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\u22121 + \u3c3N0\u3c3
\u22121 = D1 +N1 .
Enta\u2dco, pela unicidade, D0 = \u3c3D0\u3c3\u22121 e N0 = \u3c3N0\u3c3\u22121, ou seja, \u3c3D0 = D0\u3c3
e \u3c3N0 = N0\u3c3.
Pelo lema anterior, existem S : V \u2212\u2192 V e N : V \u2212\u2192 V operadores lineares
tais que D0 = S\u302 e N0 = N\u302.
Logo, S e´ semi-simples e N e´ nilpotente, pois se Nk0 = O, temos
Nk0(u,0) = (Nk(u),0) = (0,0) ,
para todo u \u2208 V , ou seja, Nk = O.
Temos, tambe´m, que
\u2022 SN = NS, pois:
(SN\u2212NS)\u302(u, v) = ((SN\u2212NS)(u), (SN\u2212NS)(v))
= (SN(u), SN(v)) \u2212 (NS(u),NS(v))
= S\u302N\u302(u, v) \u2212 N\u302S\u302(u, v)
= (S\u302N\u302\u2212 N\u302S\u302)(u, v)
= (D0N0 \u2212N0D0)(u, v)
= (0,0) .
\u2022 L = S+N, pois, como L\u302 = D0+N0 = S\u302+N\u302, temos que (L\u2212S\u2212N)\u302 = O.
Unicidade.
Sejam S1 : V \u2212\u2192 V um operador semi-simples e N1 : V \u2212\u2192 V um opera-
dor nilpotente tais que: L = S1 +N1 e S1N1 = N1S1.
Enta\u2dco, L\u302 = S\u3021 + N\u3021, onde S\u3021 e´ diagonaliza´vel e N\u3021 e´ nilpotente, e
S\u3021N\u3021 = S\u3021N1 = N\u3021S1 = N\u3021S\u3021 .
Pela unicidade da decomposic¸a\u2dco de L\u302 como uma soma de um operador
diagonaliza´vel com um operador nilpotente que comutam, temos que S\u3021 =
D0 e N\u3021 = N0. Mas, como D0 = S\u302 e N0 = N\u302, temos que S\u3021 = S\u302 e N\u3021 = N\u302,
ou seja, S1 = S e N1 = N.
\u2022 Vamos provar agora que S e N sa\u2dco polino\u2c6mios em L.
J. Delgado - K. Frensel 267 Instituto de Matema´tica - UFF
Operadores Semi-Simples
Seja
pm = (x\u2212 µ1)
r1(x\u2212 µ1)
r1 . . . (x\u2212 µk)
rk(x\u2212 µk)
rk(x\u2212 c1)
s1 . . . (x\u2212 c`)
s`
o polino\u2c6mio minimal de L e L\u302, onde µi e µi, i = 1, . . . , k, sa\u2dco as ra\u131´zes
complexas e cj, j = 1 . . . , ` sa\u2dco as ra\u131´zes reais.
Sejam
fcj =
pm
(x\u2212 cj)
sj
, fµi =
pm
(x\u2212 µi)ri
, e fµi =
pm
(x\u2212 µi)ri
.
Enta\u2dco, fcj \u2208 R[x] e fµi = fµi, j = 1, . . . , ` e i = 1, . . . , k.
Como fµ1 , fµ1 , . . . , fµk, fµk, fc1 , fc` sa\u2dco polino\u2c6mios primos entre si, existem
polino\u2c6mios hµi, hµi, hcj \u2208 C[x], i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , `, tais que:
hµ1fµ1 + hµ1fµ1 + . . .+ hµkfµk + hµkfµk + hc1fc1 + . . .+ hcjfcj = 1 . (I)
Enta\u2dco:
hµ1 fµ1 + hµ1 fµ1 + . . .+ hµk fµk + hµk fµk + hc1fc1 + . . .+ hcjfcj = 1 . (II)
Logo, por (I) e (II), obtemos que:
hµ1 + hµ1
2
fµ1 +
(hµ1 + hµ1)
2
fµ1 + . . .+
hµk + hµk
2
fµk +
(hµk + hµk)
2
fµk
+
hc1 + hc1
2
fc1 + . . .+
hc` + hc`
2
fc` = 1 ,
Fazendo hi =
hµi + hµi
2
\u2208 C[x] , i = 1, . . . , k e gj = hcj + hcj
2
\u2208 R[x], temos
que
h1 fµ1 + h1 fµ1 + . . .+ hk fµk + hk fµk + g1 fc1 + . . .+ g` fc` = 1 .
Logo, como foi provado no Teorema 5.1, D0 = p(L\u302), onde
p = µ1 h1 fµ1 + µ1 h1 fµ1 + . . .+ µk hk fµk + µ1 hk fµk
+c1 g1 fc1 + . . .+ c` g` fc` \u2208 R[x] .
