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```\u2212 µI)s = \u3c3(Ker(T\u302 \u2212 µI)s), para µ = a+ ib, b > 0 .
De fato, (T\u302 \u2212 µI)s = pµ(T\u302), onde pµ = (x\u2212 µ)s e´ um polino\u2c6mio cujos
coeficientes sa\u2dco polino\u2c6mios em µ com coeficientes inteiros, pois:
pµ = x
s + ps\u22121(µ)x
s\u22121 + . . .+ p1(µ)x+ p0(µ) ,
com
ps\u2212j(µ) = (\u22121)
j
(
s
j
)
µj = (\u22121)j
s !
j ! (s\u2212 j) !
µj .
Logo, (T\u302 \u2212µI)s = (T\u302)s+ps\u22121(µ) (T\u302)s\u22121+ . . .+p1(µ)T\u302 +p0(µ) = pµ(T\u302),
pois
pµ = x
s + ps\u22121(µ)x
s\u22121 + . . .+ p1(µ)x+ p0(µ)
= xs + ps\u22121(µ)x
s\u22121 + . . .+ p1(µ)x+ p0(µ) ,
ja´ que os coeficientes de pj sa\u2dco inteiros.
Enta\u2dco, se pµ = gµ + ihµ , gµ, hµ \u2208 R[x], temos que
(T\u302 \u2212 µI)s = pµ(T\u302) = gµ(T\u302) + ihµ(T\u302) , e (T\u302 \u2212 µI)s = pµ(T\u302) = gµ(T\u302) \u2212 ihµ(T\u302) .
Assim, como gµ e hµ te\u2c6m coeficientes reais,
pµ(T\u302)(u, v) = g\u302µ(T)(u, v) + ih\u302µ(T)(u, v)
= (gµ(T)(u), gµ(T)(v)) + i(hµ(T)(u), hµ(T)(v))
= (gµ(T)(u), gµ(T)(v)) + (\u2212hµ(T)(v), hµ(T)(u))
= (gµ(T)(u) \u2212 hµ(T)(v), gµ(T)(v) + hµ(T)(u)) .
(T\u302 \u2212 µI)s(u,\u2212v) = gµ(T\u302)(u,\u2212v) \u2212 ihµ(T\u302)(u,\u2212v)
= (gµ(T)(u),\u2212gµ(T)(v)) \u2212 i(hµ(T)(u),\u2212hµ(T)(v))
= (gµ(T)(u),\u2212gµ(T)(v)) + (\u2212hµ(T)(v),\u2212hµ(T)(u))
= (gµ(T)(u) \u2212 hµ(T)(v),\u2212gµ(T)(v) \u2212 hµ(T)(u)) ,
ou seja,
(T\u302 \u2212 µI)s(\u3c3(u, v)) = \u3c3((T\u302 \u2212 µI)s(u, v)) .
Logo, se (u, v) \u2208 Ker(T\u302 \u2212 µI)s enta\u2dco \u3c3(u, v) \u2208 Ker(T\u302 \u2212 µI)s. Assim,
\u3c3(Ker(T\u302 \u2212 µI)s) \u2282 Ker(T\u302 \u2212 µI)s .
De modo ana´logo, temos que
J. Delgado - K. Frensel 249 Instituto de Matema´tica - UFF
Forma Cano\u2c6nica de Jordan Real
\u3c3(Ker(T\u302 \u2212 µI)s) \u2282 Ker(T\u302 \u2212 µI)s .
Logo,
Ker(T\u302 \u2212 µI)s = \u3c32(Ker(T\u302 \u2212 µI)s) \u2282 \u3c3(Ker(T\u302 \u2212 µI)s) .
Portanto,
Ker(T\u302 \u2212 µI)s = \u3c3(Ker(T\u302 \u2212 µI)s)
e
dim(Ker(T\u302 \u2212 µI)s) = dim(Ker(T\u302 \u2212 µI)s) ,
para todo s \u2208 N.
