espac¸os vazios indicam zeros.
Caso 1. Se dim(E3) = 2, a matriz na forma cano\u2c6nica de Jordan e´\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
3 0
1 3
3 0
1 3
2 0
1 2
2
1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
8×8
.
Caso 2. Se dim(E3) = 3, a matriz na forma cano\u2c6nica de Jordan e´\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
3 0
1 3
3
3
2 0
1 2
2
1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
8×8
.
\ufffd
Exemplo 3.7
Seja A a matriz 3× 3
A =
\uf8eb\uf8ed 2 1 3\u22121 \u22122 1
3 \u22121 4
\uf8f6\uf8f8
.
Enta\u2dco,
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Forma Cano\u2c6nica de Jordan Real
pc = det(xI\u2212A) = det
\uf8eb\uf8edx\u2212 2 \u22121 \u221231 x+ 2 \u22121
\u22123 1 x\u2212 4
\uf8f6\uf8f8
= (x\u2212 2)((x+ 2)(x\u2212 4) + 1) + (\u2212(x\u2212 4) + 3) \u2212 3(1+ 3(x+ 2))
= (x\u2212 2)(x2 \u2212 2x\u2212 7) + (\u2212x+ 7) \u2212 3(3x+ 7)
= (x\u2212 2)(x2 \u2212 2x\u2212 7) + (\u221210x\u2212 14)
= x3 \u2212 2x2 \u2212 7x\u2212 2x2 + 4x+ 14\u2212 10x\u2212 14
= x3 \u2212 4x2 \u2212 13x
= x(x2 \u2212 4x\u2212 13) .
Como pc tem tre\u2c6s ra\u131´zes reais distintas, pm = pc e A e´ diagonaliza´vel.
Como pm = pc, a matriz na forma cano\u2c6nica racional que e´ semelhante a
A e´ \uf8eb\uf8ec\uf8ed0 0 01 0 13
0 1 4
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
\ufffd
4. Forma Cano\u2c6nica de Jordan Real
Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo R dos nu´meros reais. O
complexificado de V e´ o espac¸o vetorial sobre o corpo C dos nu´meros
complexos
V\u302 = {(u, v) |u, v \u2208 V} ,
com as operac¸o\u2dces de adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco por escalares definidas por:
(u, v) + (u \u2032, v \u2032) = (u+ u \u2032, v+ v \u2032)
(a+ ib) (u, v) = (au\u2212 bv, bu+ av) .
O conjunto V\u302 com essas operac¸o\u2dces e´ de fato um espac¸o vetorial
sobre C. provaremos apenas que
((a+ ib)(c+ id))(u, v) = (a+ ib)((c+ id)(u, v)) ,
ficando a verificac¸a\u2dco das outras propriedades como exerc\u131´cio:
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((a+ ib)(c+ id))(u, v) = ((ac\u2212 bd) + i(bc+ ad))(u, v)
= ((ac\u2212 bd)u\u2212 (bc+ ad)v, (bc+ ad)u+ (ac\u2212 bd)v)
= (a(cu\u2212 dv) \u2212 b(du+ cv), b(cu\u2212 dv) + a(du+ cv))
= (a+ ib)(cu\u2212 dv, du+ cv)
= (a+ ib)((c+ id)(u, v)).
Observac¸a\u2dco 4.1
(1) Em particular, (u, v) = (u,0) + i(v,0) .
(2) Se a \u2208 R, a(u, v) = (au, a v) .
Afirmac¸a\u2dco: dimC(V\u302) = dimR(V) .
Seja B = {w1, . . . , wn} uma base de V . Vamos provar que
B\u302 = {(w1,0), . . . , (wn,0)}
e´ uma base de V\u302 .
Seja (u, v) \u2208 V\u302 . Enta\u2dco, existem escalares ai \u2208 R e bi \u2208 R, tais que
u = a1w1 + . . .+ anwn e v = b1w1 + . . .+ bnwn .
Assim,
(a1 + ib1)(w1,0) + . . .+ (an + ibn)(wn,0)
= (a1w1, b1w1) + . . .+ (anwn, bnwn)
= (a1w1 + . . .+ anwn, b1w1 + . . .+ bnwn)
= (u, v) .
Se (u, v) = (0,0), ou seja, se
(a1 + ib1)(w1,0) + . . .+ (an + ibn)(wn,0) = (0,0) ,
temos que a1w1 + . . .+ anwn = 0 = b1w1 + . . .+ bnwn.
Logo, a1 = . . . = an = 0 = b1 = . . . = bn.
Ou seja, os vetores (w1,0), . . . , (wn,0) sa\u2dco LI e geram o espac¸o
vetorial V\u302 .
\u2022 Seja T um operador linear sobre o espac¸o vetorial V sobre R.
Definimos a aplicac¸a\u2dco
T\u302 : V\u302 \u2212\u2192 V\u302
(u, v) \u2212\u2192 T\u302(u, v) = (T(u), T(v)) .
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Afirmac¸a\u2dco: T\u302 e´ linear sobre C.
De fato,