Enta\u2dco, como p \u2208 R[x] e S\u302 = D0, temos que S\u302 = D0 = p(L\u302) = p\u302(L), ou
seja, S = p(L) e N = L\u2212 S = L\u2212 p(L) = q(L), onde q = x\u2212 p \u2208 R[x]. \ufffd
J. Delgado - K. Frensel 267 Instituto de Matema´tica - UFF
Operadores Semi-Simples
J. Delgado - K. Frensel 268 Instituto de Matema´tica - UFF
Espac¸os Vetoriais com Produto
Interno
1. Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
Definic¸a\u2dco 1.1
Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo K, sendo K = R ou K = C.
Um produto interno sobre V e´ uma aplicac¸a\u2dco
\u3008 , \u3009 : V × V \u2212\u2192 K
(u, v) 7\u2212\u2192 \u3008u, v\u3009 ,
que satisfaz as seguintes condic¸o\u2dces:
(a) Para cada v \u2208 V , a aplicac¸a\u2dco u 7\u2192 \u3008u, v\u3009 e´ linear, ou seja,
\u3008\u3bbu+w, v\u3009 = \u3bb\u3008u, v\u3009+ \u3008w, v\u3009 .
quaisquer que sejam u,w \u2208 V e \u3bb \u2208 K.
(b) \u3008u, v\u3009 = \u3008v, u\u3009, onde a barra indica conjugac¸a\u2dco complexa.
(c) \u3008u, u\u3009 \u2265 0 e \u3008u, u\u3009 = 0 se, e so´ se, u = 0.
Observac¸a\u2dco 1.1
(1) \u3008u, \u3bbv+w\u3009 = \u3008\u3bbv+w,u\u3009 = \u3bb\u3008v, u\u3009+ \u3008w,u\u3009 = \u3bb \u3008v, u\u3009+ \u3008w,u\u3009
= \u3bb \u3008u, v\u3009+ \u3008u,w\u3009 .
(2) No caso K = R, temos que \u3008u, \u3bbv+w\u3009 = \u3bb \u3008u, v\u3009+ \u3008u,w\u3009 .
(3) No caso K = C, a conjugac¸a\u2dco complexa em (b) e´ necessa´ria, pois,
sem ela, ter\u131´amos que \u3008u, u\u3009 > 0 e \u3008iu, iu\u3009 = \u2212\u3008u, u\u3009 > 0, se u > 0.
269
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
Exemplo 1.1
Sejam X = (x1, . . . , xn), Y = (y1, . . . , yn) \u2208 Kn, onde K = R ou K = C.
Enta\u2dco, \u3008X, Y\u3009 =
n\u2211
i=1
xi yi e´ um produto interno sobre Kn, denominado pro-
duto interno cano\u2c6nico. \ufffd
Exemplo 1.2
Seja V = Kn×n, K = R ou K = C, o espac¸o vetorial das matrizes n × n
sobre K. Como Kn×n e´ isomorfo a Kn2 de uma maneira natural, temos:
\u3008A,B\u3009 =
n\u2211
i,j=1
Aij Bij
define um produto interno sobre V .
Seja B? a conjugada da matriz transposta de B, ou seja, B?ij = Bji. Enta\u2dco,
\u3008A,B\u3009 = Tr (AB?) = Tr (B?A) ,
onde Tr ( · ) e´ o trac¸o da matriz.
De fato,
Tr (AB?) =
n\u2211
j=1
(AB?)jj =
n\u2211
j=1
n\u2211
k=1
AjkB
?
kj =
n\u2211
j=1
n\u2211
k=1
AjkBjk .
\ufffd
Exemplo 1.3
Seja Kn×1 o espac¸o vetorial das matrizes n × 1, sendo K = R ou K = C.
Sejam X = (x1, . . . , xn) e Y = (y1, . . . , yn) em Kn×1. Enta\u2dco,
\u3008X, Y\u3009 =
n\u2211
i=1
xiyi = Y
? X
e´ um produto interno sobre Rn×1.
Generalizando, temos que
\u3008X, Y\u3009Q = Y?Q?QX = (QY)?QX = \u3008QX,QY\u3009
e´ um produto interno sobre Kn×1, onde Q e´ uma matriz n × n invert\u131´vel
sobre K.
De fato:
J. Delgado - K. Frensel 270 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
\u2022 \u3008\u3bbX+ Z, Y\u3009Q = \u3008Q(\u3bbX+ Z), Y\u3009
= \u3008\u3bbQX+QZ,QY\u3009
= \u3bb\u3008QX,QY\u3009+ \u3008QZ,QY\u3009
= \u3bb\u3008X, Y\u3009Q + \u3008Z, Y\u3009Q
\u2022 \u3008X, Y\u3009Q = \u3008QX,QY\u3009 = \u3008QY,QX\u3009 = \u3008Y, X\u3009Q
\u2022 \u3008X,X\u3009Q = \u3008QX,QX\u3009 \u2265 0
\u2022 \u3008X,X\u3009Q = \u3008QX,QX\u3009 = 0 \u21d0\u21d2 QX = 0\u21d0\u21d2 X = 0 pois Q e´ invert\u131´vel.