Se µj, µj, j = 1, . . . , k, sa\u2dco as ra\u131´zes complexas de pc, temos que
dim(Ker(T\u302\u2212µjI)s) = dim(Ker(T\u302\u2212µjI)s), para todo s \u2208 N. Logo, Aµj = Aµj ,
onde Aµj e´ a matriz na forma cano\u2c6nica de T\u302 |Vj , Aµj e´ a matriz na forma
cano\u2c6nica de T\u302 |Vj , Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)
rj e Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj .
Afirmac¸a\u2dco: Se Bj e´ uma base de Vj tal que [T\u302 |Vj ]Bj = Aµj , enta\u2dco
Bj = \u3c3(Bj) e´ base de Vj e [T\u302 |Vj ]Bj = Aµj .
Seja
Bj = B1j \u222a . . . \u222a B`j , ` = dim(Ker(T\u302 \u2212 µjI)) ,
onde Bij = {(v1, w1), . . . , (vk, wk)} e´ um conjunto LI de vetores de V\u302 que da´
origem a um bloco de ordem k de Aµj .
Enta\u2dco,
(T(vp), T(wp)) = T\u302(vp, wp) = µj(vp, wp) + (vp+1, wp+1) , 1 \u2264 p \u2264 k\u2212 1 ,
e
(T(vk), T(wk)) = T\u302(vk, wk) = µj(vk, wk) .
Como T\u302\u3c3 = \u3c3T\u302 , temos que
T\u302(vp,\u2212wp) = (T(vp),\u2212T(wp)) = \u3c3(T(vp), T(wp))
= \u3c3(T\u302(vp, wp)) = \u3c3(µj(vp, wp) + (vp+1, wp+1))
= µj(vp,\u2212wp) + (vp+1,\u2212wp+1) ,
e
T\u302(vk,\u2212wk) = (T(vk),\u2212T(wk)) = \u3c3(T(vk), T(wk))
= \u3c3(T\u302(vk, wk)) = \u3c3(µj(vk, wk)) = µj(vk,\u2212wk) .
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Observac¸a\u2dco 4.3
Sejam Bj = {(v1, w1), . . . , (vdj , wdj)} e Bj = {(v1,\u2212w1), . . . , (vdj ,\u2212wdj)} ba-
ses de Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj e Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj , respectivamente, onde
dj = dim(Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj) = dim(Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj) , tais que [T\u302 |Vj ]Bj = Aµj e
[T\u302 |Vj ]Bj = Aµj esta\u2dco na forma cano\u2c6nica.
Como Vj e Vj sa\u2dco subespac¸os LI, pois esta\u2dco associados a autovalores µj
e µj, distintos, temos que
{(v1, w1), . . . , (vdj , wdj), (v1,\u2212w1), . . . , (vdj ,\u2212wdj)}
e´ uma base de Vj \u2295 Vj.
Afirmac¸a\u2dco: Seja pj = (x\u2212 µj)(x\u2212 µj) \u2208 R[x], j = 1, . . . , k.
Enta\u2dco,
Vj \u2295 Vj = (Ker(pj(T))rj) ^
e {v1 +w1, v1 \u2212w1, . . . , vdj +wdj , vdj \u2212wdj} e´ uma base de Ker(pj(T)rj).
Pelo Teorema Generalizado de Cayley-Hamilton, temos que
dim(Ker(pj(T)rj)) = dj × grau(pj) = 2dj .
Sejam pµj = (x\u2212 µj)rj e pµj = (x\u2212 µj)rj .
Como pµj = gµj+ihµj e pµj = gµj\u2212 ihµj , onde gµj , hµj \u2208 R[x], temos:
p
rj
j = pµjpµj = (gµj + ihµj)(gµj \u2212 ihµj) = g
2
µj
+ h2µj .
Sendo
(T\u302 \u2212 µjI)
rj = pµj(T\u302) = (gµj + ihµj)(T\u302) ,
temos que (u, v) \u2208 Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj = Ker(gµj + ihµj)(T\u302) se, e somente
se,
(0,0) = (gµj + ihµj)(T\u302)(u, v) = (gµj(T\u302) + ihµj(T\u302))(u, v)
= gµj(T\u302)(u, v) + ihµj(T\u302)(u, v)
= (gµj(T)(u), gµj(T)(v)) + i(hµj(T)(u), hµj(T)(v))
= (gµj(T)(u), gµj(T)(v)) + (\u2212hµj(T)(v), hµj(T)(u))
= (gµj(T)(u) \u2212 hµj(T)(v), gµj(T)(v) + hµj(T)(u)) ,
ou seja gµj(T)(u) = hµj(T)(v) e gµj(T)(v) = \u2212hµj(T)(u) .
Logo,
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p
rj
j (T)(u) = g
2
µj
(T)(u) + h2µj(u) = gµj(T)hµj(T)(v) \u2212 hµj(T)gµj(T)(v) = 0 ,
e
p
rj
j (T)(v) = g
2
µj
(T)(v) + h2µj(v) = \u2212gµj(T)hµj(T)(u) + hµj(T)gµj(T)(u) = 0 .
Como
(Ker(pj(T)rj)) ^ = {(u, v) |pj(T)rj(u) = pj(T)rj(v) = 0}
= {(u, v) |g2µj(T)(u) + h
2
µj
(T)(u) = g2µj(T)(v) + h
2
µj
(T)(v) = 0} ,
temos que Vj \u2282 (Ker(pj(T)rj)) ^ .
Sendo (T\u302 \u2212 µjI)rj = pµj(T\u302) = (gµj \u2212 ihµj)(T\u302), podemos provar, de
modo ana´logo, que se
(u, v) \u2208 Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj = Ker(pµj(T\u302)) = Ker((gµj \u2212 ihµj)(T\u302)) ,
enta\u2dco (u, v) \u2208 (Ker(pj(T)rj)) ^ .
Logo, Vj \u2295 Vj \u2282 (Ker(pj(T)rj)) ^ . Como
dim(Vj \u2295 Vj) = 2dj = dim(Ker(pj(T)rj)) ^ ,
temos que
Vj \u2295 Vj = (Ker(pj(T)rj)) ^ .
Vamos, agora, provar que
{v1 +w1, v1 \u2212w1, . . . , vdj +wdj , vdj \u2212wdj}
e´ uma base de Ker(pj(T)rj) .
De fato, como (vi, wi) \u2208 Vj e (vi,\u2212wi) \u2208 Vj, i = 1, . . . , dj, temos que:
\u2022 (vi, wi) + i(vi,\u2212wi) = (vi +wi, vi +wi) \u2208 Vj \u2295 Vj = (Ker(pj(T)rj) ^ ) ;
\u2022 (vi, wi) \u2212 i(vi,\u2212wi) = (vi \u2212wi,\u2212(vi \u2212wi)) \u2208 Vj \u2295 Vj = (Ker(pj(T)rj) ^ ) .
Logo, vi +wi, vi \u2212wi \u2208 Ker(pj(T)rj) , i = 1, . . . , dj.
\u2022 Os vetores
(v1 +w1, v1 +w1), . . . , (vdj +wdj , vdj +wdj), . . . ,
(v1 \u2212w1,\u2212(v1 \u2212w1)), . . . , (vdj \u2212wdj ,\u2212(vdj \u2212wdj))
formam uma base de Vj \u2295 Vj = (Ker(pj(T)rj)) ^ .
Como dim(Ker(pj(T))r) ^ = 2dj, basta mostrar que esses vetores
sa\u2dco LI.
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Sejam \u3bb1, . . . , \u3bbdj , \u3b41, . . . , \u3b4dj \u2208 C, tais que
\u3bb1(v1 +w1, v1 +w1) + . . .+ \u3bbdj(vdj +wdj , vdj +wdj)
+\u3b41(v1 \u2212w1,\u2212(v1 \u2212w1)) + . . .+ \u3b4dj(vdj \u2212wdj ,\u2212(vdj \u2212wdj)) = (0,0) .