\ufffd
Exemplo 1.4
Seja V = C0([0, 1],C) o espac¸o vetorial das func¸o\u2dces cont\u131´nuas definidas
no intervalo [0, 1] com valores complexos. Enta\u2dco,
\u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
0
f(t)g(t)dt
e´ um produto interno sobre V . \ufffd
Observac¸a\u2dco 1.2
Sejam V eW espac¸os vetoriais sobreK (R ouC) e suponhamos que \u3008 · , · \u3009
seja um produto interno sobre W. Se T : V \u2212\u2192 W e´ uma transformac¸a\u2dco
linear injetora, enta\u2dco
\u3008u, v\u3009T = \u3008T(u), T(v)\u3009
define um produto interno sobre V . (Verifique como exerc\u131´cio).
O produto interno sobreKn×1 definido no exemplo 1.3 e´ um caso particular
dessa observac¸a\u2dco. De fato, tomando T : Kn×1 \u2212\u2192 Kn×1, T(X) = QX,
temos que T e´ injetora e que
\u3008X, Y\u3009T = \u3008T(X), T(Y)\u3009 = \u3008QX,QY\u3009 = \u3008X, Y\u3009Q .
Exemplo 1.5
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre K (R ou C) e seja
B = {v1, . . . , vn} uma base de V . Seja {e1, . . . , en} a base cano\u2c6nica de Kn
e seja T : V \u2212\u2192 Kn a transformac¸a\u2dco linear de V em Kn tal que T(vj) = ej,
j = 1, . . . , n. Se tomarmos o produto interno cano\u2c6nico sobre Kn, temos:
\u3008u, v\u3009T =
\u2329
n\u2211
j=1
xjvj ,
n\u2211
k=1
ykvk
\u232a
T
=
n\u2211
j=1
xj yj
J. Delgado - K. Frensel 271 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
e´ um produto interno sobre V , onde u =
n\u2211
j=1
xjvj e v =
n\u2211
k=1
ykvk .
Assim, para toda base B de V existe um produto interno sobre V tal que
\u3008vi, vj\u3009T = \u3b4ij, i, j = 1, . . . , n. Na verdade, e´ fa´cil mostrar que existe exata-
mente um tal produto interno.
\u2022 Mostraremos depois que todo produto interno sobre V e´ determinado
por alguma base B da maneira acima. \ufffd
Observac¸a\u2dco 1.3
Seja V um espac¸o vetorial complexo com um produto interno \u3008 · , · \u3009. Enta\u2dco,
para v,w \u2208 V ,
\u3008v,w\u3009 = <\u3008v,w\u3009+ i=\u3008v,w\u3009 ,
onde <\u3008v,w\u3009 e =\u3008v,w\u3009 sa\u2dco as partes real e imagina´ria do nu´mero com-
plexo \u3008v,w\u3009.
Como, para todo z \u2208 C, =(z) = <(\u2212iz), temos
\u3008u, v\u3009 = <\u3008v,w\u3009+ i<(\u2212i\u3008v,w\u3009) ,
ou seja
\u3008u, v\u3009 = <\u3008v,w\u3009+ i<(\u3008v, iw\u3009) .
Assim, o produto interno e´ completamente determinado por sua parte real.
Definic¸a\u2dco 1.2
Seja \u3008 · , · \u3009 : V × V \u2212\u2192 K (K = R ou K = C) um produto interno sobre V .
\u2022 Para v \u2208 V , \u2016v\u2016 =
\u221a
\u3008v, v\u3009 e´ chamada a norma de v em relac¸a\u2dco ao
produto interno \u3008 · , · \u3009.
\u2022 A forma quadra´tica determinada pelo produto interno \u3008 · , · \u3009 e´ a func¸a\u2dco
V \u2212\u2192 K
v 7\u2212\u2192 \u2016v\u20162 = \u3008v, v\u3009
Enta\u2dco,
\u2016v±w\u20162 = \u3008v±w, v±w\u3009 = \u2016v\u20162 ± 2<\u3008v,w\u3009+ \u2016w\u20162 .
Assim, no caso real,
\u2016v+w\u20162 = \u2016v\u20162 + 2\u3008v,w\u3009+ \u2016w\u20162 ,
e
J. Delgado - K. Frensel 272 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
\u2016v\u2212w\u20162 = \u2016v\u20162 \u2212 2\u3008v,w\u3009+ \u2016w\u20162 ,
implica que:
\u3008v,w\u3009 = 1
4
(\u2016v+w\u20162 \u2212 \u2016v\u2212w\u20162) (I)
No caso complexo,
<\u3008v,w\u3009 = 1
4
(\u2016v+w\u20162 \u2212 \u2016v\u2212w\u20162)
e
<\u3008v, iw\u3009 = 1
4
(\u2016v+ iw\u20162 \u2212 \u2016v\u2212 iw\u20162)
Logo, como \u3008v,w\u3009 = <\u3008v,w\u3009+