Como
(vi +wi, vi +wi) = (vi, wi) + i(vi,\u2212wi)
e
(vi \u2212wi,\u2212(vi \u2212wi)) = (vi, wi) \u2212 i(vi,\u2212wi) ,
para i = 1, . . . , dj, temos que
(\u3bb1 + \u3b41)(v1, w1) + . . .+ (\u3bbdj + \u3b4dj)(vdj , wdj)
+(\u3bb1 \u2212 \u3b41)(v1,\u2212w1) + . . .+ (\u3bbdj \u2212 \u3b4dj)(vdj ,\u2212wdj) = (0,0) .
Logo, \u3bbi + \u3b4i = \u3bbi \u2212 \u3b4i = 0, i = 1, . . . , dj, pois
(v1, w1), . . . , (vdj , wdj), (v1,\u2212w1), . . . , (vdj ,\u2212wdj)}
e´ uma base de Vj \u2295 Vj.
Enta\u2dco, \u3bbi = \u3b4i = 0, i = 1, . . . , dj.
Seja
(a1 + ib1)(v1 +w1, v1 +w1) + . . .+ (adj + ibdj)(vdj +wdj , vdj +wdj)
+(c1 + ie1)(v1 \u2212w1,\u2212(v1 \u2212w1)) + . . .+ (cdj + iedj)(vdj \u2212wdj ,\u2212(vdj \u2212wdj))
(I)
uma combinac¸a\u2dco linear dos vetores da base
{(v1 +w1, v1 +w1), . . . , (vdj +wdj , vdj +wdj),
(v1 \u2212w1,\u2212(v1 \u2212w1)), . . . , (vdj \u2212wdj ,\u2212(vdj \u2212wdj))}
de (Ker(pj(T)rj)) ^ , onde ai, bi, ci, ei \u2208 R, i = 1, . . . , dj.
Como para todo i = 1, . . . , dj:
(ai + ibi)(vi +wi, vi +wi) = ((ai \u2212 bi)(vi +wi), (ai \u2212 bi)(vi +wi))
e
(ci + iei)(vi \u2212wi,\u2212(vi \u2212wi)) = ((ci + ei)(vi \u2212wi), (ei \u2212 ci)(vi \u2212wi)) ,
temos que a combinac¸a\u2dco linear (I) pode ser reescrita na forma:
((a1 \u2212 b1)(v1 +w1), (a1 + b1)(v1 +w1)) + . . .
+((c1 + e1)(v1 \u2212w1), (e1 \u2212 c1)(v1 \u2212w1)) + . . .
+((cdj + edj)(vdj \u2212wdj), (edj \u2212 cdj)(vdj \u2212wdj)) .
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Logo, todo vetor pertencente a Ker(pj(T)rj) pode ser escrito como
uma combinac¸a\u2dco linear dos vetores do conjunto
{v1 +w1, . . . , vdj +wdj , v1 \u2212w1, . . . , vdj \u2212wdj} .
Como dim(Ker(pj(T)rj)) = 2dj, temos que esse conjunto e´ uma base
de Ker(pj(T)rj). Como quer\u131´amos provar.
\u2022 Seja µj = aj + ibj, bj > 0, j = 1, . . . , k um autovalor complexo de T\u302 .
Seja Bj = {(v1, w1), . . . , (vdj , wdj)} uma base de Vj = Ker(T\u302 \u2212 µjI)rj)
tal que Aµj = [T\u302 |Vj ]Bj esta´ na forma cano\u2c6nica de Jordan. Enta\u2dco, Bj =
{(v1,\u2212w1), . . . , (vdj ,\u2212wdj)} e´ uma base de Vj = Ker((T\u302 \u2212 µjI)rj) tal que
Aµj = [T\u302 |Vj ]Bj esta´ na forma cano\u2c6nica de Jordan e```